高中数学文科立体几何知识点总结.docx
《高中数学文科立体几何知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学文科立体几何知识点总结.docx（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学文科立体几何知识点总结
l立体几何知识点整理（文科）l//m
l//mm
直线和平面的三种位置关系：
一．αl
1.线面平行
方法二：
用面面平行实现。
l//l//αl符号表示：
2.线面相交βllαAα方法三：
用平面法向量实现。
符号表示：
n为平若面线在面内3.的一个法向量，ln
nlll//且。
则l
αα符号表示：
二．平行关系：
线线平行：
1.方法一：
用线面平行实现。
3.面面平行：
lmβl//l方法一：
用线线平行实现。
l'l//mlm'αl//l'mm//m'm//且相交l,m且相交l',m'方法二：
用面面平行实现。
//lβl//mlγmm
α方法二：
用线面平行实现。
方法三：
用线面垂直实现。
l//
l,ml//m//m//若。
，则ll,m且相交mβ方法四：
用向量方法：
mll//m。
若向量和向量共线且l、m不重合，则α
2.线面平行：
方法一：
用线线平行实现。
1/11
l
CA方法三：
用向量方法：
Bα
lmlm，则的数量积为和向量若向量0。
三．垂直关系：
夹角问题。
三．线面垂直：
1.异面直线所成的角：
一）（方法一：
用线线垂直实现。
（0,90]范围：
（1）
AClABl求法：
（2）Pnl
ABACA方法一：
定义法。
AθOAC,ABα：
平移，使它们相交，找到夹角。
步骤1
方法二：
用面面垂直实现。
）常用到余弦定理步骤2：
解三角形求出角。
（
余弦定理：
βllmac222c
ablm,lm
cosθ2abbα
）计算结果可能是其补角（
面面垂直：
2.方法二：
向量法。
转化为向量
方法一：
用线面垂直实现。
C的夹角βllθl：
）（计算结果可能是其补角
BAABACαcosABAC方法二：
计算所成二面角为直角。
线面角）（二线线垂直：
3.
上任取一点
（1）定义：
直线l，作（交点除外）P方法一：
用线面垂直实现。
内，则连结AOAO为斜线PA在面于O,POllmPAO图中（与面）为直线ll所成的角。
的射影，mm
αP
方法二：
三垂线定理及其逆定理。
θA
αO
PPO
PAlOAl
[0,90]
（2）范围：
lOA
αl112/
ll//0或时，当n1
nl90时，当2
θ求法：
（3）
方法一：
定义法。
nn：
作出线面角，并证明。
步骤121
cosnn步骤一：
计算21nn：
解三角形，求出线面角。
步骤221
nn二面角及其平面角三）（的关系，可能相等或步骤二：
判断与21
（1）定义：
在棱l上取一点P，两个半平面内分别作者互补。
l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为
四．距离问题。
—l—的平面角。
二面角．点面距。
1
方法一：
几何法。
mlPP
n
OA
[0,180]范围：
（2）步骤1：
过点P作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：
计算线段PO的长度。
（直接解三角形；等
（3）求法：
体积法和等面积法；换点法）
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
方法一：
定义法。
步骤1：
作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。
3．异面直线之间的距离
：
解三角形，求出二面角的平面角。
步骤2方法一：
转化为线面距离。
方法二：
截面法。
m和同时垂直于平面POA步骤1：
如图，若平面，n
则交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。
n为两条异面直线，n和如图，m且步骤2：
解三角形，求出二面角。
m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为直
βP线m与平面之间的距离。
θA方法二：
直接计算公垂线段的长度。
Oα
方法三：
公式法。
）。
方法三：
坐标法（计算结果可能与二面角互补
3/11
如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，mBaA
ndm//m'，则异面直线m和n之间的距离为：
c
m'D
b2222abcosadc
bC
空间向量五．
AA1
空间向量基本定理一）（
CC1D
pa,b,c，都存在唯一的有序实数对为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量若向量B
B1zcpxayb、zy、x。
，使得
三点共线，四点共面问题）（二
三点共线C1.A，B，
，且OAxOByOC
x1y1yx
当的A时，是线段BC2
ABAC三点共线A，C，B
CBA，，，D四点共面2.
