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机械能讲义

《机械能》巩固与提高

本章知识结构

专题一：

功

一、功的概念：

功是物理学中一个抽象而重要的概念，是以后学习“能”的基础。

1、功的定义：

物体在力的作用下，并沿力的方向发生一段位移，就称力对物体做了功。

由功的定义可见：

力做功的两个必要因素是

（1）力

（2）物体在力的方向上发生的位移。

2、功是一个过程量，力对物体做功是和一定的运动过程有关的，功所描述的是力的空间积累效应。

3、两种判断力不做功的方法：

[巩固题]

如图1所示，小物块A位于光滑的斜面上，斜面体位于光滑水平地面上，则从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（）

A、垂直于接触面，做功为零。

B、垂直于接触面，做功不为零。

C、不垂直于接触面，做功为零。

D、不垂直于接触面，做功不为零。

二、功的计算公式：

1、若物体（可以看作质点）在恒力（大小、方向都不变）的作用下，在力的方向上发生一段位移，则恒力对物体所做的功为：

W=FL

2、若物体在恒力作用下所发生的位移与力的方向又一定的夹角，则恒力对物体所做的功为

W=FLcosα

若α=0，则此式就变成W=FS。

应用公式应注意：

①功时一个标量，只有大小，没有发向。

②式中的力F一定是恒力（大小、方向都不变），即此式是计算恒力做功的公式，若是变力，高中阶段一般不用此式求变力的功。

③式中的位移S一般是相对地而言的。

在物体可以看作质点时，S就是物体的位移；当物体不可以看作质点或力的作用点与物体有相对运动时，S是力的作用点的位移，Scosα是力的方向上发生的位移。

例：

④力所做的功，只和有力作用的那一段位移有关，若力取消后物体仍在运动，则力对物体所做的功与力取消后物体发生的位移无关，即力F和位移S具有同时性。

例：

足球运动员用力F=200N将足球踢出10m远，则足球运动员对足球做的功为（）

A、2000JB、200JC、0JD、无法确定

⑤功是一个过程量，总和一定的过程相联系，它反映了力对空间的累积效应。

⑥在国际单位制中功的单位是：

焦耳（J），1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m的位移时所做的功。

⑦物理学中的“做功”与日常生活中的“做功”是不同的：

例：

一个搬运工在搬运货物时，若扛着货物不动就不做功，扛着货物沿水平方向前进也不做功，当沿斜面向上走时就做了功，可见物理上所说的功必须具备两个条件：

力和在力的方向上的位移。

而日常生活中上述的三种情况我们都说这个搬运工做了功。

三、正功与负功

对W=FScosα的讨论：

1、当0≤α﹤π/2时,cosα﹥0,W﹥0,表示力对物体做正功。

2、当α=π/2时，cosα=0，W=0，表示力对物体不做功（力和位移的方向垂直）。

3、当π/2﹤α≤π时，cosα﹤0,W﹤0,表示力对物体做负功。

可见，一个力可以对物体做正功，也可以做负功，也可以不做功。

理解正功和负功物理意义：

①功是标量，只有大小，没有方向，功的正负不表示方向，也不表示大小，既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”，正功和负功只表示两种相反的作功效果。

②力对物体做正功，说明物体在发生该段位移的过程中，该力是动力，使物体能量增加。

③力对物体做负功，说明物体在发生该段位移的过程中，该力是阻力，使物体能量减少。

④一个力对物体做负功，常常说成“物体克服这个力做功（取绝对值）”，这两种说法在意义上是等同的。

四、几个力对物体所做的总功：

当一个物体受几个力作用并发生一段位移时，缉私合外力做的总功时，要考虑各个外力共同做功产生的效果。

一般有两种计算方法。

①当物体在几个力F1、F2、F3、…的共同作用下发生一段位移S时，这几个力对物体所做的总功W，等于各个力分别对物体所做的功的代数和，即;

W=W1+W2+W3+……

②当物体在几个力F1、F2、F3、…的共同作用下发生一段位移S时，这几个力对物体所做的总功W，等于这几个力的合力F对物体所做的功，即;

W=F合L

上述的第一种计算方法针对当合外力变化的情况；当合外力是恒定的，就可以应用第二种方法。

利用两种方法求总功，对于同一个物体来说结果是相同。

例：

如图2所示，质量为2kg的物体在水平地面上，受到和水平方向成37°角，大小为10N的拉力作用，移动2m。

已知地面和物体之间的动摩擦因数μ=0.2，求：

（1）拉力对物体所做的功

（2）重力对物体所做的功

（3）弹力对物体所做的功

（4）外力对物体做的总功

[课堂巩固题]

