（2）方向：
沿接触面的切线方向，并且跟物体的相对运动或相对运动趋势的方向相反．
3．电场力
（1）大小：
F＝qE.若为匀强电场，电场力则为恒力；若为非匀强电场，电场力则与电荷所处的位置有关；点电荷的库仑力F＝k
.
（2）方向：
正电荷所受电场力方向与场强方向一致，负电荷所受电场力方向与场强方向相反．
4．安培力
（1）大小：
F＝BIL，此式只适用于B⊥I的情况，且L是导线的有效长度，当B∥I时F＝0.
（2）方向：
用左手定则判断，安培力垂直于B、I决定的平面．
5．洛伦兹力
（1）大小：
F洛＝qvB，此式只适用于B⊥v的情况．当B∥v时F洛＝0.
（2）方向：
用左手定则判断，洛伦兹力垂直于B、v决定的平面，洛伦兹力总不做功．
6．共点力的平衡
（1）平衡状态：
静止或匀速直线运动．
（2）平衡条件：
F合＝0或Fx＝0，Fy＝0.
（3）常用推论：
①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余（n－1）个力的合力大小相等、方向相反．②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形．
1．处理平衡问题的基本思路：
确定平衡状态（加速度为零）→巧选研究对象（整体法或隔离法）→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论．
2．常用的方法
（1）在判断弹力或摩擦力是否存在以及确定方向时常用假设法．
（2）求解平衡问题时常用二力平衡法、矢量三角形法、正交分解法、相似三角形法、图解法等．
3．带电体的平衡问题仍然满足平衡条件，只是要注意准确分析场力——电场力、安培力或洛伦兹力．
4．如果带电粒子在重力场、电场和磁场三者组成的复合场中做直线运动，则一定是匀速直线运动，因为F洛⊥v.
题型1 整体法和隔离法在受力分析中的应用
例1
如图1所示，固定在水平地面上的物体P，左侧是光滑圆弧面，一根轻绳跨过物体P顶点上的小滑轮，一端系有质量为m＝4kg的小球，小球与圆心连线跟水平方向的夹角θ＝60°，绳的另一端水平连接物块3，三个物块重均为50N，作用在物块2的水平力F＝20N，整个系统平衡，g＝10m/s2，则以下正确的是（ ）
图1
A．1和2之间的摩擦力是20N
B．2和3之间的摩擦力是20N
C．3与桌面间摩擦力为20N
D．物块3受6个力作用
审题突破
能求出绳上的拉力吗？
求物块1和2之间的摩擦力应选谁为研究对象？
研究物块3与桌面间的摩擦力，必须选3为研究对象吗？
怎样选研究对象更简单．
解析 隔离物块1，分析受力，由平衡条件可得，1和2之间的摩擦力是0，选项A错误．轻绳中拉力为mgcos60°＝20N．对物块1、2、3整体，分析受力，由平衡条件可知，3与桌面间摩擦力为零，选项C错误．对物块1、2整体，分析受力，由平衡条件可知，2和3之间的摩擦力是20N，选项B正确．隔离物块3，分析受力，物块受到重力、物块2的压力、物块2对物块3向右的摩擦力、轻绳拉力、桌面支持力5个力，选项D错误．
答案 B
以题说法
1.在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用整体法与隔离法进行分析．
2．采用整体法进行受力分析时，要注意各个物体的状态应该相同．
3．当直接分析一个物体的受力不方便时，可转移研究对象，先分析另一个物体的受力，再根据牛顿第三定律分析该物体的受力，此法叫“转移研究对象法”．
如图2所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小物块b置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与沙漏a连接，连接b的一段细绳与斜面平行．在a中的沙子缓慢流出的过程中，a、b、c都处于静止状态，则（ ）
图2
A．b对c的摩擦力一定减小
B．b对c的摩擦力方向可能平行斜面向上
C．地面对c的摩擦力方向一定向右
D．地面对c的摩擦力一定减小
答案 BD
解析 在a中的沙子缓慢流出的过程中，细绳中拉力减小，b对c的摩擦力方向可能平行斜面向上，但是不一定减小，选项A错误，B正确．把b和c看做整体，分析受力，由平衡条件，地面对c的摩擦力方向一定向左且地面对c的摩擦力一定减小，选项C错误，D正确．
题型2 共点力作用下的静态平衡问题
例2
（2013·山东·15）如图3所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（ ）
图3
A.
