（3）若f（x）在R上为减函数，则
|f（x1）||x1-（a+b）/2|<（a+b）/2-x2
结论5设a,b是两个相异的实数，则
（1）当f（x）关于a,b均为广义
（1）型偶函数时，f（x）为周期函数，且2|b-a|为其一个正周期
（2）当f（x）关于a,b均为广义
（1）型奇函数时，f（x）为周期函数，且2|b-a|为其一个正周期
（1）当f（x）关于a,b，一个为广义
（1）型奇函数，一个为广义
（1）型偶函数时，f（x）为周期函数，且4|b-a|为其一个正周期
结论6设f（x）为定义在R上的函数，对任意x∈R，恒有
（1）f（a-x）=f（b-x）（或f（a+x）=f（b+x））（a≠b）成立，则f（x）为周期函数，且|b-a|为其一正周期
（2）f（a+x）=-f（b+x）（或f（a-x）=-f（b-x））（a≠b）成立，则f（x）为周期函数，且2|b-a|为其一正周期
（3）f（x-a）+f（x+a）=f（x）（a≠0）成立，则f（x）为周期函数，且6|a|为其一正周期
结论7对于实数ai,bi,mi,ni（n=1,2），且m1m2=n1n2,m1（a2-b1）≠n1（a1-b2）,若对于定义在R上的函数f（x），且对于任意x∈R，有
（1）f（ai-mix）=f（bi+nxi）（i=1,2）,则f（x）为周期函数，且|（a2-b1）+m2（b2-a1）/n2|为其一正周期
（2）f（ai-mix）=-f（bi+nxi）（i=1,2）,则f（x）为周期函数，且|（a2-b1）+n1（b2-a1）/m1|为其一正周期
（3）f（a1-m1x）=f（b1+n1x）,f（a2-m2x）=-f（b2+n2x）,则f（x）为周期函数，且2|（a2-b1）+n1（b2-a1）/m1|为其一正周期
结论8设T为非零常数，若对于函数定义域内的任意x，恒有f（x+T）=M[f（x）]，其中M（x）满足M[M（x）]=x，且M（x）≠x,则f（x）为周期函数，且2T为其一个周期。
以上结论3～8均由周期函数的定义即可推证
我们知道，对于奇函数，其图像关于原点（0，0）成中心对称；对于偶函数，其图像关于y轴（x=0）成轴对称。
一般地，我们有
结论9函数f（x）定义在R上，对于定义域内任意一实数x，都有
f（a+x）+f（b-x）=c
成立的充要条件是函数f（x）的图像关于点（（a+b）/2,c/2）成中心对称。
结论10函数f（x）定义在R上，对于定义域内任一实数x，都有
f（a+x）-f（b-x）=0
成立的充要条件是函数f（x）的图像关于直线x=（a+b）/2成轴对称。
※※第一讲函数练习※※
1.求函数y=x+√（x^2-3x+2）的值域。
[1,3/2）∪[2,+∞）
2.f（x）和g（x）的定义域都是R，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=1/（x^-x+1），那么f（x）/g（x）的取值范围为？
x>0时，f（x）/g（x）≥2；x<0时，f（x）/g（x）≤-2
3.
（1）已知定义在实数集上的奇函数f（x）始终满足f（x+2）=-f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=x，求f（15/2）的值。
-1/2
（2）函数f（x）=（9^x-1）/3^（x+1）-√（1-x^2）/（|x+2|-2）+1，已知f（a）=√3，求f（-a）的值（|a|<1）。
2-√3
4.f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x，都有f（x+3）≤f（x）+3,f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，求f（2000）的值。
2004
5.已知二次函数f（x）=ax^2+bx+c（a,b,c∈R,a≠0）。
（1）f（-1）=0,
（2）对任意x∈R,x≤f（x）≤（x^2+1）/2，那么a=？
b=？
c=？
1/4,1/2,1/4
6.若函数f（x）=-x^2/2+13/2在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]。
[1,3]或[-2-√17,13/4]
7.已知1/3≤a≤1，若f（x）=ax^2-2x+1在[1,3]上最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）。
（1）求g（a）的函数表达式g（a）=a+1/a-2,a∈[1/3,1/2]或g（a）=9a+1/a-6,a∈（1/2,1]
（2）判断函数g（a）的单调性，并求出g（a）的最小值[1/3,1/2]上单减，[1/2,1]上单增，g（a）min=1/2
8.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax^2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）。
（1）当a=1,b=-2时，求函数f（x）的不动点
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围
