二、填空题（本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上）
13．等比数列{an}和等差数列{bn}中，a5＝b5,2a5－a2a8＝0，则b3＋b7＝________.
14．（2011·四川资阳模拟）在△ABC中，∠A＝，BC＝3，AB＝，则∠C＝________.
15．已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋y（其中a>0）仅在点（3,0）处取得最大值，则a的取值范围为_____．
16．已知点（1，t）在直线2x－y＋1＝0的上方，且不等式x2＋（2t－4）x＋4>0恒成立，则t的取值集合为________．
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
18．（本小题满分12分）（2011·黑龙江哈六中期末）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面积．
19．（本小题满分12分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．
20．（本小题满分12分）
（1）如图，从相距165m的A、B两观察站测C、D两个目标的视角都是30°，同时知道A在C的正南、B在D的正东，求C、D两个目标间的距离．
（2）台湾是祖国不可分割的一部分，祖国的统一是两岸人民共同的愿望，在台湾海峡各自的海域内，当大陆船只与台湾船只相距最近时，两船均相互鸣笛问好，一天，海面上离台湾船只A的正北方向100海里处有一大陆船只B正以每小时20海里的速度沿北偏西60度角的方向行驶，而台湾船只A以每小时15海里的速度向正北方向行驶，若两船同时出发，问几小时后，两船鸣笛问好？
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2＋2x，
（1）求g（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）－|x－1|.
22．（本小题满分14分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元，若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：
应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养需求，又使费用最省？
详解答案
1[答案] D
[解析] 在等差数列{an}中，设bn＝an＋an＋3＋an＋6，（n＝1,2,3……），则{bn}仍为等差数列．
b1＝a1＋a4＋a7＝39，
b2＝a2＋a5＋a8＝33，∴公差d＝b2－b1＝－6，
∴a5＋a8＋a11＝b5＝b1＋4d＝39＋4×（－6）＝15.
2[答案] A
[解析] A＝180°－（60°＋45°）＝75°，∴B最小，故边b最小，由正弦定理b＝·sinB＝.选A.
3[答案] C
[解析] 由f（x）>0的解集为{x|－24[答案] B
[解析] 易知a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，∴数列{an}的周期
为3，而2012＝670×3＋2，∴a2012＝a2＝2.
[点评] 数列是特殊的函数，如果数列{an}对任意n∈N，满足an＋T＝an（T∈N*），则T为{an}的周期．
5[答案] B
[解析] bsinC＝30sin29°<30sin30°＝15＝c即：
bsinC6[答案] C
[解析] 设直角三角形两直角边长分别为am，bm，由题设条件有ab＝1，即ab＝2，
其周长L＝a＋b＋，
据题意“经济”的含义是：
在ab＝2的条件下，L最小．
∵L≥2＋＝（2＋）·
且4.8<（2＋）<5，等号在a＝b时成立，故选C.
7[答案] C
[解析] 设等差数列首项为a1，公差为d，由题设a1，a6，a21成等比数列，∴a＝a1·a21即：
（a1＋5d）2＝a1（a1＋20d），∴d＝a1，
∴公比q＝＝＝＝3.
8[答案] D
[解析] 区域Ω为图中△OCD.区域A为图中△OBE，易知B（4,0）、E（4,2）、C（6,0）、D（0,6），
由几何概型知，所求概率P＝＝＝＝.
9[答案] C
[解析] 设a＋b＝t，则a＝t－b，
代入a2＋2b2＝6中得，（t－b）2＋2b2＝6，
整理得3b2－2tb＋t2－6＝0，
∵b∈R，∴△＝4t2－12（t2－6）≥0，
∴－3≤t≤3，即（a＋b）min＝－3.
10[答案] B
[解析] 令三边长为n，n＋1，n＋2（n∈N＋），且边长为n＋2的边所对的角为θ，则
cosθ＝<0，∴－1∵n∈N＋，∴n＝1或2.
∵三角形任意两边之和大于第三边，∴n＝2，
∴三边为2,3,4.
11[答案] A
[解析] 本题考查了数列求和中的分组求和思想方法．
∵y＝cos的周期T＝＝4，
∴可分四组求和．
a1＋a5＋…＋a2009＝0，
a2＋a6＋…＋a2010＝－2－6－…－2010＝＝－503×1006，
a3＋a7＋…＋a2011＝0，
a4＋a8＋…＋a2012＝4＋8＋…＋2012＝＝503×1008，
∴S2012＝0－503×1006＋0×1008＝503·（－1006＋1008）＝1006.
