考研数学一真题及答案解析.docx

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考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：

1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

b,x<0

【答案】A

1

/--X.]]

【解析】lim————-=lmi2—=一,f（x）在x=0处连续・•・——=b=>ab=—•选A.axax2a2ci2

（2）设函数/（x）可导，且/（x）f（x）>0,则（）

【答案】C

g.ff（x）>0f/（x）<0

【解析】•••/（x）/（x）>0,・・・q，

（1）或Q⑵，只有C选项满足

（1）且满足

（2）,所以选C。

1广（0>0[/\x）<0

（3）函数f（x9y9z）=x2y+z2在点（1,2,0）处沿向量“=（1,2,2）的方向导数为（）

【答案】D

【解析】&嗣=3,*,2z},=>gradf|（1>2>0）={4,1,0}=>鲁=gradf~={4,1,0}{|,|,|}=2.

选D・

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：

m）处，图中实线表示甲的速度曲线V=V1（O（单位：

m/s）,虚线表示乙的速度曲线v=V2（/）,三块阴影部分而积的数值依次为10,203,计时开始后乙追上

甲的时刻记为/。

（单位：

s），贝IJ（）

【答案】B

【解析】从0到f°这段时间内甲乙的位移分別为（飞（0^,『叫（“/,则乙要追上甲，则『叫⑴—v】（tW=10,当『0=25时满足，故选C.

（5）设a是畀维单位列向量，E为畀阶单位矩阵，则（）

【答案】A

【解析】选项A,由｛E-aar）a=a-a=0得（E-aaT）x=0有非零解，故E-aal=0即E-aal不

可逆。

选项氏由i\aaT）a=1得仇！

•的特征值为小个o,1•故E+aa1的特征值为“1个1,2•故可逆。

其

它选项类似理解。

00_

「21O'

"10o-

（6）设矩阵4=

021

B=

020

c=

020

，则（）

001

001

002

【答案】B

【解析】由（aE-A）=0可知A的特征值为2,2,1

‘100A

因为3-r（2E-A）=l,/.A可相似对角化，且A〜020

002,

由\AE-B\=0可知B特征值为2,2,1.

因为3—"2E—B）=2,・・・B不可相似对角化，显然C可相似对角化，

・・・4〜C,且B不相似于C

（7）设4,3为随机概率，若0P（A\B）的充分必要条件是（）

【答案】A

【解析】按照条件概率定义展开，则A选项符合题总。

_1«

（8）设XpX<.Xn（«>2）为来自总体Ng）的简单随机样本，记X=-YXi9则下列结论中不正确的

是（）

【答案】B

【解析】

由于找不正确的结论，故B符合题意。

二、填空题：

9?

14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

⑼已知函数/（X）=.则/⑴（0）=

l+x~

【答案】/（0）=-6

【解析】

（10）微分方程y"+2y+3y=0的通解为y二

【答案】y=e~x（c{cos>/2x+c2smy/2x）,（c^c2为任意常数）

【解析】齐次特征方程为才+2兄+3=0二>人二=一1+忑i故通解为Q（qcos>/2x+c2sinJSx）

【答案】a=l

QD05、ACADac

【解析】二=>a=—1

（12）幕级数工（―1厂5#1在区间（_i,i）内的和函数s（x）=

‘101、

（13）设矩阵A=112,冬，4，冬为线性无关的3维列向量组，则向量组Aa^Aa^Aa,的秩为

、01L

【答案】2

【解析】由务，冬，冬线性无关，可知矩阵％,冬，冬可逆，故

r（Aa^Aa2,Aa^=r[A（a^a2.a^=r（A）再由r（A）=2得厂（人匕,人冬,4%）=2

Y—4

（14）设随机变量X的分布函数为尸（x）=0.5①⑴+0.5①（〒），其中①（x）为标准正态分布函数，则

EX=

【答案】2

QSV—4o+x0）y—4

【解析】F（x）=0.5仅x）+—cp（-），故EX=0.5x（p{x）dx+—>/x

222

匚x（p{x）dx=EX=0°令「'£“f，则Jx仅'£"X：

x=2丄（4+2/）（p{t）dt=8-1+4.t（p（t）dt=8因此E（X）=2.

三、解答题：

15—23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

设函数/（«,v）具有2阶连续偏导数，y=f（e\cosx）,求字◎

【答案】些

ax

=人（1,1）,壬月=兀（1,1）,

l.v=O

【解析】

结论：

nk（k、

（16）（本题满分10分）求1lmY—1111+-

In）

【答案】-

4

【解析】

（17）（本题满分10分）已知函数y（x）由方程x3+）»-3x+3y-2=0确定,求y（x）的极值

【答案】极大值为y（l）=l，极小值为y（—1）=0

将x=l』=l代入

（2）WyH（l）=-l<0

将x=—l,y=O代入

（2）得）』（一1）=2>0

故x=l为极大值点，y（l）=l：

兀=一1为极小值点，y（-l）=0

（18）（本题满分io分）

设函数/（切在区间[0,1]±具有2阶导数，且/（l）>0,hin^^<0,证明:

XTO+X

（I）方程/（.X）=0在区间（0,1）内至少存在一个实根：

（口）方程f（x）f\x）+（f\x））2=0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。

【答案】

【解析】

（I）/（x）二阶导数，/

（1）>0,lini^-<0

X

解：

1）由于Um丄2<0,根据极限的保号性得

m5>0,X

X

进而丸巳0,5）有7（5）<0

又由于/（X）二阶可导，所以/（x）在[0,1]±必连续

那么/（x）在[51]上连续，由/（^）<0,/

（1）>0根据零点定理得：

至少存在一点歹巳5,1）,使于（歹）=0,即得证

（II）由

（1）可知/（0）=0,珈（0,1）,何（歹）=0,令F（x）=f（x）ft（x），则f（0）=f^）=0

由罗尔定理引7G（0,歹）,使f'（〃）=0,则F（0）=F（j]）=F^）=0,

对F（x）在（0,〃）,（〃,&）分別使用罗尔定理：

引“（0,“）,％€（“,§）且7,“2W（0,1）,几工〃2,使得FS]）=F（〃2）=0,即

F\x）=f（x）fXx）+（f\x）y=0在（0,1）至少有两个不同实根。

得证。

（19）（本题满分10分）

设薄片型物体S是圆锥而Z=“+尸被柱而亡=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为

//=9ylx2+y2+Z20记圆锥而与柱而的交线为C

（I）求C在xOy平而上的投影曲线的方程；

【答案】64

【解析】

（1）由题设条件知，C的方程为\Z=ylX+y=>x2+r=2x

Z2=2x

则C在xoy平而的方程为<

x2+y2=2x

z=o

（2）

（20）（本题满分11分）设3阶矩阵4=a“y）有3个不同的特征值，且冬=4+2勺。

（I）证明r（A）=2

（口）若0=乙+6^+$，求方程组Ax=p的通解。

【答案】（I）略:

（II）通解为R2+1、kwR

【解析】

（I）证明：

由a5=a{+2az可得+2a2-=0,即线性相关,

因此，1^=1^a2a3|=0,即A的特征值必有0。

又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0,另外两个非0・

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为八=入，入工人工0

•••r（A）=r（A）=2

（II）由

（1）"4）=2,知3-r（A）=l9即Av=0的基础解系只有1个解向量,

<1、

由4+2冬一&3=°可得（乞心心）

2

=4

2

=0,则Ay=0的基础解系为

2

厂1丿

-b

⑴

又p=aY+a2+a^EP（

1

=A

1

=0,则Ax=0的一个特解为

1

1

X/

<1、

⑴

综上，A.r=0的通解为k

2

+

1

kwR

（21）（本题满分11分）设二次型/（心壬/3）=2彳一迟+处；+2心丫2-8冲：

3+2心丫3

在正交变换X=QY下的标准型人才+厶£，求g的值及一个正交矩阵0

22

y

6

+

2>1

3

『一

/

厂一V6I2一V6I丄Q

401一V2

1石1一>/31_血

（21-4、

/（^,x2,x3）=XrAX，其中4=1-11

「41「

由于/（召,兀,“）=XUX经正交变换后，得到的标准形为人斤+人元

9

21-4

故r（A）=2=>|A|=0=>1-11=0二>（/=2,

-41a

'21-4、

将a=2代入，满足r（A）=2,因此a=2符合题意，此时A=1-11,则「412丿

2-2-14

|AE—A|=—12+1—1=0=>人=—3,入=0,人=6,

4-12-2

由（-3E-A）x=0,可得A的属于特征值-3的特征向量为q=-1<1>

由（6E-A）x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为&’=0

UJ

由（0E-A）x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为q=2丄

‘一3

令P冬,匕），贝6,由于冬,还,勺彼此正交，故只需单位化即可:

忑^6

则e=（AAA）=

qtaq=

（22）（本题满分ii分）设随机变ix,r相互独立，且x的概率分布为p（x=o）=p（x=2）=丄，丫的

2y,0

（I）求P（Y

（口）求Z=X+Y的概率密度。

2,0<^<1

Z-2,2<3

4

【答案】（I）P[Y

【解析】

当zv0m—2<0,而zvO,则E（Z）=0

当z-2>1^>1,即空3时，F:

（Z）=\

（3）当0时,

-+-（z-2）2,2

1,Z>3

所以/；（Z）=[F3（Z）]=<

Z0<^<1

Z-22

（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的梢度，用该天平对一物体的质量做〃次测量，该物体的质量“是已知的，设〃次测量结果…X”相互独立且均服从正态分布NS）。

该工程师记录的是〃次测量的绝对误差Z=|Xi.-z/|（z=1,2,…"），利用乙,Z?

…Z„估计b°

（I）求乙的概率密度：

（口）利用一阶矩求b的矩估计量

【答案】

【解析】

（1）化⑵二P（Z

当z

*T

当znO.F,（^）=P（-Z

2-2L

综上厶⑵二厉/QU

0^<0

__1fl1n

令E（乙）=ZZ—工Z,=—厂

J1=1"1=1

对总体X的〃个样本X|,X“…则相交的绝对误差的样本Z“Z”・乙,乙=氏一外心12・・仏令其样

本值为Z1,Z2<--Z/|,Z/=|x—u

两边取对数，当Z“Z“・・・Z”>0时

令dIn3）

所以,lyz；=J-y（x,-M）2为所求的最大似然估计。

0M倉