非线性动力学分析方法.docx
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非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法（6学时）
一、教学目标
1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；
2、掌握线性稳定性的分析方法；
3、掌握奇点的分类及判别条件；
4、理解结构稳定性及分支现象；
5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。
二、教学重点
1、线性稳定性的分析方法；
2、奇点的判别。
三、教学难点
线性稳定性的分析方法
四、教学方法
讲授并适当运用课件辅助教学
五、教学建议
学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。
六、教学过程
本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的
相空间和稳定性
一、动力系统
在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成
的方程组通常称为动力系统。
研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。
假定一个系统由n个状态变量x1，x2，…xn来描述。
有时，每个状态变量不但是时
间t的函数而且也是空间位置r的函数。
如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。
这里假定状态变量只与时间t有关，即X二X（t），
则控制它们的方程组为常微分方程组。
dX
dt
fn（,Xi,X2,Xn）
1
dt
f1（,X1,X2,
Xn）
dX?
dt
f2（,X1,X2,
Xn）
（1.1.1）
其中代表某一控制参数。
对于较复杂的问题来说，f（i=I，2,…n）—般是Xj的非线性函数，这时方程（1.1.1）就称为非线性动力系统。
由于fi不明显地依赖时间t，故称方程组（1.1.1）为自治动力系统。
若fi明显地依赖时间t，则称方程组为非自治动力系统。
非自治动力系统可化为自治动力系统。
对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。
例如：
xxAcos（t）
令xy,zt，上式化为
xy,
yxAcosz
z
上式则是一个三维自治动力系统。
又如：
uf（U，V，t），
vg（u,v,t）.
uf（u,v,w）,
令wt，则化为vg（u,v,w）,
w1.
它就是三微自治动力系统•
对于常微分方程来说，只要给定初始条件方程就能求解。
对于偏微分方程，不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。
能严格求出解析解的非线性微分方程组是极少的，大多数只能求数值解或近似解析
解。
二、相空间
由n个状态变量Xi=（Xi,夫，…Xn）描述的系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支起一个n维空间，这个n维空间就称为系统的相空间。
在t时刻，每个状态变量都有一个确定的值，这些值决定了相空间的一个点，这个点称为系统状态的代表点（相点），
即它代表了系统t时刻的状态。
随着时间的流逝，代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线。
它代表了系统状态的演化过程。
三、稳定性
把方程组（1.1.1）简写如下
dX
于fi（,X1,X2,Xn），i二l，2,…n（1.1.2）
dt
设方程组（1.1.2）在初始条件Xi（to）Xi0下的解为Xi（t），如果用与原来略有差别的初始条件Xi（to）X0i，i是一个小扰动，就会得到方程组的新解Xi（t）。
如果对于任意给定的>0,存在>0,并且|i，当tto时也满足
Xi（t）Xi（t），i二l，2,…n（1.1.3）
则称方程组（1.1.2）的解Xj（t）是稳定的，否则它就是不稳定的。
这样定义的稳定性称为
Lyapunov稳定性。
如果Xi（t）是稳定的，并且满足极限条件
limXi（t）Xi（t）0，i=l,2,…n（1.1.4）
则称Xi（t）是惭近稳定的。
上述抽象的数学定义可以直观理解为：