yOCzODxOBOAxz1y，且
1xyz当的BCD时，A是△
3
AByADxAC四点共面，DCA，B，
空间向量的坐标运算）（三
A1.已知空间中、两点的坐标分别为：
B
）B（x）,z,yA（x,y,z则：
，211122
dABAB;A,B，）,y（x,y,zb（x）,za若空间中的向量2.111222
aabb则
114/
abcosab
六．常见几何体的特征及运算
（一）长方体
1.长方体的对角线相等且互相平分。
222+coscos+cos、、2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则
αβγβαγ
222cos+cos+cos、、，则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为
，则体对角线长为若长方体的长宽高分别为a、b、c3.，体积为，表面积为。
（二）正棱锥：
底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
（三）正棱柱：
底面是正多边形的直棱柱。
（四）正多面体：
每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
（只有五种正多面体）
（五）棱锥的性质：
平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：
各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
VV）体积：
（六棱锥棱柱
球（七）
1.定义：
到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关1
。
系是
3.球面距离：
经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式：
体积公式：
高考题典例
考点1点到平面的距离
5/11
，为中点．2DCC如图，正三棱柱例1的所有棱长都为CABCAB1111平面；（Ⅱ）求二面角的大小；⊥ABBDA（Ⅰ）求证：
DAAB111（Ⅲ）求点到平面的距离．BDAC1
解答过程（Ⅰ）取中点，连结．AOOBC
为正三角形，．BC⊥AO△ABC
平面，中，平面正三棱柱ABC⊥ABC11BCCBBCA111AA1别为．连结BOBC，CC分，在正方形平面中，DBCCB，OBBCCAO⊥111111F
C．
BD⊥，ABBO⊥BDC的中点，D111O
B中，平面．在正方形，
ABAB⊥ABABB⊥ABBDA1111111于交于点，在平面连中，作⊥结，（Ⅱ）设与FGGF111
ABABD1，平面．的平面角．BDAB为二面角DAADA⊥AF⊥AB∠AFG，由（Ⅰ）得AF1111
中，由等面积法可求得在DAA45△，AF1
51，又AB2AG．102AG1AFG∠sin24AF45
5的大小为B
所以二面角A10arcsin．DA14
中，（Ⅲ）ABD．，，，△△△12S6SBDAD5AB2BCDBDA1111．的距离为在正三棱柱中，到平面BCCBA3111d．设点到平面的距离为CABD
111，，得由2dSSV．33SVd△△BCD△BDBCDAAABDBCD11C1233SBDA△12．的距离为ABD点到平面C12
2考点异面直线的距离
24ABCS，底面是边长为2例已知三棱锥的正三角形，棱
AB、DBC、ESC的中点，求.分别为，且垂直于底面的长为2
116/
CD与SE间的距离.
解答过程：
如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，
BCDCD,CDSEFCDSEFEFEF的距离即为两异面直线间的∥面的中位线，,∥到平面为
CDSEF到平面C上一点又.距离线面之间的距离可转化为线
2BC4、的中点，h，由题意知，AB,D、、E、FBC分别是BD的距离，设其为
1CD6,DF2,SC226,EFCD
2
V11EFDFSC1162223SCEF
33322
22CE
SCSE23SCE中，Rt在
22CF
SCSF424230SCF中，Rt在
S13hh1S，即6,3EFVVh2332由于，解得又SEFCSSEFSEFCEF3333
23间的距离为CD与SE故.
3
考点3直线到平面的距离
ACAAGBD的距离的正方体.的中点，求中，BDG到平面是2．例3如图，在棱长为1111
：
把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解思路启迪.D1C1O1DGBBD，∥平面：
解析一解答过程11A1B1
GBDBD的距离皆为所求，以下求上任意一点到平面H11
G
GBD的距离,点O平面D11C
O
ACBDAABDAACCDB,，平面，AB11111111111
GBDAACCGBDBDOG，两个平面的交线是平面又平面,111111111OGGBDOHGBDOH平面H于，则有作点到平面，即OH是O.的距离
1111111222OAOO.OGOS中，在1OG1O122
7/11
1126S又3OH2,OHGOHO.1OGO1322
62DGB的距离等于即BD到平面.11
3
GBDBD，∥平面解析二11
GBDGBD的距离平面.的距离皆为所求，以下求点BBD上任意一点到平面1111
GBDBGBD的距离为h的高，则，将它视为三棱锥设点B到平面1111由于1114,VV，6VS222223DDGBBBGB,1111DGBDGBB11113232426h,36
26
DGB.的距离等于到平面即BD113
都是线面距离.所以求线面距离关键是直线上的每一点到平面的距离都相等，：
当直线与平面平行时，小结
选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距
离.