（3）在
（2）的条件下，若y=f（x）的图像上A,B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A,B两点关于直线y=kx+1/（2a^2+1）对称，求b的最小值
9.函数f（x）定义在实数域上，且满足下列条件：
对任何实数x，有f（2+x）=f（2-x），且f（7+x）=f（7-x）。
若x=0是方程f（x）=0的一个根，问方程f（x）=0在区间-1000≤x≤1000中至少应有几个根？
10.设函数f（x）对所有x>0有定义，且满足：
（1）函数f（x）在（0,+∞）上严格递增；
（2）对所有x>0均有f（x）>-1/x；（3）对所有x>0均有f（x）•f[f（x）+1/x]=1，求函数值f
（1）。
11.已知实数x不是整数，且x+99/x=[x]+99/[x]，求x的值
12.求实数a的取值范围，使得对任意实数x与任意的a∈[0,π/2]恒有（x+3+2sinαcosα）^2+（x+asinα+acosα）^2≤1/8
13.求函数f（x）=x（1-x）/（x+1）（x+2）（2x+1）,x∈（0,1]的最大值。
14.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）。
（1）求f（0）,f
（1）的值；
（2）判断f（x）奇偶性，并证明；（3）f
（2）=2,an=f[2^（-n）]/n（n∈N*），求数列{an}的前n项和Sn。
15.设函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），且f
（1）=a>0。
（1）求f（1/2）,f（1/4）；
（2）求证f（x）是周期函数；（3）记an=f（2n+1/2n），求lim（n→∞）（lnan）。
16.实数a,b,c和正数λ使得f（x）=x^3+ax^2+bx+c有三个实数根x1,x2,x3，且满足
（1）x2-x1=λ；
（2）x3>（x1+x2）/2。
求（2a^3+27c-9ab）/λ^3的最大值。
※※第一讲函数※※结束
※※第二讲方程（组）※※
在处理方程（组）问题中，常常应用到如下结论：
结论1（韦达定理）若复系数一元n次方程anx^n+a（n-1）x^（n-1）+...+a1x+a0=0（an≠0）的n个复数根是x1,x2,...,xn，则
x1+x2+...+xn=-a（n-1）/an
x1x2+...+x1xn+x2x3+...+x2xn+...+x（n-1）xn=（-1）^2•a（n-2）/an
...
x1x2...xn=（-1）^n•a0/an
结论2设实系数一元二次方程为ax^2+bx+c=0（a≠0）.若Δ=b^2-4ac<0，则方程无实根；若Δ=b^2-4ac=0，则方程有相同两实根；若Δ=b^2-4ac>0，则方程有两相异实根。
结论3设函数f（x）是严格单调的，
（1）且x∈R,a,b为实常数，则方程f（x）=f（ax+b）与ax+b=x（a≠0）同解；
（2）且x∈R,a,b,c为实常数，则方程f（x）=f（ax^2+bx+c）与ax^2+（b-1）x+c=0（a≠0）同解；
（3）且x∈R,g（x）和h（x）是实值函数，则方程f[g（x）]=f[h（x）]与g（x）=h（x）同解；
（4）且x∈R,g（x）是实值函数，则方程f[g（x）]=f（x）与g（x）=x同解.
※※第二讲方程（组）※※结束
※※第三讲数列与数学归纳法※※
特殊数列求和主要应掌握以下几种方法：
（1）直接求和法：
直接运用等差数列或等比数列的前n项和的公式来求和
（2）转化求和法：
对于既非等差，又非等比数列的求和，经常通过拆、并、减、倒序相加、错位相减等方法，将非等差（比）数列转化为等差（比）数列来求前n项的和
（3）拆项求和法：
如果一个数列的每一项都可化为几项的差，而前一项的减数与后一项的被减数相同，或前一项的被减数与后一项的减数相同，则相加时，中间项全部抵消为零，即可求出前n项的和
（4）递推求和法：
利用二项式定理及前n个正整数的较低次幂的和的公式来求数列前n项的和
在求数列的前n项和的时候，应熟记以下公式：
∑i=n（n+1）/2
∑i^2=n（n+1）（2n+1）/6
∑i^3=[n（n+1）/2]^2
C（n,0）+C（n,1）+...+C（n,n）=2^n
C（m,m）+C（m+1,m）+...+C（n,m）=C（n+1,m+1）（n≥m,n,m∈N*）
递归数列的基础知识
（1）数列{an}的相邻若干项的关系成为递推关系，由递推关系和初始值所确定的数列叫做递归数列
等差数列和等比数列可以看作特殊的递推数列：
an=a（n-1）+d（n≥2）,an=a（n-1）•q（n≥2）
对于一个递归数列，如果我们知道了它的通项，那么就可以从整体上认识和把握该数列，因此，求递归数列的通项公式是递归数列的基本问题。
（2）由递推关系求通项公式
由于递归数列的种类繁多，多数情况下没有求解通项公式的现成方法。
求一般递归数列的通项公式，基本思想仍是通过变形、代换等手段把问题转化为求等差、等比数列的通项公式，或者通过试验猜想出一个通项公式，然后证明其正确性。