方程组对于不同的初始条件有不同的解，如果原初始条件Xi（to）和受扰动后的初始条件Xi（to）之差限定在一定的范围内，即
Xi（to）Xi（to），未扰动解Xi（t）和扰动解Xi（t）之差也不超出一定的范围，即
Xi（t）Xi（t），则末扰动解Xi（t）就是稳定的；如果Xi（t）渐渐趋近于Xi（t），最终变得和Xi（t）一致，则称Xi（t）是渐近稳定的；如果Xi（t）与Xi（t）之差不存在一个有限范围，即Xi（t）远离Xi（t），则称Xi（t）是不稳定的。
由上述Lyapunov稳定性的定义可以看到，要对动力系统的解的稳定性做出判断，
必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统是很难获得解析解的，即使获得近似解析解也是如此。
那么，我们能否象最小熵产生原理那样，不用对方程组具体求解就能对系统的稳定性作出判断。
Lyapunov发展了这种判断方法，通常称为Lyapunov第二方法。
这种方法主要是寻找（或构造）一个Lyapunov函数，利用这个函数的性质对系统的稳定性作出判断。
线性稳定性分析
通过上节对稳定性的定义我们知道，要对非线性微分方程组的解的稳定性作出判
断，最好是求出它的解析解。
然而，对于大多数非线性微分方程组很难得到它们的解析
解，甚至求近似解析解都是不可能的。
虽然Lyapunov方法避开了这一困难，但寻找一
个Lyapunov函数仍存在着相当的困难。
那么我们能否不去对非线性方程组去求解，而采取一种既简单又有效的方法对非线性方程组定态解的稳定性作出定性的判断。
这样的
方法是存在的，那就是线性稳定性分析方法。
它的主要思想是，在非线性微分方程组定态解的小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动
的稳定性。
因为线性微分方程组是容易求解的，而且在定态解的小邻域，用线性微分方程组近似取代非线性微分方程组是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，是一种常用的稳定性分析方法。
首先通过一个简单的例子来了解线性稳定性分析的思路。
设有一非线性微分方程
dX1X2f（X）（1.2.1）
dt
在定态Xo，0,有
dt
f（Xo）1Xo0（1.2.2）
由此得到定态解
Xo11，X021（1.2.3）
设x（t）是定态附近的小扰动，即
（1.2.4）
x
Xo
X（t）Xox（t）
（1.2.5）
把方程（1.2.4）代入方程，有
dx
dt
1Xo
2Xoxx2
（1.2.6）
考虑到定态方程（1.2.2），并忽略小扰动x的二次项，得
dx
dt
2X°x
（f）ox
（1.2.7）
其中
（1.2.8）
（f）o2Xo
是线性化系数。
方程（1.2.7）是非线性方程的线性化方程，容易求出它的解为
x（t）x°e
其中Xox（0）是初始扰动
讨论：
定态解的稳定性取决于的符号。
（1）如果<0,定态解附近的扰动会随时
间指数衰减，最后回到该定态，说明这个定态是稳定的；
（2）如果>0，定态附近的扰
动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态是不稳定的
对于定态Xoi1,2Xo20,X01是稳定的；
对于定态Xo21,2Xo20,X02是不稳定的
图方程（122）的定态解的稳定性
我们可以很容易求得方程（1.2.1）的精确解析解（为一双曲函数）
X（t）th（tk）
kth1X（0），X（0）1（1.2.9）
对于不同的初始条件X（0），可以得到一系列的X（t）曲线，它们随时间的演化行为如图所示，曲线族趋于X0戶1,离开X02二-1。
这证明我们采用线化方程得到的定性结论是正确的。
但具有一般性，数学家对此作了证明，并形成线性稳定性定理
i,j1,2,,n（1.2.10）
附近的小扰动，即
n（1.2.11）
上述例子虽然简单,设有非线性方程组
dXi/
药fi（,Xj
并设Xj（t）是定态解Xi0
Xi（t）Xi0x（t）
1，i1,2,
Xj°|
非线性方程组（1.2.10）在定态解Xi0附近的线性化方程为
dXj
dt
jFXj
（1.2.12）
定理如果线性化方程组（1212）的零解（XiX2Xn0）是渐近稳定的，则非线性
方程组的定态解Xi0也是渐近稳定的；如果零解是不稳定的，则定态解Xi0也是不稳
定的。
线性稳定性定理保证了利用线性的方法来研究非线性方程定态解稳定性的有效性。