[点评] 对于不能直接套用已有公式的情形，要注意适当化归或分组数列求和一般有直套公式型，分组求和型，裂项相消型和错位相减型等．
12[答案] C
[解析] ∵运算⊕满足x⊕y＝x（1－y），∴不等式（x－a）⊕（x＋a）<1化为（x－a）（1－x－a）<1，整理得x2－x－a2＋a＋1>0，此不等式对任意实数x都成立，
∴△＝1－4（－a2＋a＋1）<0，∴－13[答案] 4
[解析] ∵2a5－a2a8＝2a5－a＝0，an≠0，∴a5＝2，
∴b3＋b7＝2b5＝2a5＝4.
14[答案]
[解析] 由正弦定理得＝，∴sinC＝，∵AB15[答案]
[解析] 作出可行域如图（包括边界）当直线z＝ax＋y经过A点，位于直线l1与x＋2y－3＝0之间时，z仅在点A（3,0）处取得最大值，∴－a<－，∴a>.
16[答案] {t|3[解析] ∵（1，t）在直线2x－y＋1＝0的上方，
∴t>3，
∵不等式x2＋（2t－4）x＋4>0恒成立，
∴Δ＝（2t－4）2－16<0，∴017[解析] 由题意，设这三个数分别是，a，aq，且q≠1，则＋a＋aq＝114①
令这个等差数列的公差为d，则a＝＋（4－1）·d.
则d＝（a－），
又有aq＝＋24××②
由②得（q－1）（q－7）＝0，∵q≠1，∴q＝7
代入①得a＝14，则所求三数为2,14,98.
18[解析]
（1）由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.
（2）由题意得sin（B＋A）＋sin（B－A）＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组
解得a＝，b＝.
所以△ABC的面积S＝absinC＝.
19[解析] 设鱼塘的长为xm，宽为ym，则农田长为（x＋4）m，宽为（y＋4）m，设农田面积为S.则xy＝10000，
S＝（x＋4）（y＋4）＝xy＋4（x＋y）＋16＝10000＋16＋4（x＋y）≥10016＋8＝10016＋800＝10816.
当且仅当x＝y＝100时取等号．
所以当x＝y＝100时，Smin＝10816m2.
此时农田长为104m，宽为104m.
20[解析]
（1）由∠DAC＝∠DBC＝30°，得A、B、C、D共圆，
∴∠ACD＝∠ABD.
又＝，＝.
由已知可求得∠ADB＝60°，
∴CD＝＝55（m）．
（2）设x小时后，B船至D处，A船至C处，BD＝20x，BC＝100－15x，∵x>0,100－15x>0，∴0由余弦定理：
DC2＝（20x）2＋（100－15x）2－2·20x·（100－15x）·cos120°
＝325x2－1000x＋10000
＝3252＋10000－.
∴x＝小时后，两船最近，可鸣笛问好．
21[解析]
（1）设函数y＝f（x）的图象上任一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），
则，即，
∵点Q（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，
∴－y＝x2－2x，即y＝－x2＋2x，故g（x）＝－x2＋2x.
（2）由g（x）≥f（x）－|x－1|可得2x2－|x－1|≤0，
当x≥1时，2x2－x＋1≤0，
此时不等式无解，
当x<1时，2x2＋x－1≤0，
∴－1≤x≤，
因此，原不等式的解集为[－1，]．
22[解析] 设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，需要的费用为z＝3x＋2y元．
病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x＋7y≥35，同理，对铁质的要求可以表示为10x＋4y≥40，即5x＋2y≥20，
问题成为：
在约束条件
下，求目标函数z＝3x＋2y的最小值，作出可行域，如图所示：
令z＝0，作直线l0：
3x＋2y＝0.
由图形可知，把直线l0平移至经过点A时，z取得最小值．
由得A.
所以用甲种原料×10＝28（g），乙种原料3×10＝30（g），费用最省．
讲评备选练习
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1>0，S15＝0，若数列{Sn}中的最大项为Sk，则k＝（ ）
A．15B．8或9
C．7或8D．8
[答案] C
[解析] ∵S15＝15a8＝0，∴a8＝0，又a1>0，∴d<0，∴a7>0，a9<0，故在数列{Sn}中，S1S9>S10>……，故k＝7或8.