由递推关系求通项公式的常用方法有：
累加法，迭代法，代换法，代入法，不动点法，特征方程法等。
数学归纳法
（1）数学归纳法的基本形式
第一数学归纳法：
设P（n）是一个与正整数n有关的命题，如果①当n=n0（n0∈N*）时，P（n）成立；②假设n=k（k≥n0,k∈N*）成立，由此推得n=k+1时，P（n）也成立，那么，根据①②对一切正整数n≥n0时，P（n）成立。
第二数学归纳法：
设P（n）是一个与正整数n有关的命题，如果①当n=n0（n0∈N*）时，P（n）成立；②假设n≤k（k≥n0,k∈N*）成立，由此推得n=k+1时，P（n）也成立，那么，根据①②对一切正整数n≤n0时，P（n）成立。
跳跃数学归纳法：
①当n=1,2,3,...,l时，P
（1）,P
（2）,...,P（l）成立。
②假设n=k时，P（n）成立，由此推得n=k+l时，P（n）也成立，那么，根据①②对一切正整数n≥1时，P（n）成立。
反向数学归纳法：
设P（n）是一个与正整数n有关的命题，如果①P（n）对无限多个正整数n成立；②假设n=k时，命题P（n）成立，则当n=k-l时，命题P（n）也成立，那么根据①②对一切正整数n≥1时，P（n）成立。
（2）应用数学归纳法的技巧
起点前移：
有些命题对一切大于等于1的正整数n都成立，但命题本身对n=0也成立，而且验证起来比验证n=1时容易，因此用验证n=0成立代替验证n=1；同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以。
因而为了便于起步，有意前移起点。
起点增多：
有些命题在由n=k向n=k+1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点。
加大跨度：
有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多。
选择合适的假设方式：
归纳假设不一定要拘泥于“假设n=k时命题成立”，而需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用。
变换命题：
有些命题在用数学归纳法证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题（即将命题一般化或加强），才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明。
（3）归纳-猜想-证明
在数学中，通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种由个别事实得出一般性结论的不严格的推理方法称为不完全归纳法。
不完全归纳法是发现规律、解决问题的极好方法。
但不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明。
我们经常采用数学归纳法来证明这种猜想。
※※第三讲数列与数学归纳法※※结束
※※第四讲不等式※※
常见不等式的解法
（1）高次不等式
设f（x）=（x-a1）（x-a2）...（x-an）,其中a1当n为偶数时，f（x）>0的解为（an,+∞）∪（a（n-2）,a（n-1））∪（a（n-4）,a（n-3））∪...∪（a2,a3）∪（-∞,a1）,而f（x）<0的解为（a（n-1）,an）∪（a（n-3）,a（n-2））∪...∪（a1,a2）
当n为奇数时，f（x）>0的解为（an,+∞）∪（a（n-2）,a（n-1））∪（a（n-4）,a（n-3））∪...∪（a2,a1）,而f（x）<0的解为（a（n-1）,an）∪（a（n-3）,a（n-2））∪...∪（-∞,a1）
（2）分式不等式
f（x）/g（x）>0<=>f（x）g（x）>0
f（x）/g（x）≤0<=>f（x）g（x）≤0,g（x）≠0
（3）无理不等式
√f（x）≥g（x）=f（x）≥0,g（x）≥0,f（x）≥g（x）^2或f（x）≥0,g（x）≤0
√f（x）f（x）≥0,g（x）>0,f（x）（4）绝对值不等式
|f（x）|≤g（x）<=>-g（x）≤f（x）≤g（x）
|f（x）|>g（x）<=>f（x）<-g（x）或f（x）>g（x）
（5）指数、对数不等式
a>1时，a^f（x）>a^g（x）<=>f（x）>g（x）
0a^g（x）<=>f（x）a>1时，logaf（x）>logag（x）<=>f（x）>g（x）>0
0logag（x）<=>0几个重要的著名不等式
（1）平均值不等式
设a1,a2,...,an是n个正实数，记A=（a1+a2+...+an）/n,G=（a1a2...an）^（1/n）,H=n/（1/a1+1/a2+...+1/an）,Dr=[（a1^r+a2^r+...+an^r）/n]^（1/r）（r≠0）,（a1a2...an）^（1/n）（r=0）
它们分别称为这n个正数的算术平均、几何平均、调和平均及r次幂平均，则有下列平均值不等式成立：
（i）H≤G≤A，等号成立当且仅当a1=a2=...=an
（ii）当s注意不等式（i）仅是（ii）的特殊情形：
D（-1）≤D0≤D1
（2）柯西（Cauchy）不等式