利用线性稳定性定理来研究非线性方程定态解稳定性的过程称为线性稳定性分析。
这种
分析方法在处理实际问题中经常被用到。
值得提及的是，线性稳定性定理只是对线性化方程的零解是渐近稳定的或是不稳定的情形给出了结论，而对于零解是Lyapunov稳定
的并不是浙近稳定的情形没有给出任何信息。
这在下节会给予讨论。
奇点分类和极限环
现在我们考虑只有两个状态变量（X，Y）的非线性动力系统，即
dX
dt
f1（X,Y）
dY
dt
f2（X,Y）
（131）
现在相空间变为分别以X和丫为坐标轴的二维相平面。
如果方程（1.3.1）的解存在且唯一，那么它的解在相平面上就表现为一条线。
轨线的斜率是
dY册"10）
dX
dY
f,X,Y）（f
f^,（f2
（1.3.2）
0）
只要f,X,Y）和f2（X,Y）不同时为零且连续可微，轨线的斜率就是唯一的，它意味着轨线不相交。
如果轨线在相平面中某一点相交，则这一点的斜率就不是唯一的。
换句话说,数学上的解的存在与唯一性定理要求相空间中的轨线不能相交。
如果f,X,Y）和f2（X,Y）同时为零，即
（1.3.3）
f1（X°,Y。
）0
f2（X°,Y。
）0
则有
dY0
dX0
这表明轨线的斜率不唯一。
我们把在相平面中使f,（X,Y）和f2（X,Y）同时等于零的
点（Xo，Yo）称为奇点。
在相平面上除奇点之外的所有其他点都叫做正则点。
根据方程
（1.3.3）我们知道，奇点就是非线性方程组的定态解。
因此，我们通过研究相空间中奇点的稳定性就可以知道定态解的稳定性。
只要我们弄清楚奇点附近轨线的分布及其流
向，就能对奇点的稳定性作出判断。
为此我们设x（t）和y（t）是奇点（Xo，Yo）附近的小扰动，即
（1.3.5）
X（t）Xox（t）
Y（t）Yoy（t）
怕1，骨1
把非线性方程组（131）的右边在奇点（Xo，Yo）附近按Taytor级数展开，并保留线性项,
d^，丫。
）巳。
x（fy，皿冷（£）ox（£oyZ6）
根据定态方程（1.3.3），方程式变为
dxdt
a11Xa12y，
dxdt
a11x
a12y
（1.3.7）
其中
an
1\
~）0,a12
X
）0，a21
2、
~）o,a212
X
（1.3.8）
（1.3.9）
（1.3.10）
下标0表示在定态取值。
方程（1.3.7）可以方便地写为矩阵形式
dxana12x
dtya21a22y
由方程（1.3.9）的线性结构，它允许有如下的形式解
xx°e七，yy°e七
这样的解称为简正模。
把方程（1310）代入可以得到对（xo,yo）为一阶的齐次代数方程组
（1.3.11）
xoa〔ia〔2xo
y0a21a22y0
这个方程组具有非零解的条件为
ana）2
a21a22
0
即
2T0
其中
T
ai1a22，
（1.3.12）
（1.3.13）
811822812a21
方程（1.3.13）称为线性化方程组的特征方程,
（1.3.14）
称为线性化方程组的特征值。
1和2，即
（1.3.15）
（1.3.16）
（1.3.17）
特征方程（1.3.13）是一个一元二次方程，它允许有两个不同的特征根
121（T&24）
2
这时线性化方程组（1.3.9）有两组如下形式的线性无关解
1t1t
xXo1e，yy°1e
2t
xXo2e，yy°2e
其中Xo1和Xo2分别是方程组（1.3.11）系数矩阵（a"的特征值1和2对应的特征向yo1y°2
量。
这样，线性化方程组的一般解应是两个线性无关解的线性组合，即
1t2t
xC[Xo〔eC2xo2e
1t
yC1yo1eC2yo2e
其中C1和C2由初始条件确定。
从方程（1.3.15）可以看到，特征值i（i=1,2）可能为复数，而奇点（Xo,Yo）的稳定
性只取决于特征值实部Rei的符号。
由此可以根据方程直观地得到如下稳定性判据:
（a）
如果两个Rei
0（i=l
，2），
则奇点（X。
，Y°）是渐近稳定的；
（b）
如果至少有一个
Re
0（
=1或2），则奇点（X。
，Y））是不稳定的；
（c）
如果至少有一个
Re
0（
=1或2），而另一个Re0（=2或1），则
奇点（X。
，Y0）是Lyapunov稳定的，而不是渐近稳定的。
我们称这种情况为临界稳定性。
所谓奇点就是行为异常的点。
虽然这样的点在相空间的分布是极为稀少的，但它们却是人们关注的热点。
通常按奇点的性质把它分为四类：
结点；鞍点；焦点；中心点。
现在分别对它们加以介绍。
⑴结点
当T240和。
时，对应的奇点称为结点。
此时两个特征根不但都是实的，
而且同号（12T,!
