3代数2导数的几个重要定理及应用学生版.docx

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3代数2导数的几个重要定理及应用学生版

自招竞赛秋季数学讲义

导数的几个重要定理及应用

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知识定位

导数是中学数学的主要内容，是除个别地区外大部分省市高考的重点。

作为高中数学和大学数学的重要衔接点，导数也是自主招生考试中的热点。

在往届各大联盟考试中导数和微积分初步固定占有一到两题的位置，难度要求以基本的应用为主。

竞赛中，导数作为高等数学中最基本的方法，也做了较高的难度要求。

本节课介绍导数的一些基本定理及应用，包括罗尔定理、柯西定理、拉格朗日定理和最为重要也是考试中应用最广的洛必达法则。

希望通过这些基本的介绍可以帮助学生更好地理解求导的一些常用技巧。

知识梳理

罗尔定理

1.费马定理：

设f（x）在U（x0）内有定义，且在x0处可导，若x0U（x0），有

f（x）≤f（x0）[或f（x）≥f（x0）]，则f′（x0）=0。

证明：

不妨设xU（x0）时，有f（x）≤f（x0）。

则对x0+∆xU（x0），有

f（x0+∆x）≤f（x0）

即当∆x>0时，

≤0；

当∆x<0时，

≥0；

从而：

f′（x0）=f′+（x0）=

≤0；

f′（x0）=f′-（x0）=

≥0；

于是f′（x0）=0

定义：

称满足f′（x）=0的点为驻点（或稳定点，或临界点）。

2.罗尔定理：

如果函数y=f（x）满足：

1）f（x）C[a，b]（表示f（x）在[a，b]上连续，下同）

2）f（x）D（a，b）（表示f（x）在（a，b）上可导）

3）f（a）=f（b）

那么在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ

f′（ξ）=0。

证明：

因为f（x）∈C[a，b]，所以f（x）在[a，b]内存在最大值M和最小值m。

以下分两种情形讨论：

1）M=m。

此时f（x）在[a，b]上必然取得相同的值f（x）=M。

此时有f′（x）=0，即对ξ∈（a，b），有f′（ξ）=0。

2）M>m。

由于f（a）=f（b），所以M和m中至少有一个不等于f（x）在[a，b]上的函数值。

不妨设：

M≠f（a）。

则在（a，b）内必有ξ使得f（ξ）=M。

即x[a，b]，有f（x）≤f（ξ）。

由费马定理得：

f′（ξ）=0。

柯西定理

柯西中值定理：

如果函数f（x）和F（x）满足f（x），F（x）C[a，b]且f（x），F（x）D（a，b），且F′（x）≠0，x（a，b）

则在（a，b）内至少存在一点ξ，成立等式：

=

。

分析：

在参数方程：

（a≤x≤b）表示的曲线上，

弦AB的斜率为：

。

曲线上点（X，Y）处的切线的斜率为：

=

。

当x=ξ时，则点C处的切线平行于弦AB。

证明：

因为F（b）-F（a）=F′（η）（b-a）（a<η

由假设：

F′（η）≠0，所以F（b）-F（a）≠0。

所以AB的方程为：

Y-f（a）=

[F（x）-F（a）]。

于是：

N点的纵坐标为：

Y=f（a）+

[F（x）-F（a）]，

M的纵坐标为f（x）。

于是：

NM的方程为：

φ（x）=f（x）-f（a）-

[F（x）-F（a）]

此函数满足罗尔定理的条件，即：

存在ξ∈（a，b），使得：

f′（ξ）-

F′（ξ）=0。

即：

=

。

当F（x）=x时，即为拉格朗日中值定理。

拉格朗日定理

拉格朗日定理：

如果函数y=f（x）满足f（x）C[a，b]且f（x）D（a，b）

那么在（a，b）内至少存在一点ξ（a<ξ

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

此公式称为拉格朗日中值公式。

此公式称为拉格朗日中值公式。

定理的几何解释：

为弦AB的斜率。

f′（ξ）为曲线点C处的斜率。

几何意义：

如果曲线y=f（x）在弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么在这弧上至少存在一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。

辅助函数的建立：

有向线段NM的值是x的函数，记为φ（x），则显然有φ（a）=φ（b）=0。

由于直线AB的方程为：

L（x）=f（a）+

（x-a）

又点N、M的纵坐标分别为L（x）、f（x），因此有向线段NM的值的函数为：

φ（x）=f（x）-L（x）=f（x）-f（a）-

（x-a）