初二6图形平移与旋转.docx

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初二6图形平移与旋转

第三章图形的平移与旋转

一、知识概要

一、平移

定义:

在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

性质:

平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

（平移的概念与性质）

例、如图，由11个面积为6的等边三角形按下列方式排列，它们都有一边在同一直线上，每个三角形底边的中点恰为下一个三角形的一个顶点.

（1）请说一说该图案的形成过程；

（2）由这11个三角形所盖住的平面区域的面积是。

3、作图

平移作图的依据是平移的性质：

1、平移后的图形大小和形状完全相同，即对应线段平行且相等，对应角相等。

2、平移后对应点所连接的线段平行且相等。

一、根据“平移后对应点所连的线段平行且相等”作平移后图形。

1、已知原图位置和平移的方向及距离，作平移后图形。

例1：

如图1，图形扇形OAB按箭头所示方向平移2cm，作出平移后的图形。

B

A

D

C

O

P

图1

【分析】：

解：

如图，分别过O、A、B点作与箭头所示方向相同的一组平行线段OP、AC、BD，且OP=AC=BD=2cm，连接OA、OB，作弧AB，就得到扇形OAB平移后的图形。

2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。

例2：

如图2，平移小旗，使小旗上的点P平移到点A，作出平移后的小旗。

B

Q

A

RPC

D

图2

S

【分析】：

解：

如图，连接PA，分别过Q、R、S作线段QB、RC、SD，使QB∥RC∥SD∥PA，且QB=RC=SD=PA=2cm，连接AB、AC、BC、CD,得到平移后的小旗。

二、根据“平移后对应线段平行且相等”作平移后图形。

1、已知原图形位置和平移后一边的位置（一对对应边），作平移图形。

例3：

如图3，⊿ABC的边AB经过平移到了PD，作出⊿ABC平移后的图形。

P

A

BD

CE图3

【分析】：

解法1:

分别过点P、点D作AC、BC的平行线，两线相交与点E，则⊿PDE就是所求作的三角形。

解法2:

2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。

例4：

如图3，⊿ABC的顶点A经过平移到了点P，作出⊿ABC平移后的图形。

【分析】：

解法：

【方法探究】：

由上面可以看出，作一个图形平移后的图形：

1、除了确定原图的位置，还需要知道图形平移的方向（不一定是水平或垂直方向）和平移的距离（连接对应点的线段的长度）

2、关键是确定特殊点（线段端点，角的顶点等）

3、顺次连接各点（连接不一定是线段）

小练

1.小宁和婷婷在一起做拼图游戏，他们用“、△△、=”构思出了独特而有意义的图形并根据图形还用简洁的语言进行了表述：

图1

观察以上图案

（1）这个图案有什么特点？

（2）它可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成？

（3）在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？

你能解释其中的道理吗？

2.如图2，经过平移，扇形上的点A移到了F，作出平移后的扇形.

图2

3.经过平移，△ABC的边AB移到了MN，作出平移后的三角形，你能给出几种作法？

图3

二、旋转

1、定义:

在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质:

旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。

（旋转的概念与性质）

例、如图所示，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB＝

∠BOC＝∠COA＝120°，P是ΔABC内不同于O的另一点；

ΔA1BO1、ΔA1BP1分别由ΔAOB，ΔAPB旋转而得，旋转

角都为60°，则下列结论：

①ΔO1BO为等边三角形，且A1、O1、O、C在一条直线上；②A1O1＋O1O＝AO＋BO；③A1P1＋PP1＝PA＋PB；④PA＋PB＋PC>OA＋OB＋OC。

其中正确的有（填序号）.

例1如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的三角形.

解：

本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF吗？

1．课本随堂练习.

解：

如下图，先确定字母N的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的位置，然后连线.

O

A

B

C

D

E

F

2．小明和妈妈在广场游玩时,看见许多喷水嘴正在给草坪浇水。

喷水嘴不停地旋转着,但每时每刻喷出的水雾总是四分之一圆。

妈妈问：

“小明,如果喷出水雾的范围内有一正方形,喷水嘴位于它的中心,你知道喷水嘴在旋转的过程中瞬时浇过正方形区域的面积是多少吗?

”请你替小明做出回答。

3．将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上（如图所示）。

你知道旋转角是多少吗？

连结BB’，△ABB’有什么特征吗？

4．如下图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的“立体图形”!