2），即
1仃.T24）和T同号
2
22（TT24）也和T同号
2
因此，可以根据T的符号来判断结点的稳定性：
TV0,渐近稳定结点
T>0,不稳定结点
例若线性化方程（1.3.7）中的a12a210，a11a22a0，则T240，
a20，奇点（X0，丫。
）为结点。
这时方程变为
dx
ax
dt
dyay（1.3.佝
dt
它们的解为
at
xx0e
yy°eat（1.3.19）
在结点附近轨线的斜率
翌/二常数（1.3.20）
dxx0
对于不同的初始条件（xo,y。
），会有不同的常数，也就有不同的斜率。
同时，因为T
=2a，所以结点的稳定性取决于a的符号，a0对应于渐近稳定结点，a0对应不稳
定结点。
这些可用图来表示。
图显示另一种结点附近的轨线分布及其流向的状况。
从这
些图我们看到，稳定结点是相平面的汇，不稳定结点是相平面的源
图渐近稳定星形结点（a）不稳定星形结点（b）
（a）（b）
图渐近稳定星形结点（a）
不稳定星形结点（b）
⑵鞍点
当T240和o时，相应的奇点称为鞍点。
这种情形的特征根总是异号的实
根,（12T,12）即
1-（T-T24）02
2-（TT24）0
2
无论T>0或T<0
所以鞍点总是不稳定的
例若方程（1.3.7）中的a12
a210,a110,a220,则T24
2
（a11a22）0,
a11a220,奇点（Xo,Yo）为鞍点。
这时线性化方程取形式
dx
a〔1x
dt
dy
a22y
dt
它的形式解为
（1.3.21）
x°e
ant
yy°ea22t
（1.3.22）
鞍点附近轨线的斜率不但与初始条件
（Xo,y°）有关，而且还与线性化系数an和a22有关,
dy
dx
a22yo
（1.3.23）
a11xo
其中已忽略了因子exp[（a22ajt），因它不影响我们要讨论的结论。
根据斜率在不同
象限的符号，可以得到如图所示的轨线分布形式。
由于它与马鞍曲面在平面上的投影相
类似，故得鞍点这个名字
0*X
图鞍点附近轨线的分布情形及流向
⑶焦点
当T24
0,T0时，对应的奇点称为焦点。
这时特征根为两个共扼复根
（1.3.24）
其中
T
2
-V4T2
2
分别是共轭复根的实部和虚部。
焦点的稳定性取决于实部
（1325）
的符号。
TV0,渐近稳定焦点
T>0,不稳定焦点
复根的虚部是周期振荡的频率
例当a21ai2b0,aiia22a时，有T4
4b20,T2a0则奇
点（X。
，Y°）为焦点。
这时线生化方程（1.3.7）变为
dx
dt
dy
dt
令
axby
bxay
（1.3.26）
zxiy
方程（1.3.26）变为
空（abi）zdt
它的解为
zz0e（alb）t（x0iy0）eat（cosbt
其中利用了公式
（1.3.27）
（1.3.28）
isinbt）（1.3.29）
i
ecosisinx°和y°是初始条件。
通过令方程（1.3.29）两边的实部和虚部相等，得
at
xe（x°cosbty°sinbt）
（1.3.30）
（1.3.31）
yeat（x0sinbty0cosbt）
x0qcos
yoqsin
得
at
xqecos（bt）
（1333）
（1.3.34）
yqeatsin（bt）
由此得到焦点附近的轨线方程
22222at
rxyqe
这是一个螺线方程，q与初始条件有关，a的符号决定着螺线的旋转方向。
如图2.5所示，a0螺线旋向焦点，它代表一种衰减振荡；a0螺线旋离焦点，它代表一种放大
图渐近稳定焦点（a）和不稳定焦点（b）
⑷中心点
当T240，T0时，对应的奇点（X。
Y0）称为中心点。
此条件表明必大于零,
所以两个特征根是异号的纯虚数，即
.厂
（1.3.35）
这种奇点附近的轨线代表无阻尼振荡，因此这些轨线是一些闭合曲线，奇点被这些闭合曲线围绕在中间，所以把这种奇点称为中心点。
中心点附近的轨线既不无限地趋势于它也不无限地远离它，所以中心点是Lyapunov稳定的，而不是渐近稳定的。
（如图所示）
例取an
a22
心点。
这时线性化方程（1.3.7）变为
dx
dt
dy
dt
令
by
bx
（1.3.36）
xiy
（1.3.37）
方程（1.3.36）
dz
dt
其解为
变为
ibz
ibt
Z°e
z0（cosbtisinbt）
其中
Zo
Xo
iyo
Xo和yo是初始条件，如果令