∶4B．4∶
C．1∶2D．2∶1
审题突破
要分别研究两个小球的受力，还是要把两小球与B看成一个整体？
解析 选取两小球和弹簧B组成的系统为研究对象，由平衡条件得FAsin30°＝FC，即FA∶FC＝2∶1，所以ΔxA∶ΔxC＝2∶1.
答案 D
以题说法
本题考查的是学生建模的能力，排除弹簧B的干扰，巧妙选取研究对象是解题的关键．
如图4所示，甲、乙两物块用跨过定滑轮的轻质细绳连接，分别静止在斜面AB、AC上，滑轮两侧细绳与斜面平行．甲、乙两物块的质量分别为m1、m2.AB斜面粗糙，倾角为α，AC斜面光滑，倾角为β，不计滑轮处摩擦，则以下分析正确的是（ ）
图4
A．若m1sinα>m2sinβ，则甲所受摩擦力沿斜面向上
B．若在乙物块上面再放一个小物块后，甲、乙仍静止，则甲所受的摩擦力一定变小
C．若在乙物块上面再放一个小物块后，甲、乙仍静止，则甲所受的拉力一定变大
D．若在甲物块上面再放一个小物块后，甲、乙仍静止，则甲所受拉力一定变大
答案 AC
解析 对乙受力分析可知细绳上的拉力FT0＝m2gsinβ，由m1gsinα>m2gsinβ可知甲所受摩擦力沿斜面向上，A正确．若在乙物块上再放一个小物块Δm后，细绳上的拉力变为FT1＝（m2＋Δm）gsinβ，故甲所受的拉力一定变大，C正确．因FT1与m1gsinα的大小关系不确定，则甲若受到的摩擦力仍沿斜面向上，摩擦力减小；甲若受到的摩擦力沿斜面向下，则摩擦力可能会增大，B错误．若在甲物块上再放一个小物块后，甲、乙仍静止，则仍可根据乙的平衡条件得到拉力FT2＝m2gsinβ，即拉力不变，D错误．
题型3 共点力作用下的动态平衡问题
例3
（2013·天津·5）如图5所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（ ）
图5
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
审题突破
小球受到几个力作用？
在缓慢推动斜面体的过程中这几个力变化时有什么显著特征？
解析 对小球受力分析如图（重力mg、支持力FN，绳的拉力FT）．画出一簇平行四边形如图所示，当FT方向与斜面平行时，FT最小，所以FT先减小后增大，FN一直增大，只有选项D正确．
答案 D
以题说法
动态平衡问题分析的三个常用方法
1．解析法：
一般把力进行正交分解，两个方向上列平衡方程，写出所要分析的力与变化角度的关系，然后判断各力的变化趋势．
2．图解法：
能用图解法分析动态变化的问题有三个显著特征：
一、物体一般受三个力作用；二、其中有一个大小、方向都不变的力；三、还有一个方向不变的力．
3．相似三角形法：
物体一般受三个力作用而平衡，系统内一定总存在一个与矢量三角形相似的结构三角形，这种情况下采用相似三角形法解决问题简单快捷．
如图6所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m的小球套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移．在移动过程中手对线的拉力F和环对小球的弹力FN的大小变化情况是（ ）
图6
A．F减小，FN不变B．F不变，FN减小
C．F不变，FN增大D．F增大，FN减小
答案 A
解析 对小球受力分析，其所受的三个力组成一个闭合三角形，如
图所示，力三角形与圆内的三角形相似，由几何关系可知
＝
＝
，小球上移时mg不变，R不变，L减小，F减小，FN不变，A正
确．
题型4 带电体在电场内的平衡问题
例4
如图7所示，相互垂直的固定绝缘光滑挡板PO、QO竖直放置在重力场中，a、b为两个带有同种电荷的小球（可以近似看成点电荷），当用水平向左的作用力F作用于b时，a、b紧靠挡板处于静止状态．现若稍改变F的大小，使b稍向左移动一段小距离，则当a、b重新处于静止状态后（ ）
图7
A．a、b间电场力增大
B．作用力F将减小
C．地面对b的支持力变大
D．地面对b的支持力变小
审题突破
分析带电小球a受力的变化，能用图解法吗？
变方向的力方向是如何变化的？
能把a、b当成一个整体吗？
解析 带电小球a受力变化问题符合图解法的特征．使b稍向左移动
一段小距离时，二者连线与竖直方向夹角减小，即F库与竖直方向夹
角减小，如图分析知F库减小，FN减小，选项A错误．球a、b之间
的库仑力可以看成内力，故把a、b当成一个整体可知水平作用力F
与FN平衡，故F减小，B正确．地面对b球的支持力等于两个小球的重力，故不变，C、
D都错误．
答案 B
以题说法
1.电场和重力场内的平衡问题，仍然是力学问题．力学中用到的图解法和正交分解法仍然可以用在电场和重力场中．
2．当涉及多个研究对象时，一般采用整体法和隔离法结合的方法求解．如本题分析地面对b的支持力和作用力F的变化时应用整体法可以非常方便地得出结论.