设a1,a2,...,an及b1,b2,...,bn为实数，则（∑aibi）^2≤∑ai^2∑bi^2，等号成立当且仅当存在常数λ，μ（不全为零）使λai=μbi（i=1,2,...,n）。
当ai,bi都不为零时，等号成立的充要条件可写为a1/b1=a2/b2=...=an/bn
（3）赫尔德（Holder）不等式
设a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn为正实数，p,q为正实数且1/p+1/q=1，则得∑aibi≤（∑ai^p）^（1/p）（∑bi^q）^（1/q）①，等号成立当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=...=an^p/bn^q
在①中令xi=abi,yi=bi^q（i=1,2,...,n）,p=α+1（α≥0），即α=p-1=p/q，则①可等价地写为：
当α≥0时，有∑[xi^（α+1）/yi^α]≥（∑xi）^（α+1）/（∑yi）^α②并且②中等号成立当且仅当x1/y1=x2/y2=...=xn/yn
不等式①叫做赫尔德不等式，它的等价形式②我们称为权方和不等式
（4）排序不等式
给定实数a1≤a2≤...≤an和b1≤b2≤...≤bn，设i1,i2,...,in是1,2,...,n的任意排列，则a1bn+a2b（n-1）+...+anb1≤a1bi1+a2bi2+...+anbin≤a1b2+a2b2+...+anbn,等号成立当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn
（5）切比雪夫不等式
若a1≤a2≤...≤an,b1≤b2≤...≤bn，则∑aibi≥1/n•（∑ai）（∑bi）；若a1≤a2≤...≤an,b1≤b2≤...≤bn，则∑aibi≤1/n•（∑ai）（∑bi），等号成立当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn
（6）伯努力（Bernoulli）不等式
设x>-1,则当0<α<1时,有（1+x）^α≤1+αx；当α<0或α>1时，有（1+x）^α≥1+αx；等号称里当且仅当x=0
（7）凸函数不等式
（i）定义：
设f（x）是定义在区间I上的函数，故对任意x1,x2∈I（x1≠x2）及任意实数α（0<α<1），有f（αx1+（1-α）x2）<（>）α1f（x1）+α2f（x2），则成f（x）为区间I上的严格下（上）凸函数
（ii）凸函数的判定：
如果对任意的x∈I，有f''（x）>0（<0），则f（x）是区间I上的下（上）凸函数
（iii）琴生（Jensen）不等式：
设f（x）为区间I上的严格下（上）凸函数，则对任意x1,x2,...,xn∈I以及任意正实数α1,α2,...,αn（α1+α2+...+αn=1）有f（∑aixi）≤（≥）∑aif（xi），等号成立当且仅当x1=x2=...=xn
※※第四讲不等式※※结束
※※第五讲三角函数※※
三角函数的性质
（1）有界性
对任意角α，都有|sinα|≤1,|cosα|≤1，这一性质称为正、余弦函数的有界性。
竞赛解题中还常常用到1±sinα≥0,|Asinα+Bcosα|≤√（A^2+B^2）等式子
（2）奇偶性与对称性
正弦函数、正切函数和余切函数都是奇函数，从而它们的图像关于原点对称，并且y=sinx的图像还关于x=kπ+π/2,k∈Z对称
（3）单调性
利用三角函数的图像可以写出三角函数的单调区间。
例如，y=sinx在区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2]上单调递增，而在区间[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]（k∈Z）上单调递减；y=cosx在[2kπ+π,2kπ+2π]上单调递增，而在区间[2kπ,2kπ+π]（k∈Z）上单调递减
三角函数的单调性是解决三角不等式、求三角函数最值的重要依据
（4）周期性
三角函数都是周期函数，并且都有最小正周期。
对于一般表达式，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π/|ω|；y=Atan（ωx+φ）,y=Acot（ωx+φ）的最小正周期为π/|ω|
（5）其他性质
若0这个性质揭示了锐角x的弧度数与sinx,tanx之间的关系，利用它可以解决一些混合不等式问题
y=sinx/x在（0,π/2）上是减函数；
y=tanx/x在（0,π/2）上是增函数；
三角函数在其定义域内的不同的区间上呈现上凸或下凸的性质
三角变换
三角变换（或三角恒等变形）是重要的代表式变形，变形过程中，不仅需要熟练地掌握各种三角公式的应用条件和把握应用时机，还需要有一种驾驶和处理复杂三角式的化归意识与能力。
常见的三角变换包括：
角变换、函数名称变换、常数变换、公式变换及幂变换等等。
反三角函数与三角方程
（1）反三角函数式的三角运算
（2）三角函数式的反三角运算
（3）反三角函数式间的恒等式
（4）三角方程与三角不等式的解法
解三角方
升级会员 