x°qcos
yqsin
我们会得到
（1.3.38）
（1.3.39）
（1.3.40）
（1.3.41）
xqcos（bt）
yqsin（bt）
最后得到中心点附近的轨线方程为
x2y2q2（1343）
这是一个圆方程，圆的半径q依赖于初始条件，初始条件稍有不同，轨线就会表现为一
个新的圆。
中心点附近的轨线分布如图所示。
因此•中心点既不是相平面中的汇也不是它的源，而是一种中介情形，所以又把它叫做临界稳定性。
上述四种奇点称为简单奇点。
根据方程（1.3.15），令
DT24（1.3.44）
它们被总结归纳于图。
渐近稳定结点和渐近稳定焦点是相空间的汇，其周围的轨线都以
它们为极限最后趋于它们，这些奇点好象是它们周围轨线的吸引中心，故把它们称为吸
引子。
相应地把不稳定结点和不稳定焦点称为排斥子。
系统的演化一旦达到吸引子就不会再运动，所以有时把吸引子又称为不动点。
吸引子只有在耗散系统中才可能出现，因为吸引子是衰减运动的极限状态，而耗散是衰减运动的原因。
在耗散系统中，二维相平面中的各种轨线最后都归并到零维的吸引子上，这称为相空间收缩。
相反，对于守恒系
统相空间不会收缩，而保持相体积不变。
同时，我们也可以看出，耗散是维持系统稳定的因素。
上述分析都是针对奇点附近的小邻域而言的，并用线性化方程得到奇点附近的轨线
分布及其演化趋势，它们给奇点的性质提供了直观的图象。
然而，在远离奇点时线性近似不再适用，必须考虑完整的非线性方程，这时轨线的演化趋势不外乎如下几种情形；如果相平面只有一个吸引子，则相平面中所有轨线都流向于它；如果只有一个排斥子，则相平面中所有轨线都会从它出发流向无穷远；如果相平面中不但有吸引子而且还有排斥子，则大部分轨线会从排斥子出发流向吸引子，一小部分轨线可能自排斥子流向无穷远，最后一情形是，排斥子附近的轨线向四周流去，而远方的轨线向排斥子流来，两套流线必然在某个环形区域交锋，交锋的结果是在环形区域中出现一条闭合曲线，这条闭曲线是内外两套轨线演化的共同极限集，这条闭合曲线称为极限环。
极限环是一条孤立的闭合执线，也就是在它的周围不存在无限接近于它的另一条闭合轨线，这一点是和中心点周围的闭合轨线有着本质差别。
如果极限环内外的轨线都渐近地趋于它，则是渐近稳定极限环（图（a）），否则，是不稳定极限环（图（b））。
如果极限环内部（或外部）轨线渐
近趋于它，而外部（或内部）轨线离开它，则称为半稳定极限环（图2.8（c））。
半稳定极
图极限环
限环也是不稳定极限环的一种。
（a）渐稳定极限环；
例设有一非线性系统
dx
yx[i
dt
（b）不稳定极限环；（c）半稳定极限环
（x2
y2）]
dy2
xy[1（xdt
不难看出奇点为相平面（x，
dx
xy
dt
dy
xy
dt
y2）]
（1345）
y）的原点（0，0）。
方程（1.3.45）在奇点附近的线性化方程为
（1346）
因为T20,T2440，所以该奇点（0,0）为一不稳定焦点，它附近的轨线为
一外旋的螺线。
非线性方程（1345）可以严格求解。
为此，令
xrcos
yrsin（1347）
对方程（1.3.45）的两边分别乘x和y，并利用式容易把它化为极坐标中的形式
1dr2
2dt
22
r（1r）
利用公式
d
dt
（1.3.48）
111
~22~~F2
r（1r）r1r
（1.3.49）
容易得到方程（1.3.48）的积分
t
ce
t
其中c是由初始条件决定的积分常数。
因此
（1.3.50）
cost
x
（1.3.51）
』1ce2tsint
訥ce2
由方程（1.3.50）可知，相平面中所有轨孰线的演化极限是半径
r（t）1（1.3.52）
的单位圆。
如果c0,初始轨线在单位圆内，如果1c0，初始轨线在单位圆外。
在t时，内外轨线都渐渐地进入单位圆（图2.9）。
这个单位圆就是一个渐近稳定的
极限环，因为它代表一种持续稳定的周期振荡，所以又把它称为周期吸引子。
自然界中无外源强迫的持续稳定周期振荡现象都对应一个渐近稳定的极限环。
从上
面的例子我们看到.极限环不可能在线性系
统中产生，只可能在非线性系统中产生。
因此，自然界中的持续振荡是一非线性现象。
但是，并不是每个非线性系统都能产生极限环，即
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