1．应用平衡条件解决电学平衡问题
审题示例
如图8所示，在倾角为θ的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN，相距为L，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．有两根质量均为m的金属棒a、b，先将a棒垂直导轨放置，用跨过光滑定滑轮的细线与物块c连接，连接a棒的细线平行于导轨，由静止释放c，此后某时刻，将b也垂直导轨放置，a、c此刻起做匀速运动，b棒刚好能静止在导轨上，a棒在运动过程中始终与导轨垂直，两棒与导轨接触良好，导轨电阻不计．则（ ）
图8
A．物块c的质量是2msinθ
B．回路中电流方向俯视为顺时针
C．b棒放上后，a棒受到的安培力为2mgsinθ
D．b棒放上后，a棒中电流大小是
审题模板
解析 由右手定则可知回路中电流方向俯视为逆时针，B错误．因为a、b、c都处于平衡状态，分别列三个平衡方程FT＝mgsinθ＋F安a、F安b＝mgsinθ，FT＝mcg，而且a、b中电流相等，所以F安a＝F安b＝BIL，联立解以上四个方程，可得F安a＝F安b＝mgsinθ，mc＝2msinθ，电流大小为
，所以A、D正确，C错误．
答案 AD
点睛之笔
此题为力电综合问题，考查了力学知识的平衡问题和电磁感应知识．两问题的连接点是安培力．安培力及其他力的共同作用使物体处于平衡状态，由平衡条件可推出安培力的大小，进而得到电路的电流．因此，在解决力电综合问题时，找准问题的连接点是解题的关键．
一带电金属小球A用绝缘细线拴着悬挂于O点，另一带电金属小球B用绝缘支架固定于O点的正下方，金属小球A、B静止时位置如图9所示．由于空气潮湿，金属小球A、B缓慢放电．此过程中，小球A所受的细线的拉力F1和小球B对A的库仑力F2的变化情况是（ ）
图9
A．F1减小，F2减小B．F1减小，F2不变
C．F1增大，F2增大D．F1不变，F2减小
答案 D
解析 对小球A受力分析，受重力、绳的拉力和B对A的库仑力，根据平衡条件得绳的拉力和库仑力的合力与重力等大反向，作出三力的矢量三角形，由相似关系得
＝
＝
，因金属小球缓慢放电，因此两球之间距离AB减小，可知此过程中，F1不变，F2减小，D正确．
（限时：
45分钟）
一、单项选择题
1．如图1所示为通过轻杆相连的A、B两小球，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点．已知两球重力均为G，轻杆与细线OA长均为L.现用力F作用于小球B上（图上F未标出），使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上．则力F最小值为（ ）
图1
A.
GB.
