导数公式证明大全更新版2.docx

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导数公式证明大全更新版2

导数的定义：

f'（x）=limΔy/Δx

   Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）

用定义求导数公式

（1）f（x）=x^n 

证法一：

（n为自然数）

f'（x）

=lim[（x+Δx）^n-x^n]/Δx

=lim（x+Δx-x）[（x+Δx）^（n-1）+x*（x+Δx）^（n-2）+...+x^（n-2）*（x+Δx）+x^（n-1）]/Δx

=lim[（x+Δx）^（n-1）+x*（x+Δx）^（n-2）+...+x^（n-2）*（x+Δx）+x^（n-1）]

=x^（n-1）+x*x^（n-2）+x^2*x^（n-3）+...x^（n-2）*x+x^（n-1）

=nx^（n-1）

证法二：

（n为任意实数）

f（x）=x^n

lnf（x）=nlnx

（lnf（x））'=（nlnx）'

f'（x）/f（x）=n/x

f'（x）=n/x*f（x）

f'（x）=n/x*x^n

f'（x）=nx^（n-1）

（2）f（x）=sinx

f'（x）

=lim（sin（x+Δx）-sinx）/Δx

=lim（sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx）/Δx

=lim（sinx+cosxsinΔx-sinx）/Δx

=limcosxsinΔx/Δx

=cosx

（3）f（x）=cosx

f'（x）

=lim（cos（x+Δx）-cosx）/Δx

=lim（cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx）/Δx

=lim（cosx-sinxsinΔx-cos）/Δx

=lim-sinxsinΔx/Δx

=-sinx

（4）f（x）=a^x

证法一：

f'（x）

=lim（a^（x+Δx）-a^x）/Δx

=lima^x*（a^Δx-1）/Δx

（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^（m+1））

=lima^x*m/loga^（m+1）

=lima^x*m/[ln（m+1）/lna]

=lima^x*lna*m/ln（m+1）

=lima^x*lna/[（1/m）*ln（m+1）]

=lima^x*lna/ln[（m+1）^（1/m）]

=lima^x*lna/lne

=a^x*lna

证法二：

f（x）=a^x

lnf（x）=xlna

[lnf（x）]'=[xlna]'

f'（x）/f（x）=lna

f'（x）=f（x）lna

f'（x）=a^xlna

若a=e，原函数f（x）=e^x

则f'（x）=e^x*lne=e^x

（5）f（x）=loga^x

f'（x）

=lim（loga^（x+Δx）-loga^x）/Δx

=limloga^[（x+Δx）/x]/Δx

=limloga^（1+Δx/x）/Δx

=limln（1+Δx/x）/（lna*Δx）

=limx*ln（1+Δx/x）/（x*lna*Δx）

=lim（x/Δx）*ln（1+Δx/x）/（x*lna）

=limln[（1+Δx/x）^（x/Δx）]/（x*lna）

=limlne/（x*lna）

=1/（x*lna）

若a=e，原函数f（x）=loge^x=lnx

则f'（x）=1/（x*lne）=1/x

（6）f（x）=tanx

f'（x）

=lim（tan（x+Δx）-tanx）/Δx

=lim（sin（x+Δx）/cos（x+Δx）-sinx/cosx）/Δx

=lim（sin（x+Δx）cosx-sinxcos（x+Δx）/（Δxcosxcos（x+Δx））

=lim（sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx）/（Δxcosxcos（x+Δx））

=limsinΔx/（Δxcosxcos（x+Δx））

=1/（cosx）^2=secx/cosx=（secx）^2=1+（tanx）^2

（7）f（x）=cotx

f'（x）

=lim（cot（x+Δx）-cotx）/Δx

=lim（cos（x+Δx）/sin（x+Δx）-cosx/sinx）/Δx

=lim（cos（x+Δx）sinx-cosxsin（x+Δx））/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim（cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx）/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim-sinΔx/（Δxsinxsin（x+Δx））