但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！

5、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。

三.对称

（1）轴对称与轴对称图形（概念与性质）

例、已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，

OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周

长取最小值时，求∠APB的度数.

（2）中心对称（概念与性质）

例4、下列图形中，一定不是中心对称图形的是（）

A.至少旋转30°后才与自身重合B.至少旋转60°后才与自身重合

C.至少旋转90°后才与自身重合D.、至少旋转120°后才与自身重合

四、课堂练习

1、△ABC平移到△DEF的位置，（即点A与点D，点B与点E，点C与点F，是对应点）有下列说法：

①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF其中说法正确个数有……（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、（2003，河南）把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（如图1中的阴影部分）的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=

，则正方形移动的距离是AA′是_______．

（1）

（2）（3）

3．（2004，南宁）如图2是两张全等的图案，它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转_______度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．

4、如图3，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其中点P位

于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是__________。

5、如图11-2所示，Rt△A′B′C′是△ABC向右平移3cm所得，

已知∠B＝60°，B′C＝5cm，则∠C′＝__________，

B′C′＝_________cm．

6.如图所示，直角△AOB顺时针旋转后与△COD重合，若∠AOD＝127°，则旋转角度是

7．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别在D′、C′位置，若∠EFB=65°，则∠AED′=_________.

8．四边形ABCD为长方形，△ABC旋转后能与△AEF重合，旋转中心是点

旋转了多少度；连结FC，则△AFC是三角形。

9．如图11-5，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕B点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三形是_____________．

10．如图11-6，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这

个三角形按逆时针

方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有_____________．

生活中的平移、旋转和对称图形测试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1、在下面五幅图案中，

（2）、（3）、（4）、（5）中哪一幅图案可以通过平移图案

（1）得到.（）

A.

（2）B.（3）C.（4）D.（5）

2、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.下列图案中，不能由一个圆形通过旋转而构成的是（）

3、下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

4、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中的阴影部分）的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=

，则正方形平移的距离AA′是（）.

A.1B.

C.

D.

（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）

5、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB

若△ABC不动，将△BDE绕Ｂ点旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）

A.AE=CDB.AE>CDC.AE

6、同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（）

A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到

C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120°得到

7、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.45°

8、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）

A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

9、如图是一跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有旗子。

我们约定跳棋游戏的规则是：

把跳棋旗子在棋盘内沿直线隔着旗子对称跳行，跳行一次称为一步。

已知点A为已方一枚旗子，欲将旗子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为

A.2步B.3步C.4步D.5步

（第9题图）（第10题图）

10、如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°．边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到A′B′C′D′位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为（）

A.8B.4（

－1）C.8（

－1）D.4（

＋1）

二、填空题（每小题4分，共20分）

11、在你所学过的几何图形中，写出两个既是轴对称图形又是中心对称图形的图形名称：

_______.

12、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：

①AB∥CD；②AC⊥BD；③OA=OC；④AB⊥BC。

其中正确的结论有（填序号）.

（第12题图）（第13题图）（第14题图）

13、如图，AD是ΔABC的中线，∠ADC=45°，把ΔADC沿AD对折，点C落在点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是.

14、如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形.

15、由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如右图）。

请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形。

三、（每小题8分，共16分）

16、如图，AM//DN，直线l与AM、DN分别交于点B、C.在线段BC上以一点P，直线l绕点P旋转.请你写出变化过程中直线l与AD、AM、DN围成的图形的名称.（至少写出三个）

17、如图，在10×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1，将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点A′逆时针旋转90°，得到△A″B″C″.请你画出△A′B′C′和△A″B″C″（不要求写画法）

四、（每小题9分，共18分）

18、已知：

如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，BC∥x轴，点B的坐标是（-3，1）.

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；

（2）求以点A、B、B′、A′为顶点的四边形的面积.

19、如图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每一行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积.

五、（本题10分）

20、请你在下面3个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）内，分别设计1个图案，要求:

在

（1）中所设计的图案是面积等于

的轴对称图形；在

（2）中所设计的图案是面积等于2

的中心对称图形；在（3）中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并且面积等于3

．将你设计的图案用铅笔涂黑．

六、（本题12分）

21、把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：

0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.在上述旋转过程中，BH与CH有怎样的数量关系？

四边形BHGK的面积有何变化？

证明你发现的结论；