1、以一定的初速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力大小恒为f，则从抛出到回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（）

A、0B、-fhC、-2fhD、-4fh

2、如图3所示，一小车沿水平路面加速前进，一个人在车厢内用力向前推车厢，人相对车厢静止，则下列说法中正确的是（）

A、人对车不做功

B、人对车做负功

C、推力对车做正功

D、车对人做正功

3、一物体静止在光滑水平面上，先对物体向右施加一水平力F1，经过时间t后撤去F1，立即对物体施加一水平向左的力F2，有经过时间t后，物体回到出发点，在这一过程中力F1和F2分别对物体做的功W1和W2的关系是（）

A、W1=W2B、W2=2W1

C、W2=3W1D、W2=5W1

4、如图4所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体和斜面间的动摩擦因数为μ，现在使斜面水平向左匀速移动距离l，求：

（1）摩擦力对物体所做的功（物体与斜面相对静止）

（2）斜面对物体的弹力所做的功

（3）重力对物体所做的功

（4）斜面对物体做的功是多少？

各力对物体所做的总功是多少？

五、变力做功问题：

（要求了解）

由于公式W=FScosα只能用于恒力做功的情况，对于变力做功或物体的运动轨迹是曲线时，不能用公式W=FScosα计算功的大小。

下面介绍几种求变力做功的计算方法。

1、微元法

即“微分”的方法，将运动轨迹细分成若干段，就可以将每一段看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根据W=F1cosα1+F2cosα2+……来求变力的功是多少。

例：

如图5所示，某人用大小不变的力F转动半径为R的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功为多少？

2、平均力法

如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化，可用力的平均值代替变力，利用功的定义式求功。

例；用锤子把钉子钉入木块中，设锤子每次打击时，锤子对钉子做的功均相同，钉子进入木块所受的阻力跟钉入的深度成正比，如果第一次打入木块的深度为2cm，求第二次打入的深度？

3、图象法

如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，就可以在平面直角坐标系内画出F—S图象，而图线与坐标轴所围的“面积”就代表力F做的功，这种图像又叫做“示功图”。

例：

用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这过程中至少要做多少功？

（g取10m/s2）

4、用转换研究对象的方法：

如果某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

这种方法实际上是通过关联点，将变力做功转化为恒力做功。

例：

如图6所示，在水平粗糙地面上放置一个质量分布均匀的木箱，现在把木箱推翻过去一次至少要做多少功？

（设木箱质量为m，边长为a，在翻转时和地面之间无滑动）

[巩固题]

1、如图7所示，物体静止在斜面上，受到重力、斜面支持力和静摩擦力，现在使斜面载着物体一起向右匀速运动，通过一段位移后，则（）

A、静摩擦力对物体做正功。

B、支持力对物体做负功。

C、重力对物体做了正功。

D、没有任何力对物体做功。

2、下列说法中正确的是（）

A、当作用力做正功时，反作用力一定做负功。

B、当作用力不做功时，反作用力也不做功。

C、作用力和反作用力的功一定大小相等，正负符号相反。

D、作用力做正功时，反作用力也可能做正功。

3、关于摩擦力做功的下列说法中错误的是（）

A、滑动摩擦力一定做负功。

B、静摩擦力一定不做功。

C、静摩擦力也可能做功。

D、两个物体间相互作用的一对摩擦力做功的总和恒等于零。

4、如图8所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带沿图示的方向匀速转动，则传送带对物体的做功情况是（）

A、始终不做功。

B、先做负功后做正功。

C、先做正功后不做功。

D、先做负功后不做功。

5、如图9所示，均匀长直木板长L=40cm放置在水平桌面上，它的右端和桌边相齐，木板质量m=2kg，与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，今用水平推力F将其推下桌面，则水平推力至少做功为（g取10m/s2）（）

A、0.8J

B、1.6J

C、8J

D、4J

6、用力将重物竖直提起，先是从静止匀加速上升，紧接着匀速上升，如果前后两个过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（）

A、加速过程中拉力做的功一定比匀速过程中拉力做的功多。

B、匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功多。

C、两过程中拉力做的功相等。

D、上述三种情况都有可能。

7、如图9所示，绳的一端固定在地面上，另一端绕过一个重为G的油桶，在绳的自由端用大小为F的水平力使油桶沿水平面匀速滚动一段距离S，在此过程中，拉力F所做的功为

（）

A、FS

B、GS

C、2FS

D、（F+G）S

8、如图11所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为V0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为0，如果斜面改为AC，让物体从D点出发沿DCA滑动到顶点A时速度刚好为0，则对于物体的初速度（已知物体和路面的动摩擦因数处处相等且不为零）下列正确的是（）

