关于分数教学中的科学性问题0.docx
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关于分数教学中的科学性问题0
关于分数教学中的科学性问题
关于分数教学中的科学性问题湖南省第一师范学院科研处胡重光数学教育的首要问题，是教学内容本身的科学性。
然而小学数学教育历来对此不重视，其理由大概是认为小学数学简单，不会出现科学性问题。
然而由多年的观察和分析发现，不但教师中存在许多错误观点，小学数学教材中也有不少问题。
问题最多的是分数部分，下面我们谈几个主要的问题。
一、一定要是平均分才能用分数表示这是多年来教师在课堂上经常向学生强调的一句话。
笔者曾经用右边的图1来向教师说明这是错误的：
EF是△ABC的中位线，它将△ABC分成不相等的两部分，因此不是平均分。
但是△AEF的面积恰好是△,ABC的四分之一，因此它的面积可以用分数14来表示。
但是有的教师反驳说：
这是隐蔽的平均分，其实也是平均分。
我再问：
那么怎样才是不平均分呢?
对方想了一阵，觉得无法举出来。
既然没有不是平均分的情况，为什么还要说一定要是平均分呢?
不过这个问题是有来由的，并不能怪教师。
来由就是考试中经常出这样的题：
判断某个图中的阴影部分能否用某个分数表示。
这些图有平均分的，有不是平均分的。
而凡是平均分的都是对的，凡不是平均分的都是错的。
教师为了让学生考出好成绩，就想出了这个看起来非常简单有效的判断方法。
但是我们毕竟不能教给学生错误的东西。
并且即使这样说了，学生还是会犯这种错误否则教师就不会如此强调这一点了。
对于这种错误，我们首先应该弄清，儿童为什么会把不是平均分的阴影部分用分数来表示?
二、分数产生于平分整体这是小学教师普遍持有的一种观点，因为小学数学教材就是这样认为的：
把一些事物看作一个整体，再把它们平均分成若干份，表示其中一份或几份的数就是分数。
然而一盒乒乓球可以看成一个整体，假设有12个，把它们平均分成4份，每份是3个，并没有产生分数。
不仅如此，把一个苹果平分成两半，表示其中的一份也不一定要用分数。
有一位教师在课堂上举了这个例子，然后不作任何引导，让学生用一个数来表示半个苹果。
结果学生提出的一种表示方法是：
一个苹果是2，半个苹果是一个苹果是4，半个苹果是2；一个苹果是6，半个苹果是3；由此可以看出，是否产生分数，取决于单位的选择。
如果乒乓球用盒做单位，那么3个乒乓球就是14盒；如果苹果用个做单位，那么半个苹果就是12个。
也就是说，分数是为了表示小于单位的量而引入的（从这个例子可以看出小学生已经懂得可以根据需要来选择单位）。
整体与单位是有区别的，看成整体并不等于以它作单位。
以集合的观点来看，任何整体都是一个集合，但不能说任何集合都是单位。
三、12与二分之一湖南第一师范学院曾出了一套测试题测试小学教师的数学专业知识，其中一个选项是比10多12。
结果只有不到五分之一的人选它作正确答案。
不选的人认2的数是101为，比10多12的数应该是15。
有人反对，认为如果是15，那就应该说比10多它的12。
究竟应该怎么说呢?
与整数对比一下就清楚了。
在整数里，比10多2的数是12，所以在分数里，比10多12；在整数里可以说比10多它的2倍的数是30，2的数是101而不能说比10多它的2的数是30，所以在分数里只能说比10多它的12倍的数是15，而不能说比10多它的12的数是15。
但是后一种说法是非常普遍的。
为什么都这样说呢?
原因是这里把12等同于二分之一了。
利用二分之一这个词我们可以直接说比10多二分之一的数是15。
这里的二分之一不是一个数，而是一个表示倍数关系的分率，就像百分数不是分母为100的分数，而是一个百分率一样（由此也可以看到；百分数这个名称不如百分率或百分比好）。
在规范的汉语中，二分之一是不能用12来代替的。
例如首届华罗庚金杯赛初赛试题第13题如下：
有一块菜地和一块麦地。
菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13亩。
麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12亩。
那么菜地是几亩?
原文如此。
其中的两个三分之一都不能换成13然而近一二十年来，这种贪图简便的代替却越来越多，特别是小学数学教材普遍采用这种写法，使得这种错误泛滥成灾。
四、单位1是什么?
