大一下高数练习题.docx

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大一下高数练习题

一、        单项选择题（6×3分）

1、设直线

，平面

，那么

与

之间的夹角为（       ）

A.0       B.

        C.

            D.

2、二元函数

在点

处的两个偏导数都存在是

在点

处可微的（       ）

A.充分条件              B.充分必要条件

C.必要条件              D.既非充分又非必要条件

3、设函数

，则

等于（      ）

A.

            B.

C．

       D.

4、二次积分

交换次序后为（      ）

A.

  B.

C.

 D.

5、若幂级数

在

处收敛，则该级数在

处（     ）

A.绝对收敛                    B.条件收敛

C.发散                        C.不能确定其敛散性

6、设

是方程

的一个解，若

，则

在

处（     ）

   A.某邻域内单调减少            B.取极小值

   C.某邻域内单调增加            D.取极大值

二、           填空题（7×3分）

1、设

＝（4，-3，4），

＝（2，2，1），则向量

在

上的投影

＝          

2、设

，

，那么

3、D为

，

时，

4、设

是球面

，则

＝             

5、函数

展开为

的幂级数为               

6、

＝              

7、

为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为      

三、计算题（4×7分）

1、设

，其中

具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求

。

2、求过曲线

上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分

，其中

4、求曲线积分

，其中是

沿曲线

由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

5、求级数

的和。

四、综合题（10分）

      曲线上任一点的切线在

轴上的截距与法线在

轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题（6分）

设

收敛，证明级数

绝对收敛。

一、           单项选择题（6×3分）

1、  A  2、  C   3、   C   4、  B 5、 A 6、 D    

二、           填空题（7×3分）

1、2 2、

3、

   4、

5、

 6、0   7、

三、计算题（5×9分）

1、解：

令

则

，

 故

2、解：

令

则

所以切平面的法向量为：

切平面方程为：

3、解：

＝

＝

＝

4、解：

令

 ，

则

   当

，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择

由（0，1）到（2，1）则

＝

＝

＝

5、解：

令

则

 ，

即                

令

，则有

＝

四、综合题（10分）

 解：

设曲线

上任一点为

，则

过

的切线方程为：

在

轴上的截距为

过

的法线方程为：

在

轴上的截距为

依题意有              

由

的任意性，即

，得到

这是一阶齐次微分方程，变形为：

……………………..

（1）

令

则

，代入

（1）

得：

分离变量得：

解得：

即                  

为所求的曲线方程。

 五、证明题（6分）

证明：

即         

而

与

都收敛，由比较法及其性质知：

收敛

故

绝对收敛。

一，单项选择题（6×4分）

1、直线

一定（       ）

A.过原点且垂直于x轴        B.过原点且平行于x轴

C.不过原点，但垂直于x轴    D.不过原点，但平行于x轴

2、二元函数

在点

处

①连续  ②两个偏导数连续 ③可微  ④两个偏导数都存在

那么下面关系正确的是（       ）

A②

③

①              B.③

②

①

C.③

④

①             D.③

①

④

3、设

，则

等于（      ）

A.0                    B.

C.

               D.

4、设

，改变其积分次序，则I＝（      ）

A. 

          B.

C.  

        D.

5、若

与

都收敛，则

（     ）

A.条件收敛                    B.绝对收敛

C.发散                        C.不能确定其敛散性

6、二元函数

的极大值点为（     ）

   A.（1,0）       B.（1,2）         C.（-3,0）          D.（-3,2）

二、           填空题（8×4分）

1、过点

（1，3，－2）且与直线

垂直的平面方程为

2、设

，则

＝           

3、设D：

，

，则

4、设

为球面

，则

＝                       

5、幂级数

的和函数为             

6、以

为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为      

7、若

收敛，则

＝              

8、

平面上的曲线

绕

轴旋转所得到的旋转面的方程为 

三、计算题（4×7分）

1、设

可微，

由

确定，求

及

。

2、计算二重积分

，其中

。

3、求幂级数

的收敛半径与收敛域。

4、求曲线积分

，其中

是由

所围成区域边界取顺时针方向。

四、综合题（10分）

       曲线

上点

的横坐标的平方是过

点的切线与

轴交点的纵坐标，求此曲线方程。

五、证明题（6分）

设正项级数

收敛，证明级数

也收敛。

一、           单项选择题（6×4分）

1、  A  2、  A   3、   C   4、  B 5、 B 6、 D    

二、           填空题（8×4分）

1、

 2、

        3、4    4、

 5、

      6、

     7、1      8、

三、计算题（4×7分）

1、解：

令

2、解：

＝

＝

               =

=

=

3、解：

令

对于

，

当

时

＝

发散

      当

时，

＝

也发散

 所以

在

时收敛，在该区间以外发散，即

解得

故所求幂级数的收敛半径

为2，收敛域为（0，4）

4、解：

令

，

则

，由格林公式得到

＝

＝

                      ＝

＝4

四、综合题（10分）

 解：

过

的切线方程为：

令X＝0，得            

依题意有：

即

…………………………..

（1）

对应的齐次方程解为

令所求解为

将

代入

（1）得：

故

（1）的解为：

五、证明题（6分）

证明：

由于

收敛，所以

也收敛，

而

由比较法及收敛的性质得：

收敛。