高中数学基础讲义16抛物线简单难度讲义.docx

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高中数学基础讲义16抛物线简单难度讲义

抛物线

知识讲解

一、抛物线及其标准方程

1.定义：

平面内与一个定点

和一条定直线

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点

叫做抛物线的焦点，定直线

叫做抛物线的准线．

2.抛物线的标准方程：

，焦点在

轴正半轴上，坐标是

准线方程：

，其中

是焦点到准线的距离．

二、抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程

1.范围：

抛物线在

轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸．

2.对称性：

以

轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

3.顶点：

抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．

4.离心率：

抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用

表示，

．

三、抛物线方程的四种形式

标准方程

图形

对称轴

焦点坐标

准线方程

轴

轴

四、抛物线的重要结论

1.标准方程：

2.焦点：

3.准线：

4.焦半径：

5.过焦点弦长

6.通径

典型例题

一．选择题（共19小题）

1．（2017春•金山区校级期中）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（　　）

A．圆B．抛物线

C．椭圆D．双曲线

【解答】解：

设Q（u，v），则

∵x2+y2=1，

∴u2﹣2v=x2+y2=1．

∴点Q的轨迹是抛物线．

故选：

B．

2．（2016秋•运城期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（　　）

A．椭圆B．双曲线

C．圆D．抛物线

【解答】解：

∵BC⊥平面ABB1A1，∴|MB|表示M到直线BC距离相等

∵平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，∴M到平面ADD1A1的距离等于M到AA1的距离

∵M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，

∴|MB|等于M到AA1的距离

根据抛物线的定义，可知动点M的轨迹为抛物线

故选：

D．

3．（2016•美兰区校级模拟）过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是（　　）

A．y2=12xB．y2=﹣12x

C．x2=﹣12yD．x2=12y

【解答】解：

由已知条件：

过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y=﹣3为准线的抛物线，故其方程为x2=12y．

故选：

D．

4．（2018•城关区校级模拟）若一动圆的圆心在抛物线x2=16y上，且与直线y+4=0相切，则此圆恒过定点（　　）

A．（0，﹣8）B．（0，4）

C．（0，﹣4）D．（0，8）

【解答】解：

如图，

抛物线x2=16y的焦点坐标为F（0，4），直线方程为y=﹣4．

∵动圆的圆心在抛物线x2=16y上，且与直线y+4=0相切，

∴由抛物线定义可知，动圆恒过定点F（0，4）．

故选：

B．

5．（2017秋•莲湖区校级期末）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（　　）

A．y2=﹣4xB．x2=4y

C．y2=﹣4x或x2=4yD．y2=4x或x2=﹣4y

【解答】解：

∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4），

∴设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），

将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2=2py（p＞0）得：

16=8p，

∴p=2，

∴此时抛物线的标准方程为x2=4y；

将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2=﹣2px（p＞0），同理可得p=2，

∴此时抛物线的标准方程为y2=﹣4x．

综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2=4y或y2=﹣4x．

故选：

C．

6．（2017秋•宁乡县期末）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（　　）

A．x2=﹣28yB．x2=28y

C．y2=﹣28xD．y2=28x

【解答】解：

∵准线方程为x=﹣7

∴﹣=﹣7

p=14

∴抛物线方程为y2=28x

故选：

D．

7．（2017秋•九龙坡区校级期末）抛物线的焦点坐标是（　　）

A．（0，）B．（0，）

C．（0，）D．（0，）

【解答】解：

由题意，抛物线的焦点在y上，开口向下，且2p=，

∴．

∴抛物线的焦点坐标是（0，﹣）．

故选：

B．

8．（2017•西安一模）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（　　）

A．﹣2B．2

C．﹣4D．4

【解答】解：

双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），

即抛物线y2=2px的焦点为（2，0），

∴=2，

∴p=4．

故选：

D．

9．（2018•榆林二模）若抛物线x2=16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0=（　　）

A．2B．

C．1D．

【解答】解：

拋物线x2=16y上一点（x0，y0），到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，

可得y0+=3y0，所以y0===2．

故选：

A．

10．（2018•呼伦贝尔一模）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（　　）

A．B．﹣

C．3D．﹣3

【解答】解：

抛物线y2=2x的焦点F（，0），

当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，﹣1），

∴=（，1）•（，﹣1）=﹣1=﹣，

故选：

B．

11．（2018•涪城区校级三模）抛物线y=4x2的准线方程是（　　）

A．x=1B．x=﹣

C．y=﹣1D．y=﹣

【解答】解：

由题意，抛物线的标准方程为x2=y，

∴p=，开口朝上，

∴准线方程为y=﹣；

故选：

D．

12．（2018•益阳模拟）已知抛物线C：

y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线C上一点A的直线和抛物线C的准线交于点B，且满足AB=2AF，则直线AB的斜率为（　　）