我国的小学数学教材曾长期采用这样的分数定义：
把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
此定义出来后，就引起了单位1是什么的长期争论。
有的认为单位1就是自然数1，有的认为不是。
引起争论的原因，首先是因为单位1的说法本身就不妥，意义不清；其次是对分数概念认识不透彻。
从前面对分数概念的分析可清楚地看到，分数是由平分单位产生的。
因此，单位1应为单位。
其实，1979年版的《辞海》就将分数定义为：
把单位分成若干等分，表示这样的一份或几份的数称为分数。
（夏征农主编：
《辞海》（1979年版缩印本）。
上海辞书出版社，1980年。
275页右。
《辞海》的数学分科主编为苏步青。
）按这一定义，单位究竟是什么要视具体情况而定。
可以是长度单位、重量单位，等等。
如果平分的是自然数的单位，则单位就是自然数1，因为1是自然数的单位。
例如46=23，23就是23个1，单位1省略了。
曾有一篇文章指出，如图2所示的阴影部分，如果不指出单位是一个圆还是两个圆，就无法确定应该用138来表示。
但是类似的不带单位的图在小学数学教4来表示还是用7材的分数部分大量存在。
如图3，教材的意图是要求学生在括号里填34。
但是如果以1个小正方形为单位，则应填3112；以2个小正方形为单位，则应填112；以3个小正方形为单位，则应填1；五、为什么可以把整个工程看作1传统算术应用题中的工程问题有一种特殊解法，即把整个工程看作1。
例如：
甲乙两个工程队修一条水渠。
若甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成。
现在由乙队先做3天，余下的工程两队一起做，还需要几天可以完成?
解法是：
把整个工程看作1，则甲队每天完成110，乙队每天完成六。
算式是：
（1－1153）（110＋115）=445（天）还可以设整个工程为其他数，例如30，则甲队每天完成3，乙队每天完成2，算式是：
（30－23）（3＋2）=445（天）事实上，可设整个工程为任意非零数。
这样小学生会感到奇怪，一项这么大的工程，为什么可以看作1呢?
甚至可以随便设呢?
我们从来没有对此作出合理的解释。
道理其实就在于单位的选择。
虽然我们不知道工程量是多大，但是我们可以选择整个工程量作单位，那么甲队每天完成110个单位，乙队每天完成115个单位；也可以选择整个工程的130作单位，则整个工程为30个单位，那么甲队每天完成3个单位，乙队每天完成2个单位。
理论上我们可以选择整个工程量的上1m（m0）为单位。
在一定的范围内单位可以随意选择，这点是儿童不难理解的。
例如长度单位有米、厘米、毫米、千米等，还有市制单位，不同的国家又有不同的长度单位制。
我们可以根据需要或喜好来选择。
这种解释就顺理成章了。
选单位的方法不仅可以用于解答工程问题，还可以用于解答其他应用题。
例如：
图4是一个园林规划图，其中正方形的四分之三是草地；圆的七分之六是竹林；竹林比草地多占地450平方米。
问：
水池占地多少平方米?
这是第五届华罗庚金杯赛的一道初赛题，解法是：
以水池的面积为1个单位，那么草地的面积是3个单位，竹林的面积是6个单位。
竹林比草地多3个单位。
这3个单位是450平方米，所以一个单位是150平方米。
这就是水池的面积。
再如：
一个人在临死时对妻子说：
你不久要生孩子了，如果生的是男孩，就把我的财产的三分之二给他，你拿剩下的三分之一；如果是女孩，就把我的财产的三分之一给她，你拿三分之二。
可是，生下来的却是一男一女双胞胎，这笔财产究竟应该怎样分呢?