考点4异面直线所成的角
πAOAB4为轴旋转以直线，斜边．例4如图，在中，可以通过AOB△RtAOC△RtRt△AOBOAB
6ACAOBABD的中点．是的直二面角．得到，且二面角
COD
AOB；平面）求证：
平面I（DAOCD）求异面直线II（所成角的大小．与
zAOBOCOAO，I）由题意，，解答过程：
（
AEBOBAOCBOC是直二面角，是二面角C
BOOAOBCOAOBOCO，，，又平面D
COCODCODAOB．平面平面．又平面
ECEDE∥AOOBDE，（如图），则，连结，垂足为（II）作
yCDAO所成的角．与是异面直线CDEB
O12xCBO2．中，在5OE
RtCO△COEBO，，2CECOOE1
2
8/11
RtCDE中，．在又1△tanCDE153DEAO．5CE
33DE2
AOCD15．所成角的大小为异面直线与arctan
3
小结：
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：
①平移法：
在异面直线中的一条直
线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：
把空间
如解析三.一般来说，平移法是最常其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，图形补成熟悉的几何体，
.0,
.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：
用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法
2
考点5直线和平面所成的角
AB2，，∠ABC45为平行四边形，侧面例5.四棱锥S底面．已知ABCD中，底面ABCDSBCABCD
．SB3BC22，SAS
（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．SABSABCSD
CB解答过程：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面⊥⊥BCAOSBCSOO
DA，得底面．ABSO⊥ABCDSBOAO
SASB，因为，所以AOB∠ABC45△为等腰直角三角形，，故又
OBCSA⊥AO⊥BO．，由三垂线定理，得CB
SA⊥BCAD∥BC，，依题设（Ⅱ）由（Ⅰ）知DAADSA⊥，由故，，，
ADBC22SA3AO2
121△SABSD112的面积SO1ABS．，得．AB2SA1
22
1ABADsin135S△DAB2DB的面积连结，得2
211VVhSABD，解得h2．，由于的距离为到平面设hS，得SOSDSABSABD2133
22SABSD．所成角为设与平面，则2hsin11SD11
SDSBC22．所成的我为所以，直线与平面arcsin11
1）先判断直线和平面的位置关系；
（2）当直线和平：
求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（小结
面斜交时，常用以下步骤：
①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，
9/11
③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.
6考点二面角
APQBCCACBPQ，，，，，已知直二面角例6．如图，
C
BC⊥PQCA4530BAP．（I）证明和平面，直线所成的角为AP
QPBAC的大小．II）求二面角（B
CCO⊥PQOOB．，连结内过点于点作）在平面过程指引：
（I
C
PQCO⊥⊥，，所以，因为H
APQOBCBOACA．又因为，所以OB
BAOABO45AOB9045，而，，所以
BO⊥PQCO⊥PQ，从而，又
OBCPQBC⊥BCPQ⊥OBC．所以平面．因为平面，故
PQ⊥BO⊥PQ，又）知，（II）由（I，，
BO⊥OOH⊥ACBH⊥ACBOBHH．故，所以，由三垂线定理知，于点．过点，连结作
BHOBPAC的平面角．是二面角
⊥COCAOCA30CAO由（I）知，，是和平面所成的角，则，所以
33AOOHACAOsin302．，则，不妨设
2
BOAO3Rt△BOHRt△OAB45ABOBAO，所以在是，在于中中，，
BParctan2AC3BO．的大小为．故二面角
2tanBHOOH3
2
.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面：
本题是一个无棱二面角的求解问题小结
角棱的确定有以下三种途径：
①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条
平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面
角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.
10/11
7考点利用空间向量求空间距离和角
D1DABCABCD3A是棱长为如图，已知例7．的正方体，11111B1C1AEFCCCEAA1F上，且在在上，点点．111
EF
D，B，F，E四点共面；
（1）求证：
1MA2DGM⊥BFBGBCG，上，上，在
（2）若点HBBM为足垂在，点1BGC3BCCBEM⊥H；平面，求证：
11EBFDBCCBtan和侧面（3）用表示截面所成的锐二面角的大小，求．111DDDN1NENCN上取点，使过程指引：
（1）如图，在，，，连结1D1A1ND2CFDN1AEB．，则11C1
CFND∥NCFDDNAE∥ADNEN，所以四边形因为，都为平行四，EF11MEN∥ADFD∥CN．边形．从而，A1DHBGAD∥BCEN∥BCBCNEC是平行四边形，由此，故四边形又因为，所以CNBE∥FD∥BEE，B，F，D四点共面．，从而推知．因此，11GM⊥BFBM⊥BC∠CFB∠BGM，又，所以，
（2）如图，BC32CFBBGMBGtan∠BGtan∠BM1BG．3CF2AE∥BMEMABMEAB∥．，所以为平行四边形，从而因为BCCBBCCBEMAB⊥⊥．，所以又平面平面1111
∠EHM．于是BF⊥EH⊥⊥BFEMBFBF⊥EMHMHEH，得，平面，所以（3）如图，连结．因为
∠EHM．是所求的二面角的平面角，即
∠MBH∠CFBMHBMsin∠MBHBMsin∠CFB，所以因为
EM．，tanBC1BM331322222BC3CFMH13
11/11
升级会员 