2．在公差为4的正项等差数列中，a3与2的算术平均数等于S3与2的几何平均数，其中S3表示此数列的前三项和，则a10为（ ）
A．38B．40
C．42D．44
[答案] A
[解析] 由条件知a3＝a1＋8，S3＝3a1＋12，
∴＝，解得a1＝2.
∴a10＝2＋9×4＝38.
3．若函数f（x）＝x2－ax＋1的函数值有负值，则常数a的取值范围是（ ）
A．a<－2或a>2B．－2C．a≠2且a≠－2D．1[答案] A
[解析] ∵f（x）是二次项系数为正值的二次函数，
∴f（x）有负值⇔△>0，即a2－4>0，∴a>2或a<－2.
4．设f（n）＝＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）等于（ ）
A.B.
C.＋D.－
[答案] D
[解析] f（n＋1）－f（n）
＝（＋＋…＋＋＋）
－（＋＋…＋）
＝＋－＝－.
[点评] 准确弄清f（n）的表达式是解题的关键，f（n）的表达式是一列数的和，每一个数分子都是1，分母从n＋1开始，每项递增1至2n结束，从而f（n＋1）应是分母从（n＋1）＋1＝n＋2开始，每项递增1至2（n＋1）＝2n＋2结束．
5．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0（a>0，b>0）对称，则＋的最小值是（ ）
A．4B．6
C．8D．9
[答案] D
[解析] 由条件知圆心（－1,2）在直线上，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝5＋＋≥5＋2·＝9，等号在＝，即a＝2b时成立．
∵a＋b＝1，∴a＝，b＝，故在a＝，b＝时，＋取到最小值9.
6．（2011·江南十校素质测试）已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|ka＋b＋c|>1，则实数k的取值范围是（ ）
A．（－∞，0）B．（2，＋∞）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0,2）
[答案] C
[解析] 根据|ka＋b＋c|>1可得|ka＋b＋c|2>1，
∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2c·b>1，
∴k2－2k>0，k<0或k>2.
7．（2011·豫南四校调研考试）若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为（ ）
A．2B.
C.D．3
[答案] A
[解析] 设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得S△ABC＝×AB×BCsinB＝x ①，根据余弦定理得cosB＝＝＝ ②，将②代入①得，S△ABC＝x＝，由三角形的三边关系得，解得2－2一、选择题
1．等差数列{an}各项都是负数，且a＋a＋2a3a8＝9，则它的前10项和S10＝（ ）
A．－11 B．－9
C．－15D．－13
[答案] C
[解析] ∵a＋a＋2a3a8＝9，∴a3＋a8＝±3；
∵{an}各项均为负数．∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝5（a3＋a8）＝－15.
2．已知集合A＝{t|t2－4≤0}，对于满足集合A的所有实数t，则使不等式x2＋tx－t>2x－1恒成立的x的取值范围是（ ）
A．（3，＋∞）∪（－∞，－1）B．（3，＋∞）∪（－∞，1）
C．（－∞，－1）D．（3，＋∞）
[答案] A
[解析] A＝{t|－2≤t≤2}，设f（t）＝（x－1）t＋x2－2x＋1，由条件知f（t）在[－2,2]上恒为正值．
∴，∴，∴x>3或x<－1.
3．设{an}是公差不为0的各项都为正数的等差数列，则（ ）
A．a1·a8>a4·a5B．a1·a8C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a5
[答案] B
[解析] 设公差为d，∵d≠0，
∴a1a8－a4a5＝a1（a1＋7d）－（a1＋3d）（a1＋4d）
＝－12d2<0，∴a1a8∴选B.
4．（2012·福建理，5）下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg（x2＋）>lgx（x>0）
B．sinx＋≥2（x≠kπ，k∈Z）
C．x2＋1≥2|x|（x∈R）
D.>1（x∈R）
[答案] C
[解析] 本题考查了基本不等式与重要不等式．
A中x＝时不等式不成立，B中sinx不总大于0，D中，x＝0时，不等式不成立．
[点评] 在不等式中尤其是基本不等式中式子成立的条件很重要，不能忽视．
5．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则下列各式中正确的是（ ）
A．ab≤B．ab≥
C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3
[答案] C
[解析] 因为a≥0，b≥0，由基本不等式得2＝a＋b≥2⇒≤1⇒ab≤1，故A，B均错误；又a2＋b2＝≥＝＝2，故选项C正确，选项D错误．
6．设O为坐标原点，点A（1,1），若点B（x，y）满足，则·取得最小值时，点B的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．无数个
[答案] B
[解析] 根据题意作出满足不等式组的可行域，如图阴影部分所示．∵·＝（1,1）·（x，y）＝x＋y，令z＝x＋y，则y＝－x＋z，z的几何意义是斜率为－1的直线l在y轴上的截距，由可行域可知，当直线l过点（1,2）或点（2,1）时，z最小，从而所求的点B有两个．
7．不等式组（k>1）所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则的最小值为（ ）
A．30B．32
C．34D．36
[答案] B
[解析] 作出可行域如图中△OAB，其面积
S＝×4×4k＝8k.