这道题看起来比较复杂，可是如果我们采用选单位的方法，却很容易解答：
以女孩的财产为1个单位，则妻子的财产应为2个单位，男孩的财产应为4个单位。
于是只要将全部财产分成7个单位，按以上确定的单位数分配即可。
从上面这几个问题的分析我们看到，平均分并不是分数概念的关键，单位才是分数概念的关键。
恰当地选择单位是解答应用题的好方法。
不仅如此，分数加减运算也是建立在分数单位的基础上的，分母相同就是分数单位相同。
单位相同就可以直接相加，这与量的加法一样，儿童很容易理解。
上述例子表明，这些问题不仅是关系到教学内容的科学性，而且对教学也有很大影响。
内容科学，儿童就容易理解；否则，学生即使会做，也是知其然而不知其所以然。
适时孕伏巧妙衔接及时提升以倍数因数为例浅谈影响有效课堂的几个因素作者:
太仓市新区第二小学王文英录入时间:
2010-1-29阅读次数:
1094本学期，一位青年教师要执教一节公开课，内容是苏教版四年级下册的倍数和因数一课。
连续听了两次试教，效果不是很理想，主要存在以下两个方面的问题：
1．学生对倍数和因数的意义理解不到位。
由于教材没有给出倍数和因数的抽象定义，只是结合具体的算式让学生直观描述概念。
课上，教师在引导学生描述的时候停留在机械模仿的层面，因此影响了学生对倍数和因数概念的理解。
学生在描述时，经常说成X是倍数，另外在描述哪个数是哪个数的倍数、哪个数是哪个数的因数时也发生了混淆。
2．教师对几个环节的教学没能有机整合，环节处理显得封裂，整个流程有些生硬。
由于这节课涉及的知识点很多，有倍数和因数的意义、求一个数的倍数和因数的方法、一个数的倍数和因数的特点等，教师在课上没能将这些知识点有机整合，因此教学过程疙疙瘩瘩，不够自然。
基于以上两个方面的问题，笔者对这节课作了深入的思考，并调整了各个环节的设计，及时作了孕伏和铺垫，在另一令班进行试教，取得了很好的效果。
现描述如下。
一、在谈话中悟深意，孕伏关系师：
同学们好!
王老师第一次到四
（2）班上课，很高兴。
我知道四
（2）班是一个非常团结的班集体，我很想认识你们，谁向我自我介绍一下?
学生举手作介绍。
师：
能告诉我你的好朋友是谁吗?
学生回答。
师：
哦，老师知道了。
XXX是XXX的好朋友。
如果他这样介绍：
XXX是好朋友。
能行吗?
生：
不行，这样就不知道谁是谁的好朋友了。
师：
朋友是表示人与人之间的关系，我们在介绍的时候就一定要说清楚谁是谁的朋友，这样别人才能明白。
在数学中，也有描述数与数之间关系的概念，比如说：
倍数和因数。
今天这节课我们就要来研究有关这个方面的一些知识。
说明：
学生首次接触表示两数关系的概念倍数和因数，往往会不习惯，容易与以前所学的自然数、整数这些概念混为一谈。
为了突出和强调关系，在课前交流的谈话中自然地提到倍数和因数是表示两个数之间的关系，在描述的时候要注意说明谁是谁的。
这样做，既引发了学生的兴趣，催生他们学习倍数和因数的好奇心，又很好地把他们的注意力吸引到关系、谁是谁的这些关键词上，为后续的教学作好了铺垫。
二、在模仿中悟规律，理解意义师：
请同桌合作，用12个同样大小的正方形拼成一个长方形，记录下：
每排摆几个?
摆了几排?
并用乘法算式把摆法表示出来。
学生操作，然后交流反馈，教师板书：
3=12，26=12，121=12。
师：
以34=12为例，3、4、12这三个数之间的关系我们可以这样说：
12是3的倍数，12也是4的倍数，3和4都是12的因数。
教师请学生在另外的两个算式中任意选择一个，说说三个数之间的关系。
全班交流。
师：
在我们描述的过程中，你觉得哪个说起来有些拗口?
生：
12l=12。
师：
谁能向大家介绍一下这三个数之间的关系?
生：
12是12的倍数，12是1的倍数，1和12都是12的因数。
师：
从这个算式中你有没有发现什么?
生：
我发现12是12的倍数，12也是12的因数。
师：
是啊，从中我们可以了解到一个数既是它本身的倍数，又是它本身的因数。
师：
请大家想一想，在一个乘法算式中我们可以得到哪些信息?
生：
我们可以知道积分别是两个乘数的倍数，两个乘数分别是积的因数。
师：
在一个乘法算式中，积是两个乘数的倍数。
如果我们要求一个数的倍数，大家可以借助什么来找?
生：
想乘法算式，用这个数去乘1、2、3就能求出它的倍数。
说明：
为了让学生更好地理解倍数和因数的关系，在学生模仿用三句话描述一个乘法算式中三个数之间的关系之后，教师首先通过追问你觉得哪个算式说起来比较拗口引发学生思考，让学生意识到一个数既是它本身的倍数，又是它本身的因数，以此让学生对一个数的倍数和因数的特点有初步认识和体验。
接着，教师通过在一个乘法算式中我们可以得到哪些信息这个问题进一步引导学生思考，把学生对于倍数和因数的关系由机械模仿引向理性思考，使他们不仅对倍数和因数有进一步的认识，同时也渗透了找一个数的倍数和因数的方法。
三、在挑战中悟方法，提升思维
（一）教学求一个数的倍数的方法师：
3的倍数除了12，肯定还有几?