A、大于V0

B、等于V0

C、小于V0

D、取决于斜面的倾角。

9、质量为m的物体放在底面长度为L，倾角不同的a、b、c三个固定斜面上从顶端滑下，如图12所示，物体和斜面间的动摩擦因数相同，三个斜面与水平面的夹角的关系是θ1﹥θ2﹥θ3，在物体从a、b、c三个斜面的顶端滑倒底端的过程中，物体克服摩擦力做的功分别是W1、W2、W3，则它们的关系是（）

A、W1>W2>W3

B、W1=W2>W3

C、W1

D、W1=W2=W3

11、质量为2kg的物体置于水平地面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向作匀变速直线运动，2s后撤去外力F，其运动的速度图像如图13所示，取g=10m/s2，则下列说法中正确的是（）

A、拉力F对物体做功为150J。

B、拉力F对物体做功为500J。

C、物体克服摩擦力做功为100J。

D、物体克服摩擦力做功为175J。

12、如图14所示，长L=1m，质量为M=1kg的木板AB静止在光滑的水平面上，在木板的最左端A处有一个质量为m=1kg的小物体C静止在木板上。

现在用F=20N的水平恒力作用在物体C上，使它由静止开始向右运动。

已知C与木板间动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s2。

求物体C由A端运动到B端时，水平恒力对物体C所做的功及物体C、木板AB的速度各为多少？

专题二：

功率

1、功率的概念：

（1）定义：

功跟完成这些功所以时间的比值。

（2）定义式：

P=W/t单位：

瓦特W

理解功率的概念，注意一下几点：

①功是力做的，所以说到功率一定要指明是哪一个力的功率。

②功率的物理意义：

功率是反映力做功快慢的物理量。

③功率是标量，由于功有正负，相应功率也有正负，功率的正负不表示大小，只表示做功的性质，动力的功率为正，阻力的功率为负，计算功率不带正负号，只计绝对值。

④功和功率是两个不同的概念，功表示力对物体做功的快慢，并不表示做功的多少。

力对物体做功多，功率不一定大；同样，功率大，做功不一定多。

2、功率的另一个表达式；P=Fvcosα

（1）此式的推导：

把W=FScosα和v=s/t代入功的定义式P=W/t即可得：

P=Fvcosα

此式中，F是对物体做功的力，v是物体的运动速度，α是力F与速度v之间的夹角，若α=0，即力F与速度同向，则上式就变成：

P=Fv

（2）对P=Fv的讨论：

①此式的物理意义是：

当力F与物体的运动速度v方向一致时，力的实际功率就等于力F和运动速度的乘积，对于机车（汽车、火车等交通工具或动力设备），牵引力F的方向和物体运动速度方向一般是一致的，可用公式P=Fv计算实际功率（称牵引力的功率、发动机的输出功率），特别注意的是：

F为机车的牵引力，并非机车所受的合外力。

②当P一定时，F∝1/v，即做功的力越大，其速度越小，如：

汽车在发动机功率一定时上坡，司机采用换档的方法减小速度以获得较大的牵引力满足上坡的需要。

③当v保持一定时，P∝F，即做功的力越大，它的功率就越大。

如：

汽车上坡时要保持一定的速度，就必须加大油门，增大发动机的功率以获得较大的牵引力。

④当力F一定时，P∝v，即速度越大，功率越大。

如：

起重机吊同一货物以不同的速度匀速上升，牵引力保持不变（大小等于物重），起吊的速度越大，起重机的输出功率就越大。

3、平均功率和瞬时功率

（1）平均功率表示力在一段时间内做功的平均快慢程度，平均功率与某一段时间（或过程）相关，计算时要明确是哪个力在哪段时间（或过程）内做功的功率。

计算公式:

（2）瞬时功率表示力在某一时刻的功率，表示力在极短时间内做功的快慢程度，瞬时功率与某一时刻或某一状态相对应，计算时要明确是哪一个力在哪个时刻或状态的功率。

计算公式：

P=Fvcosα

4、额定功率和实际功率

（1）额定功率：

指动力机器长时间正常工作时的最大输出功率，也是机器铭牌上的标称值。

额定功率是机器的重要性能指标，一个动力机器的额定功率是一定的。

（2）实际功率：

是指机器工作时实际的输出功率。

实际功率是机器工作时实际的输出功率，实际功率可以大于、等于或小于额定功率，但实际功率长时间大于额定功率会缩短机器的使用寿命甚至损坏机器（短时间内实际功率略大于额定功率是可以的）。