=-1/（sinx）^2=-cscx/sinx=-（secx）^2=-1-（cotx）^2

（8）f（x）=secx

f'（x）

=lim （sec（x+Δx）-secx）/Δx

=lim（1/cos（x+Δx）-1/cosx）/Δx

=lim（cosx-cos（x+Δx）/（ΔxcosxcosΔx）

=lim（cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx）/（Δxcosxcos（x+Δx））

=limsinxsinΔx/（Δxcosxcos（x+Δx））

=sinx/（cosx）^2=tanx*secx

（9）f（x）=cscx

f'（x）

=lim （csc（x+Δx）-cscx）/Δx

=lim（1/sin（x+Δx）-1/sinx）/Δx

=lim（sinx-sin（x+Δx））/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim（sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx）/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim-sinΔxcosx/（Δxsinxsin（x+Δx））

=-cosx/（sinx）^2=-cotx*cscx

（10）f（x）=x^x

lnf（x）=xlnx

（lnf（x））'=（xlnx）'

f'（x）/f（x）=lnx+1

f'（x）=（lnx+1）*f（x）

f'（x）=（lnx+1）*x^x

（12）h（x）=f（x）g（x）

h'（x）

=lim（f（x+Δx）g（x+Δx）-f（x）g（x））/Δx

=lim[（f（x+Δx）-f（x）+f（x））*g（x+Δx）+（g（x+Δx）-g（x）-g（x+Δx））*f（x）]/Δx

=lim[（f（x+Δx）-f（x））*g（x+Δx）+（g（x+Δx）-g（x））*f（x）+f（x）*g（x+Δx）-f（x）*g（x+Δx）]/Δx

=lim（f（x+Δx）-f（x））*g（x+Δx）/Δx+（g（x+Δx）-g（x））*f（x）/Δx

=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）

（13）h（x）=f（x）/g（x）

h'（x）

=lim（f（x+Δx）/g（x+Δx）-f（x）g（x））/Δx

=lim（f（x+Δx）g（x）-f（x）g（x+Δx））/（Δxg（x）g（x+Δx））

=lim[（f（x+Δx）-f（x）+f（x））*g（x）-（g（x+Δx）-g（x）+g（x））*f（x）]/（Δxg（x）g（x+Δx））

=lim[（f（x+Δx）-f（x））*g（x）-（g（x+Δx）-g（x））*f（x）+f（x）g（x）-f（x）g（x）]/（Δxg（x）g（x+Δx））

=lim（f（x+Δx）-f（x））*g（x）/（Δxg（x）g（x+Δx））-（g（x+Δx）-g（x））*f（x）/（Δxg（x）g（x+Δx））

=f'（x）g（x）/（g（x）*g（x））-f（x）g'（x）/（g（x）*g（x））

=[f'（x）g（x）-f（x）g'（x）]/（g（x）*g（x））x

（14）h（x）=f（g（x））

h'（x）

=lim[f（g（x+Δx））-f（g（x））]/Δx

=lim[f（g（x+Δx）-g（x）+g（x））-f（g（x））]/Δx

（另g（x）=u，g（x+Δx）-g（x）=Δu）

=lim（f（u+Δu）-f（u））/Δx

=lim（f（u+Δu）-f（u））*Δu/（Δx*Δu）

=limf'（u）*Δu/Δx

=limf'（u）*（g（x+Δx）-g（x））/Δx

=f'（u）*g'（x）=f'（g（x））g'（x）

（反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1）

（15）y=f（x）=arcsinx

则siny=x

（siny）'=cosy

所以

（arcsinx）'=1/（siny）'=1/cosy

=1/√1-（siny）^2

（siny=x）

=1/√1-x^2

即f'（x）=1/√1-x^2

（16）y=f（x）=arctanx

则tany=x

（tany）'=1+（tany）^2=1+x^2

所以

（arctanx）'=1/1+x^2

即f'（x）=1/1+x^2

总结一下

（x^n）'=nx^（n-1）

（sinx）'=cosx

（cosx）'=-sinx

（a^x）'=a^xlna

（e^x）'=e^x

（loga^x）'=1/（xlna）

（lnx）'=1/x

（tanx）'=（secx）^2=1+（tanx）^2

（cotx）'=-（cscx）^2=-1-（cotx）^2

（secx）'=tanx*secx

（cscx）'=-cotx*cscx

（x^x）'=（lnx+1）*x^x

（arcsinx）'=1/√1-x^2

（arctanx）'=1/1+x^2

[f（x）g（x）]'=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）

[f（x）/g（x）]'=[f'（x）g（x）-f（x）g'（x）]/（g（x）*g（x））

[f（g（x））]'=f'（g（x））g'（x）