A．±2B．±

C．±D．±

【解答】解：

根据题意，过点A作准线的垂线，与准线交于点D，

由抛物线的定义，|AD|=|AF|，

若AB=2AF，则|AB|=2|AD|，

Rt△BAD中，|AB|=2|AD|，则tan∠BAD=，则∠BAD=，

又由抛物线关于对称性可得直线AB的斜率为±，

故选：

C．

13．（2018•河南一模）抛物线x=2py2（p＞0）的焦点坐标为（　　）

A．B．

C．D．

【解答】解：

抛物线x=2py2（p＞0）的标准方程为：

y2=x，抛物线的焦点坐标（）．

故选：

B．

14．（2018•黑龙江模拟）已知抛物线C：

y2=16x，焦点为F，直线l：

x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（　　）

A．B．35

C．D．40

【解答】解：

由抛物线C：

y2=16x，可得F（4，0），

设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，

∵|FA|=5|FB|，

∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，

∴n=±4，

∵a=5n，∴a=±20，

∴|FA|==35．

故选：

B．

15．（2018•市中区校级一模）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y=±xB．y=±x

C．y=±xD．y=±3x

【解答】解：

∵抛物线x2=8y的焦点为（0，2），

∴双曲线的一个焦点为（0，2），

∴+1=4，

∴m=，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x．

故选：

A．

16．（2018•肥城市模拟）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（　　）

A．B．﹣

C．或﹣D．﹣或

【解答】解：

抛物线y=ax2化为：

x2=，它的准线方程为：

y=﹣，

点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，

可得|1+|=2，解得a=或﹣．

故选：

C．

17．（2018•大武口区校级一模）已知圆C：

（x﹣a）2+y2=1与抛物线y2=﹣4x的准线相切，则a的值是（　　）

A．0B．2

C．0或1D．0或2

【解答】解：

抛物线的准线方程为：

x=1，

∴圆心（a，0）到直线x=1的距离d=|a﹣1|=1，

∴a=0或a=2．

故选：

D．

18．（2018•凌源市模拟）如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）

A．y2=9xB．y2=6x

C．y2=3xD．

【解答】解：

如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：

|BC|=2a，由定义得：

|BD|=a，故∠BCD=30°，

在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，

∴2|AE|=|AC|

∴3+3a=6，

从而得a=1，

∵BD∥FG，

∴=求得p=，

因此抛物线方程为y2=3x．

故选：

C．

19．（2018•南关区校级四模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0），倾斜角为45°的直线与抛物线交于A、B两点，若|AF|+|BF|=10，则抛物线的准线方程为（　　）

A．x+1=0B．2x+1=0

C．2x+3=0D．4x+3=0

【解答】解：

抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，

过点M（p，0），倾斜角为45°的直线设为y=x﹣p，

代入抛物线的方程，可得x2﹣4px+p2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有△=16p2﹣4p2=12p2＞0，

x1+x2=4p，

由抛物线的定义可得，|AF|+|BF|=（x1+）+（x2+）=10，

即为x1+x2+p=4p+p=10，解得p=2，

则抛物线的准线方程为x=﹣1，即x+1=0．

故选：

A．

二．解答题（共2小题）

20．已知抛物线的一个顶点为双曲线﹣=1的中心，抛物线的焦点在双曲线的焦点上，求此抛物线的方程．

【解答】解：

双曲线﹣=1的焦点坐标（5，0），（﹣5，0），

抛物线的一个顶点为双曲线﹣=1的中心，抛物线的焦点在双曲线的焦点上，

可得p=10，

所求的抛物线方程为：

y2=±20x．

21．抛物线y2=4x上两点A，B到焦点的距离之和为10，求线段AB中点到y轴的距离．

【解答】解：

∵F是抛物线y2=4x的焦点

∴F（1，0），准线方程x=﹣1

设A（x1，y1），B（x2，y2）

∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=10

∴x1+x2=8，

∴线段AB的中点横坐标为4，

∴线段AB的中点到y轴的距离为4．