（生齐答：
3）除了3、12是它的倍数之外，你还能找出多少个?
教师指定时间，学生在自备本上练习，比一比谁写得多。
组织交流。
师：
你找到几个，分别是哪些?
说说是怎么找到的。
生1：
我找到8个，是6、9、12我是先写出乘法算式，用3分别去乘2、乘3、乘4算出的积就是3的倍数。
生2：
应该先乘1，因为3的倍数中最小的就是3。
师：
借助乘法算式能够方便我们找一个数的倍数，找的时候就用1、2、3分别去乘这个数，这样就可以有序地找出一个数的倍数。
如果老师现在再给大家时间，你们还能找到3的倍数吗?
生：
能的。
还能找到很多很多，找不完。
师：
这说明了什么?
生：
说明一个数的倍数的个数是无限的。
师：
能结合你的认识说说一个数的倍数有哪些特点吗?
生1：
一个数最小的倍数是它本身。
生2：
一个数的倍数个数是无限的。
生3：
一个数的倍数是没有最大的。
（二）教学求一个数的因数的方法师：
一个数的倍数是无限的，那么一个数的因数呢?
生：
我想一个数的因数应该是有限的。
师：
你能找出36的所有因数吗?
学生练习，有的学生通过想乘法算式求36的因数，有的用除法，把36分别除以1、除以2、除以3来求36的因数。
通过引导比较，用除法求因数的方法得到了大家的认可，同时，师生还梳理出根据除法算式成对写出因数的窍门。
学生练习：
寻找15的因数和16的因数。
学生直接做在书上。
然后交流，说说找到哪些、怎么找的。
教师再引导思考：
通过练习，我们又了解到一个数的因数的特点是什么?
（个数有限，最小是1，最大是本身）说明：
在教学求一个数的倍数时，教师通过设置一些承前启后的富有挑战的问题展开，如3的倍数除了12，肯定还有几?
除了3、12是它的倍数之外，你还能找出多少个?
比一比在规定的时间内谁写得最多。
这些问题的提出既及时巩固前面提到的一个数的本身就是它的倍数这一知识点．又很巧妙地为一个数的倍数的个数是无限的这一知识点作了铺垫。
在教学求一个数的因数时，教师也通过设置问题一个数的倍数是无限的，那么一个数的因数呢引导学生通过对比进行思辨，从而认识到一个数的因数的个数是有限的。
这样做，教学各环节得以有机地串联咸一个整体，同时在螺旋上升的过程中有助于学生更好地理解和掌握新知。
四、在选择中悟意义，强化认识师：
说说下面这些数中谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
1234812生1：
4是2的倍数，8是4的倍数，12是2的倍数。
生2：
8是2的倍数，12是3的倍数，12是4的倍数。
生3：
2、3、4、8、12都是1的倍数，1是它们的因数。
师：
从中你发现了什么?
生1：
我发现除0之外的自然数都是1的倍数，1是它们的因数。
生2：
一个数最小的因数就是1。
师：
请学号是1的倍数的同学起立。
教室里除了一名学生，其他学生齐刷刷地站了起来。
师：
请问你的学号是几。
生：
是1。
教师面向其他学生，问：
他该坐着吗?
生：
他应该起立，1也是1的倍数。
因为一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身。
说明：
这是一道既朴实又有着较大容量的习题，通过这题的练习，不仅巩固了倍数和因数的相关知识，同时也整理了一个数的倍数与因数的特点，帮助学生综合地梳理了本课的各知识点，小小的一道习题发挥了大效能。
透过这个案例，我们有如下体会。
1．适时孕伏是有效课堂的生成前提教育心理学认为：
学习是学习者凭借已有经验与相应环境相互作用，在其头脑中积累新经验以适应环境的活动。
在学习活动中，教师要注重营造适宜的环境，促使学生在其中不断积累对新授内容有益的经验。
这里提及的积累不是一蹴而就的，而是通过教师精心预设，一步一步逐步渗透，它需要一个过程去实现。
因此，在教学过程中，教师要有意识地作好孕伏，为学生的积累服务。
上例中，教师在有些环节作了精心孕伏，如在课前谈话中借助朋友孕伏倍数和因数是表示两个数关系的概念，在根据乘法算式描述三数关系时孕伏倍数、因数的特征，在教学倍数和因数的意义时孕伏求一个数的倍数的方法。
这些有意的孕伏，恰似为新授增加了预热环节，使学生在新授学习推进的过程中虽感熟悉却又不完全理解，这样的状态能更好地激发学生的求知欲，也能节省有限的课堂学习时间。
课堂孕伏要注意些什么?