GC．GD．2G
答案 A
解析 由于系统处于静止状态时，A、B两球在同一水平线上，因此悬线OA竖直，轻杆中的弹力为零，小球B受竖直向下的重力、沿悬线OB斜向上的拉力和F的作用而处于静止状态，三力的合力为零，表示三力的线段构成封闭三角形，由于重力的大小及方向不变，悬线拉力的方向不变，由几何关系可知，当F的方向与OB垂直且斜向右上方时，F最小，由几何关系可知，此时F＝Gsin45°＝
G，选项A正确．
2．（2013·新课标Ⅱ·15）如图2，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上．若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2（F2＞0）．由此可求出（ ）
图2
A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
答案 C
解析 当拉力为F1时，物块有沿斜面向上运动的趋势，受到沿斜面向下的静摩擦力，则F1＝mgsinθ＋fm.当拉力为F2时，物块有沿斜面向下运动的趋势，受到沿斜面向上的静摩擦力，则F2＋fm＝mgsinθ，由此解得fm＝
，其余几个量无法求出，只有选项C正确．
3．如图3所示，一串红灯笼在水平风力的吹动下发生倾斜，悬挂绳与竖直方向的夹角为30°.设每个红灯笼的质量均为m，绳子质量不计．则自上往下数第一个红灯笼对第二个红灯笼的拉力大小为（ ）
图3
A.
mgB．2mg
C．4mgD.
mg
答案 D
解析 把下面两个灯笼作为一个整体，进行受力分析，由Fcos30°＝2mg解得F＝
mg，选项D正确.
4．轻杆的一端安装有一个小轻滑轮P，用手握住杆的另一端支撑着悬挂重物的绳子，如图4所示．现保持滑轮的位置不变，使杆向下转动一个角度到虚线位置，则下列关于杆对滑轮P的作用力的判断正确的是（ ）
图4
A．变大B．不变
C．变小D．无法确定
答案 B
解析 绳中的拉力不变，因滑轮位置不变，所以滑轮两侧绳子的夹角不变，由平衡条件知，杆对滑轮P的作用力不变，B正确．
5．如图5，匀强电场方向垂直于倾角为α的绝缘粗糙斜面向上，一质量为m的带正电荷的滑块静止于斜面上，关于该滑块的受力，下列分析正确的是（当地重力加速度为g）（ ）
图5
A．滑块可能只受重力、电场力、摩擦力三个力的作用
B．滑块所受摩擦力大小一定为mgsinα
C．滑块所受电场力大小可能为mgcosα
D．滑块对斜面的压力大小一定为mgcosα
答案 B
解析 若滑块只受重力、电场力，不可能处于平衡状态，故一定受摩擦力和支持力作用（滑块受摩擦力必定同时受到支持力），根据平衡条件可得F电＋FN＝mgcosα，Ff＝mgsinα，又因为FN≠0，所以滑块受到的支持力和电场力一定小于mgcosα，由牛顿第三定律知滑块对斜面的压力大小一定小于mgcosα，故B正确．
6．如图6所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，利用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地推动小球，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面），挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是（ ）
图6
A．F1增大、F2减小
B．F1增大、F2增大
C．F1减小、F2减小
D．F1减小、F2增大
答案 B
解析 对小球受力分析，小球受重力mg、挡板向右的弹力F1及指向圆心的半球面的弹力F2，三个力组成一个闭合三角形，设F2与竖直方向的夹角为θ，则F1＝mgtanθ，F2＝
，小球右移，θ角增大，则F1增大，F2增大，B正确．
二、多项选择题
7．两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图7所示．开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的p端向右拉动弹簧，已知a弹簧的伸长量为L，则（ ）
图7
A．b弹簧的伸长量也为L
B．b弹簧的伸长量为
C．p端向右移动的距离为2L
D．p端向右移动的距离为（1＋
）L
答案 BD
解析 两弹簧的弹力大小相等，通过a弹簧的伸长量可得弹簧的弹力为F＝k1L，则b弹簧的伸长量为
，p端向右移动的距离为L＋
，选项B、D正确，选项A、C错误．
8．如图8所示，物体A、B用细绳连接后跨过定滑轮．A静止在倾角为30°的斜面上，B被悬挂着．已知质量mA＝2mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由30°缓慢增大到50°，物体始终保持静止，那么下列说法中正确的是（ ）
图8
A．物体B通过细绳对A的拉力将增大
B．物体A受到斜面的支持力将减小
C．物体A受到的静摩擦力将先减小后增大
D．物体A受到的静摩擦力将增大
答案 BD
解析 对物体B受力分析，根据平衡条件得拉力始终等于B的重力，A错误；对物体A受力分析，受重力、斜面的支持力、绳的拉力，在斜面倾角为30°时，沿斜面方向有mAgsin30°＝mBg，因此物体A不受摩擦力作用，垂直于斜面方向有FN＝mAgcosθ，随着斜面倾角的增大，重力沿斜面向下的分力增大且大于绳的拉力，物体A受到向上的静摩擦力，根据平衡条件得Ff＝mAgsinθ－mBg，随着倾角θ的增大，静摩擦力增大，支持力将减小，C错误，B、D正确．
9．（2013·广东·20）如图9，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平，现把物体Q轻轻地叠放在P上，则（ ）
图9
A．P向下滑动
B．P静止不动
C．P所受的合外力增大
D．P与斜面间的静摩擦力增大
答案 BD
解析 设斜面的倾角为θ，放上Q，相当于增加了P的质量，对P受力分析并列平衡方程得mgsinθ＝f≤μmgcosθ，N＝mgcosθ.当m增加时，不等式两边都增加，不等式仍然成立，P仍然平衡，故选B、D.
