考研数学真题答案(数一-).doc
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:
1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、设函数在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为（）
（A）0（B）1
（C）2（D）3
【答案】（C）
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由的图形可知，曲线存在两个拐点，故选（C）.
2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】（A）
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
【详解】为齐次方程的解，所以2、1为特征方程的根，从而再将特解代入方程得：
3、若级数条件收敛，则与依次为幂级数的：
（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点
【答案】（B）
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★
【详解】因为条件收敛，故为幂级数的条件收敛点，进而得的收敛半径为1，收敛区间为，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间仍为，因而与依次为幂级数的收敛点、发散点.
4、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则
（A）（B）
（C）（D）
【答案】（D）
【考点】二重积分的极坐标变换
【难易度】★★★
【详解】由得，；由得，
由得，
由得，
所以
5、设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】（D）
【考点】非齐次线性方程组的解法
【难易度】★★
【详解】
有无穷多解
或且或
6、设二次型在正交变换下的标准形为，其中
，若，则在正交变换下的标准形为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】（A）
【考点】二次型
【难易度】★★
【详解】由，故且：
所以，故选（A）
7、若为任意两个随机事件，则
（A）（B）
（C）（D）
【答案】（C）
【考点】
【难易度】★★
【详解】
故选
8、设随机变量不相关，且则
（A）-3（B）3（C）-5（D）5
【答案】（D）
【考点】
【难易度】★★★
【详解】
二、填空题：
9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、
【答案】
【考点】极限的计算
【难易度】★★
【详解】
10、
【答案】
【考点】积分的计算
【难易度】★★
【详解】
11、若函数由方程确定，则.
【答案】
【考点】隐函数求导
【难易度】★★
【详解】令，则，，，又当时，，所以，，因而
12、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则
【答案】
【考点】三重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性，得
其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以
13、n阶行列式
【答案】
【考点】行列式的计算
【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
14、设二维随机变量服从正态分布，则.
【答案】
【考点】
【难易度】★★
【详解】，且独立
，
三、解答题：
15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数，，若与在是等价无穷小，求，，值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算
【难易度】★★★
【详解】
是等价无穷小
16、（本题满分10分）
设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及x轴所围成的区域的面积为4，且，求的表达式.
【考点】微分方程
【难易度】★★★
【详解】如下图：
处的切线方程为：
与轴的交点为：
时，，则，
因此，.即满足微分方程：
，解得：
.
又因，所以，故.
17、（本题满分10分）
已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数.
【考点】方向导数，条件极值
【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故
故在曲线上的最大方向导数为，其中满足，即就求函数在约束条件下的最值.
构造拉格朗日函数
令可得
其中
综上根据题意可知在曲线上的最大方向导数为.
18、（本题满分10分）
（Ⅰ）设函数可导，利用导数定义证明
（Ⅱ）设函数可导，写出的求导公式.
【考点】导数定义
【难易度】★★
【详解】
19、（本题满分10分）
已知曲线的方程为起点为，终点为，计算曲线积分
【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★
【详解】曲线的参数方程为从到
20、（本题满分11分）
设向量组是3维向量空间的一个基，，，。
（Ⅰ）证明向量组是的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同，并求出所有的。
【考点】线性无关，基下的坐标
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）
因为，
所以线性无关，是的一个基。
（Ⅱ）设，为从基到基的过渡矩阵，又设在基下的坐标为，则在基下的坐标为，
由，得，即
由，得，并解得为任意常数。
从而为任意常数。
21、（本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵.
（Ⅰ）求的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵，使得为对角阵.
【考点】相似矩阵，相似对角化
【难易度】★★★
【详解】由相似于
则解得
当
特征向量
当
则特征向量所以得
22、（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为
对进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数.
（Ⅰ）求的概率分布；
（Ⅱ）求.
【考点】
【难易度】★★★★
【详解】
（）
（）
设级数
所以
23、（本题满分11分）
设总体的概率密度为
其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.
（Ⅰ）求的矩估计.
（Ⅱ）求的最大似然估计.
【考点】
【难易度】★★★
【详解】由题可得（）
（）联合概率密度
，故取
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