5、功率和机械效率

这两个概念不能混淆，功率是衡量物体做功快慢程度的物理量；机械效率描述物体做功时有效利用率的物理量。

功率的计算公式是P=W/t，而机械效率的计算公式是：

η=W有/W总

功率大的机器，其机械效率不一定高，功率小的机器其机械效率不一定低。

[巩固题]

1、人的心脏跳一次大约输送8×10-5m3的血液，正常人的血压（可看作心脏输送血液的压强）的平均值为15×104Pa，心脏每分钟跳70次，据此估计心脏工作时的平均功率。

2、一跳绳运动员质量为m=50kg，1min跳=180次，假设每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次的2/5，试估算该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率为多大？

（g=10m/s2）

3、如图15所示，水平传送带正以v=2m/s的速度运行，两端水平距离为L=10m，把一质量为m=1kg的物体轻轻放在水平传送带上，物体在传送带的带动下向右运动，若物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.1，则把这个物体从传送带的左端传送到右端的过程中，摩擦力做功的平均功率多大？

若L=1m时情况又怎样?

（物体看作质点，g=10m/s2）

6、机车启动的两种理想模式

（1）以恒定的功率P启动（从静止开始运动）和行使

设机车的质量为m，所受的阻力f大小不变。

机车的运动可以分为两个阶段：

可见,机车最大速度时a=0，F=f,P=fVm=FVm，机车的这一启动过程的V-t图像如下：

（2）以恒定加速度启动的运动过程

机车的运动过程可以分为三个阶段：

机车保持匀加速直线运动的时间t为:

Fv=P→（f+ma）at=P

则：

t=P/a（f+ma），此时速度为v=at=P/（f+ma）

这一启动过程的v-t图像如下图所示：

[巩固题]

例1、某汽车发动机的额定功率是P=6.0×104W，汽车的质量为=5×103kg，该车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，g取10m/s2。

试求：

（1）汽车保持额定功率不变，从静止启动后能达到的最大速度是多少？

（2）若汽车从静止开始且保持a=0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程能保持多长时间？

例2、质量为m、额定功率为P的汽车在平直的公路上行驶，若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车的最大速度为V1，当汽车的速度为V2（V2

[巩固练习题]

1、下列关于功率的一些说法中正确的是（）

A、功率大说明物体做的功多。

B、功率小说明物体做功慢。

C、有P=W/t可知，机器做的功越多，其功率越大。

D、单位时间内机器做的功越多，其功率越大。

2、在一水平公路上以一般速度行驶的自行车，设其所受阻力是人和车重的002倍，则骑车人的功率最接近于（）

A、10kWB、1kWC、0.1kWD、0.001kW

3、质量为m的物体，自高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止滑下，经历时间t到达斜面底端，到达斜面底端的速度为v，则物体到达斜面底端时，重力的功率为（）

A、mgvB、mgvsinθ

C、mgvcosθD、mgvtanθ

4、如图16所示，一个小孩站在船头，在两种情况下用同样大小的力拉绳，经过相同的时间（船未相碰），小孩做的功分别为W1、W2，在时间内小孩拉绳的功率为P1、P2的关系是下列的哪一个（）

A、W1>W2P1=P2

B、W1=W2P1=P2

C、W1

D、W1

5、设飞机在飞行中所受的空气阻力和飞机的速度的平方成正比，当飞机以水平速度v匀速飞行时，发动机的功率为P，则当飞机以速度2v的速度水平匀速飞行时，发动机的功率是

（）

A、2PB、4PC、8PD、16P

6、一质量为m的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑的水平桌面上，现在把一个水平方向的力F突然增大到3F，保持其他力不变，则在t秒末该力的功率是（）

7、物体在水平恒力F作用下，由静止起沿水平面由A点运动距离S到达B点，则当（）

A、水平面光滑时，力F对物体做功的平均功率较大。

B、水平面不光滑时，力F对物体做功的平均功率较大。

C、水平面光滑时，力F在B点的瞬时功率较大。

D、水平面不光滑时，力F在B点的瞬时功率较大。

8、如图17所示，用力先后三次把一质量为m的物体沿同一光滑斜面从底端拉到顶端，第一次拉力F1的方向平行于斜面向上，第二次拉力F2方向沿水平方向，第三次拉力方向和斜面成α角。

