中考压轴大题抛物线+新定义 学生版.docx

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中考压轴大题抛物线+新定义学生版

001如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．

（1）若抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点为（－1,0），（3,0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；

（2）如图，四边形OABC是抛物线y＝－x2＋bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB＝60°.

①求“抛物菱形OABC”的面积；

②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB，BC交于E，F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

002如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣

），点M是抛物线C2：

y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？

若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

003在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点Q（x，y）．给出如下定义：

若

，则称点Q为点P的“伴随点”．例如：

点（1，2）的“伴随点”为点（5，0）．

（1）若点Q（﹣2，﹣4）是一次函数y＝kx+2图象上点P的“伴随点”，求k的值．

（2）已知点P（m，n）在抛物线C1：

y＝

﹣x上，设点P的“伴随点”Q（x，y）的运动轨迹为C2．

①直接写出C2对应的函数关系式．

②抛物线C1的顶点为A，与x轴的交点为B（非原点），试判断在x轴上是否存在点M，使得以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

③若点P的横坐标满足﹣2≤m≤a时，点Q的纵坐标y满足﹣3≤y≤1，直接写出a的取值范围．

004如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶．

（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是．

（2）抛物线y＝

对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝，对应的碟宽AB是．

（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣

（a＞0）对应的碟宽在x轴上，且AB＝6．

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．

005定义：

如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C1图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C2的图象与C1关于l成轴对称，则称C2是C1关于点M的伴随函数．如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C1的函数表达式是y＝﹣2x2+2，点M是二次函数C1图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数C2是C1关于点M的伴随函数．

（1）若m＝1，

①求C2的函数表达式．

②点P（a，b1），Q（a+1，b2）在二次函数C2的图象上，若b1≥b2，a的取值范围为．

（2）过点M作MN∥x轴，

①如果MN＝4，线段MN与C2的图象交于点P，且MP：

PN＝1：

3，求m的值．

②如图3，二次函数C2的图象在MN上方的部分记为G1，剩余的部分沿MN翻折得到G2，由G1和G2所组成的图象记为G．以A（1，0）、B（3，0）为顶点在x轴上方作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．

006在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、An和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线Ln过点An、Bn，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线Ln交正方形AnBn∁nCn﹣1的边AnBn于点Dn（其中n≥2且n为正整数）．

（1）直接写出下列点的坐标：

B1，B2，B3；

（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线Ln的顶点坐标；

（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；

②点D1、D2、…，Dn是否在一条直线上？

若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．

007（12.00分）小资与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．

抽象感悟：

我们定义：

对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．

（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．

问题解决：

（1）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）

①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1；其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn；其顶点为An…（n为正整数）求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．

008（2018湖北天潜沔）抛物线y=﹣

x2+

x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：

y=t（t＜

）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．

（1）点A，B，D的坐标分别为，，；

（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；

（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

009（2018湖北荆州）阅读理解：

在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=

．

如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|=

=2

．

对于某种几何图形给出如下定义：

符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+

交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．

（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是；

（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；

问题拓展：

（3）若

（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+

交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：

①EF是△AMN外接圆的切线；②

+

为定值．

010（2018湖南长沙）我们不妨约定：

对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

①

=

；②

=

；③“十字形”ABCD的周长为12

．