∴＝＝
＝8（k＋1）＋，
＝8（k－1）＋＋16≥32，
等号在8（k－1）＝，即k＝2时成立．
∴k＝2时，取最小值32.
8．设a、b、c是一个长方体的长、宽、高，且a＋b－c＝1，已知此长方体对角线长为1，且b>a，则高c的取值范围是（ ）
A.B.
C．（0,1）D.
[答案] D
[解析] 由a＋b＝1＋c得，a2＋b2＋2ab＝c2＋2c＋1
∵a2＋b2>2ab，a2＋b2＋c2＝1，
∴2（1－c2）>c2＋2c＋1
∴－10，∴09．已知A（3,0），O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足
，则的取值范围为（ ）
A．（－3，]B．[1，]
C．[－2，]D．[－3,2]
[答案] A
[解析] 作出可行域如图（其中不包括线段OC）．
将原式化简可得：
＝＝3cos∠AOP.
由图知≤∠AOP<π，所以－1故－3<≤.
10．（2012·天津理，8）设m，n∈R，若直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，则m＋n的取值范围是（ ）
A．[1－，1＋]
B．（－∞，1－]∪[1＋，＋∞）
C．[2－2，2＋2]
D．（－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞）
[答案] D
[解析] 本小题考查直线与圆相切的判断、基本不等式等知识．
∵直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，
∴＝1，
∴|m＋n|＝，
∴（m＋n）2＝（m＋1）2＋（n＋1）2
∴m＋n＋1＝mn≤（m＋n）2，
∴（m＋n）2－4（m＋n）－4≥0，得m＋n≤2－2，或m＋n≥2＋2.
[点评] 基本不等式及其变形是高考常考的知识，要有针对性的复习．
11．（2011·深圳二调）已知△ABC中，∠A＝30°，AB，BC分别是＋，－的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于（ ）
A.B.
C.或D.或
[答案] D
[解析] 依题意得AB＝，BC＝1，易判断△ABC有两解，由正弦定理得＝，＝，即sinC＝.又0°12．（2011·泉州质检）△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（ ）
A．30°B．60°
C．90°D．120°
[答案] B
[解析] 依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得，sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin（A＋C）＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，又0°二、填空题
13．数列1，，，，，，，…的一个通项公式为_____________．
[答案] an＝（不惟一）．
[解析] 将数列中的项作适当调整为：
，，，，，，，…显然分子分母都是等差数列，分子bn＝n＋1，分母cn＝2n，∴通项an＝.
14．已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝（，－1），n＝（cosA，sinA）．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.
[答案]
[解析] 由m⊥n得，cosA－sinA＝0，∴tanA＝，∴A＝，
由正弦定理acosB＋bcosA＝csinC可变形为
sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C.
∵A＋B＋C＝π，∴sin（A＋B）＝sinC，∴sinC＝sin2C，
∴sinC＝1，∴C＝，
∴B＝π－－＝.
15．（2010·辽宁理，14）已知－1[答案] （3,8）
[解析] 如图，作直线l0：
2x－3y＝0，平移l0可知，当平移到经过点A、B时，z分别取最小、最大值，
∵A点是（3,1），B点是（1，－2），
∴316．（2010·江苏，11）已知函数f（x）＝，则满足不等式f（1－x2）>f（2x）的x的取值范围是________．
[分析] 解含函数符号“f”的不等式，一般是用单调性求解．观察函数f（x）的表达式不难发现x≥0时，x2＋1≥1，且f（x）＝x2＋1在[0，＋∞）上单调增，又x<0时，f（x）＝1，∴f（x）在R上单调递增．
[答案] （－1，－1）
[解析] ∵f（x）＝
∴对任意x1，x2∈R，当x1
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