物体三次运动的加速度相同，设F1、F2、F3的平均功率分别是P1、P2、P3，下面的关系式中正确的是（）

A、P1=P2=P3

B、P1>P2>P3

C、P2>P1>P3

D、P3>P2>P1

9、一辆汽车以恒定的输出功率，以某一初速度冲上一斜面，在上坡过程中，它的运动情况可能是（）

A、先加速，后匀速。

B、先加速，后减速。

C、一直加速且加速度越来越小。

D、一直减速且加速度越来越大。

10、质量为m、发动机的额定功率为P0的汽车沿平直公路行驶，当它的加速度为a时，速度为v，测得发动机的实际功率为P1，假设运动中阻力恒定，则它在平直公路匀速行驶的最大速度是（）

A、vB、P1/ma

C、P0/（P1-mav）D、P1v/（P0-mav）

11、一辆汽车在恒定功率牵引下，在平直的公路上由静止出发，在4min的时间内行驶了1800m。

在4min末汽车的速度为（）

A、等于7.5m/sB、一定小于15m/s

C、可能等于15m/sD、可能大于15m/s

12、一杂技运动员骑摩托车沿一个竖直圆轨道做特技表演，如图18所示，若车的运动速率为20m/s，人与车的总质量为200kg，轮胎与轨道之间的动摩擦因数为μ=0.1，车在最低点A时发动机的功率为12kW，求车经过最高点B时发动机的功率。

（g=10m/s2）

13、电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳子的拉力不超过120N，电动机的功率不超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊90m（已知此物体在被吊高接近90m时，开始以最大的速度匀速上升）所需的时间是多少？

专题三：

功能原理

1、能的概念：

（1）能量的定义：

一个物体如果能对外做功，或者说物体具备了对外界做功的本领，我们就说这个物体具有了能量。

例：

流动的河水能够推动水轮机做功，流动的河水具有动能；高处的重锤落下来能把木桩打入土中而对木桩做功，重锤具有重力势能……

（2）能量反映的是物体具有的对外界做功本领的大小，而不是反映物体对外做功的多少，如一个物体具有很大的能量，则它具备的对外做功的本领很大，但它却没有对外做功，因此一个物体可以具有很大的能量，但它不一定对外做功。

（3）一切物体都具有能量，能量有不同的形式，如运动的物体具有动能，被举高的物体具有重力势能等等，无论微观的分子原子，还是宏观的天体都在运动，能量是物体固有的一种属性，一种运动形式对应着相应形式的能量。

（4）能的最基本的性质是:

在各种不同形式能之间相互转化过程中,能的总量是守恒的。

2、功和能的关系

（1）功是能量转化的量度。

做功的过程伴随着能量的转化过程，做了多少功就有多少能量发生了转化。

①某种形式的能减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等并且等于使能量发生转化过程中做功的多少。

②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量的增加，且减少量和增加量一定相等。

③功和能的关系的表达式：

W=ΔE

④能量的转化和守恒定律：

能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

（2）功和能的区别

①区别：

功是反映物体间在相互作用过程中能量变化多少的物理量，功是过程量，它总是与一段位移（或一段时间）相对应；能是用来反映物体做功本领的物理量，它反映了物体的一种状态，因此能是状态量，它总是与某一位置（或某一时刻）相对应的。

②联系：

它们的单位相同；在能的转化过程中，必定有力做功，即在力的做功过程中能量从一个物体转移到另一个物体，或从一种形式转化为另一种形式，所以可以用功来量度能的转化。

（3）功和能的关系的应用

①判断力是否做功：

根据质点或系统的能量是否发生变化，彼此是否有能量的转移或转化进行判断。

若有能量的变化，即有能量的转化和转移，则一定有力做功。

②功、能量的变化量的计算：

根据功是能量转化的量度，即W=ΔE。

【巩固练习题】

1、有关功和能，下列说法中正确的是（）

A、力对物体做了多少功，物体就具有多少能。

B、物体具有多少能，就一定能做多少功。

C、物体做了多少功，就有多少能量消失。

D、能量从一种形式转化为另一种形式时，可以用功来度量能量变化的多少。

2、某人抛铅球，出手时铅球的动能为150J。

关于人对铅球的做功情况和能量转化情况，下列说法中正确的是（）

A、此人对铅球做了150J的功，将体内的化学能转化为铅球的机械能。

B、此人对铅球做的功无法计算。

C、此人对铅球没有做功，因此没有能量的转化。

D、此人对铅球做了150J的功，将铅球的重力势能转化为铅球的动能。

3、我们知道雨滴是从很高的天空中掉下来的，如果它做自由落体运动的话那么落地的速度将很大，但事实上我们发现它落地的速度并不大，这是由于它受到的空气阻力随速度的增大而增大，最终空气阻力