笔者认为，从内容看，不仅要孕饮下个环节学习的知识，也要适当地结合有关内容孕伏数学思想方法；从时间角度讲，孕伏不仅要关注本节课的内容，还要着眼后续的学习任务。
同时，孕伏要注意把握尺度，既不能太露，造成教学越位；也不能太藏，使学生不解风情而徒劳无获。
因此，恰当适时的孕伏首先要熟悉教材，在对教学内容充分解读的前提下，才能够把握孕伏的时机和内容。
同时．恰当适时的孕伏还要熟悉学生，在对学生已有经验和知识储备充分了解的基础上，才能把握孕伏的尺度。
可以说，成功的课堂孕伏在很大程度上决定了课堂是否有效，因此，它是生成有效课堂的前提。
2．无缝衔接是有效课堂的重要外显有效课堂虽然不一定要／顷畅，但是环节割裂、设计突兀的课必然称不上一节好课。
俗话说：
过河要搭桥，爬高要登梯。
在数学教学中，架桥设梯也是教师必须关注的视角。
上例中，在教学倍数和因数的意义这一环节临近结束时，教师以小结的形式（在一个乘法算式中，积是两个乘数的倍数）进一步强调学生发现的规律，接着话锋一转，提出如果要求一个数的倍数，大家可以借助什么来找的问题，巧妙地过渡到下一环节求一个数的倍数的教学中。
再如教学完求一个数的倍数后，教师顺接学生的回答，直接设问一个数的倍数的个数是无限的，那么一个数的因数呢，自然地将学生的目光引向求一个数的因数中。
这些不露痕迹的过渡，在不知不觉中将教学进程逐步地推向深入，为学生营造了一个适宜学习的心理环境，激发起他们学习数学的积极情感。
课堂教学中的衔接不仅要注重知识的衔接，同时也要关注学习心理的衔接。
知识的衔接要注意知识的前后逻辑以及新旧知识的生长点，学习心理的衔接则要处理好知识的难易程度以及教师采用的衔接方式。
衔接的方式可以通过提问，用设问引出下一环节的内容，用追问引发更深层次的问题；也可以通过谈话，在师生亲切的交流中结束前一环节的学习，过渡到下一环节的研究。
巧妙的衔接，不仅能帮助学生排解学习困难，同时也使课堂显得浑然一体、富有魅力。
因此，无缝衔接是有效课堂必须予以关注的另一话题。
3．螺旋提升是有效课堂的价值追求提升学生的思维，促进学生的发展是衡量数学课堂是否有效的主要标尺。
在教学中，教师要注意层层递进的设计，结合具体内容引导学生深入思考，帮助学生及时梳理提升，以此促进学生思维的发展。
就如上例，当学生用三句话描述一个乘法算式中三个数的关系后，教师没有满足，而是进一步引导学生思考在一个乘法算式中我们可以得到哪些信息，让学生通过观察、比较整理出一个乘法算式中的三数关系，从而将模仿层面的描述转为理性层面的思考，使得倍数和因数的关系更加清晰起来。
再如教学求一个数的倍数（因数）的环节中，当学生已经初步掌握了求倍数（因数）的方法后，教师也没有就此停止，而是根据学生的回答，有意识地引导学生有序思考，从而提炼出求倍数（因数）的方法。
可见，在教学中，过程的展开非常重要，能够让学生了解知识形成的来龙去脉；而结论的总结和概括也同样重要，能够促使学生的思维逐渐走向深入。
思维的提升是有梯度的，应该呈螺旋上升的态势。
在提升思维的过程中教师要善于引导，让学生养成透过现象思考本质的习惯，经历从特殊走向一般的思维历程。
提升思维要借助有质量的问题，让学生在一定的空间内调动已有的认知去思考、去发现；提升思维也要依赖教师的引领，需要教师教会思考的方法，把握思考的方向。
数学是思维的体操，没有思维的加入就不是数学课，更谈不上有效的数学课堂，因此有效的数学课堂必然是有思维含量的数学课堂。
适时孕伏，巧妙铺垫，螺旋提升能够促成有效课堂的生成，但影响课堂有效的因素绝不仅仅限于以上所提，因此有效课堂的追寻是一个永久的话题，需要我们不断探索，不断发现!
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