10．如图10所示，A是一质量为M的盒子，B的质量为m，A、B用细绳相连，跨过光滑的定滑轮置于倾角为θ的斜面上，B悬于斜面之外而处于静止状态，斜面放置在水平地面上．现在向A中缓慢加入沙子，整个系统始终保持静止，则在加入沙子的过程中（ ）
图10
A．绳子拉力不变
B．A对斜面的压力逐渐增大
C．A所受的摩擦力逐渐增大
D．地面对斜面的摩擦力逐渐增大
答案 AB
解析 绳子的拉力始终为B的重力mg，大小是不变的，选项A正确；设盒子和沙的总质量为M′，则A对斜面的压力等于M′gcosθ，且随着沙子的增多而增大，选项B正确；如果一开始A所受的摩擦力沿斜面向下，随着沙子的增多，摩擦力会先减小后反向增大，选项C错误；以A、B和斜面作为一个整体，整体处于平衡状态，水平方向不受力，故地面对斜面无摩擦力，选项D错误．
11．如图11所示，三个物块A、B、C叠放在光滑的斜面上，用方向与斜面平行的拉力F作用在B上，使三个物块一起沿斜面向上匀速运动．设物块C对A的摩擦力为FfA，对B的摩擦力为FfB，下列说法正确的是（ ）
图11
A．FfA与FfB方向相同
B．FfA与FfB方向相反
C．FfAD．FfA>FfB
答案 BC
解析 以A、C整体为研究对象，A、C处于平衡状态，B对C的摩擦力方向沿斜面向上，大小为（mA＋mC）gsinθ，所以FfB方向沿斜面向下，大小也为（mA＋mC）gsinθ；以A为研究对象，C对A的摩擦力方向沿斜面向上，FfA大小为mAgsinθ，所以FfA与FfB方向相反，FfA12．如图12所示，凹形槽半径R＝30cm，质量m＝1kg的小物块（可视为质点），在沿半径方向的轻弹簧挤压下处于静止状态．已知弹簧的劲度系数k＝50N/m，弹簧原长L0＝40cm，一端固定在圆心O处，弹簧与竖直方向的夹角θ＝37°，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.则（ ）
图12
A．物块对槽的压力大小是15N
B．物块对槽的压力大小是13N
C．槽对物块的摩擦力大小是6N
D．槽对物块的摩擦力大小是8N
答案 BC
解析 由R知识可得FN＝mgcosθ＋F＝mgcosθ＋k（L0－R），Ff＝mgsinθ，解得Ff＝
6N，FN＝13N，由牛顿第三定律得物块对槽的压力大小FN′＝FN＝13
N，选项B、C正确．
三、非选择题
13．如图13所示，光滑金属球的重量G＝40N，它的左侧紧靠竖直的墙壁，右侧置于倾角θ＝37°的斜面体上．已知斜面体置于水平地面上保持静止状态，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：
图13
（1）墙壁对金属球的弹力大小；
（2）水平地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．
答案
（1）30N
（2）30N 水平向左
解析
（1）
金属球静止，则它受力平衡，如图所示．由平衡条件可
得墙壁对金属球的弹力为
FN1＝Gtanθ＝40tan37°N＝30N
（2）斜面体对金属球的的弹力为
FN2＝
＝50N
由斜面体受力平衡可知地面对斜面体的摩擦力大小为
Ff＝FN2sinθ＝30N
摩擦力的方向水平向左．
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