江苏高考数学理科答案与解析.docx
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2014江苏高考数学试题及参考答案
数学I
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合，，则______．
【解析】
2．已知复数是虚数单位，则的实部为______．
【解析】
3．右图是一个算法流程图，则输出的的值是______．
【解析】
4．从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______．
【解析】
当且仅当两数为或时乘积为，有种情况，
从这个数中任取两个数有种，故概率为
5．已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则
的值是________．
【解析】
由题意，，∵，∴
当且仅当，时等式成立
6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的株树木中，有______株树木的
底部周长小于cm．
【解析】
∵
7．在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值为_____．
【解析】
设公比为，则由得，解得，故
8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，
则的值是________．
【解析】
设两圆柱底面半径为，两圆柱的高为
则，∵两圆柱侧面积相等，∴，，则
9．在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为_______．
【解析】
∵圆心到直线的距离
∴直线被圆截得的弦长为
10．已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范
围是_______．
【解析】
若，对称轴，，解得，舍去；
当时，，在上的最大值只可能在和处取到
因此，解得
11．在平面直角坐标系中，若曲线过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则的值是_______．
【解析】
由已知，，又∵，∴，解得，
∴
12．如图，在平行四边形中，已知，，，，则的
值是_______．
【解析】
∵，
∴，∴
13．已知是定义在上且周期的的函数，当时，，若函数
在区间上有个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____．
【解析】
由已知得曲线与在范围内有个交点，数形结合得到
14．若的内角满足，则的最小值是_______．
【解析】
由已知，
，当且仅当时等号成立
三、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程及计算步骤。
）
15．（本小题满分14分）
已知．
⑴求的值；
⑵求的值．
【解析】
（1）∵，，∴
（2）∵,
∴
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，，
，
求证：
（1）直线；
（2）平面．
【证明】
（1）∵为中点，∴
∵平面，平面
∴
（2）∵为中点，∴
∵为中点，∴
∴，∴，∴
∵，，∴
∵，∴平面
∵平面，∴平面平面
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的
坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结．
（1）若点的坐标为，且,求椭圆的方程；
（2）若,求椭圆离心率的值．
【解析】
（1）∵，∴，即
∵，∴，∴
∴椭圆方程为
（2）设焦点，，∵，∴直线
与椭圆方程联立得，整理得
解得或
∵，且关于轴对称
∴
∴
∵
∴
由得，即
18．（本小题满分16分）
如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：
新桥
与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆．且古桥两端和
到该圆上任意一点的距离均不少于m．经测量，点位于点O正北方向m处点位于
点正东方向170m处（为河岸），
（1）求新桥的长；
（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】⑴过作于，过作于，
∵，
∴
∴
设，则
∵
∴四边形为矩形
∴，
∴
∵，∴
∴
∴
∴，∴，．
∴
（2）设与切于，延长交于
∵
∴
设，则，
∴
∴，设半径
∴
∵到上任一点距离不少于
则，
∴，
∴
∴最大当且仅当时取到
∴时，保护区面积最大
19．（本小题满分16分）
已知函数，其中是自然对数的底数
（1）证明：
是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：
存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．
【解析】
（1）,，∴是上的偶函数
（2）由题意，，即
∵，∴，即对恒成立
令，则对任意恒成立.
∵，当且仅当时等号成立
∴
⑶，当时，∴在上单调增
令，
∵，，∴，即在上单调减
∵存在，使得，∴，即
∵
设，则，
当时，单调增；当时，单调减
因此至多有两个零点，而
∴当时，当时，当时
∵，，
故当时；当时；当时
20．（本小题满分16分）
设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称
是“数列”．
（1）若数列的前项和为，证明：
则称是“数列”；
（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；
（3）证明：
对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．
【解析】
（1）当时，
当时，
∴时，，当时，
∴是“数列”
（2）
对，使，即
取得，
∵，∴，又，∴，∴
⑶设的公差为
令，对，
，对，
则，且、为等差数列
的前项和，令，则
当时；当时
当时，由于与奇偶性不同，即非负偶数，
因此对，都可找到，使成立，即为数列
的前项和，令，则
∵对，是非负偶数，∴
即对，都可找到，使得成立，即为数列
因此命题得证
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应答题区域内作答，
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．【选修4-1：
几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，是圆的直径，是圆上位于异侧的两点，证明：
B.【选修4-2：
矩阵与变换】（本小题满分分）
已知矩阵，，向量，是实数，若，求的值
C.【选修4-4：
坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是参数，直线与抛物
线相交于两点，求线段的长
D．【选修4-5：
不等式选讲】（本小题满分10分）
已知，，证明：
【解析】A．证明：
，∴，又∵，∴
B．解：
，，由得，解得，
C．解：
直线代入抛物线方程并整理得
∴交点，，故
D．证明：
由均值不等式
分别当且仅当，时候等号成立
因此
当且仅当的时候等号成立
【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤
22.（本小题满分10分）
盒中共有个球，其中有个红球，个黄球和个绿球，这些球除颜色外完全相同
（1）从盒中一次随机抽出个球，求取出的个球颜色相同的概率
（2）从盒中一次随机抽出个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望
【解析】
（1）一次取个球共有种可能情况，个球颜色相同共有种可能情况
∴取出的个球颜色相同的概率
（2）的所有可能取值为，则，，
于是
∴的概率分布列为
故的数学期望
23.（本小题满分10分）
已知函数，设为的导数，
（1）求的值
（2）证明：
对任意，等式都成立
【解析】
（1）,两边求导得
两边再同时求导得（*）
将代入（*）式得
（2）下证命题：
，恒成立
当时，成立
当时，，由
（1）知成立
当时，，由
（1）知成立
当时，上式两边求导，即
假设当时命题成立，下面证明当时命题也成立
若，，则，
由两边同时求导得
即，命题成立
同理，若，，则，
由两边同时求导得，命题成立
若，，则，
由两边同时求导得，命题成立
若，，则，
由两边同时求导得，命题成立
综上所述，命题对恒成立
代入得，
两边同时取绝对值得
14
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