数学小课题研究教学案例数学设计性研究课题牛奶盒的包装.docx
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数学小课题研究教学案例数学设计性研究课题牛奶盒的包装
数学设计性研究课题牛奶盒的包装
一、课题的确定
牛奶盒的包装问题虽然比较简单，却包含了重要的数学知识，引导学生对这个问题进行思考探究，应用所学知识解决实际问题将有力地促进学生问题意识与解决问题能力的发展。
学生已经学习了长方体和正方体的特征及表面积、体积计算，有了一定的知识基础。
以牛奶盒的打包问题为研究素材，学生非常熟悉，难度不高，研究的同时也为节能减排尽自己的一份努力，所以学生非常高兴地接受了任务，能积极地参与研究。
二、课题的布置与指导
将研究任务布置给全班同学。
六个人一个小组，哪个小组找到了解决问题的办法及时跟老师汇报。
刚开始，多数学生找不到研究的突破口，无从下手。
于是，我引导学生观察思考：
要把大小不同的长方体包装起来，需要的包装纸一样大吗？
为什么？
学生说不一样大，大的长方体用的包装纸多，小的用的包装纸少，因为大的长方体表面积大，用的包装纸就大。
学生经过启发后，豁然开朗。
这是一个根本性的问题：
怎样包装最省材料，其实就是在思考，怎样组合表面积最小的问题。
这样学生就由实际问题转化为一个具体的数学问题来考虑了。
学生接下来只需研究不同形状长方体的表面积大小。
广泛听取同学们的研究汇报，给于适当的鼓励和表扬，并作一定的指导。
学生汇报的研究方案主要有以下四种：
一是从露在外面的面的大小多少来考虑；二是从隐藏面的角度来思考；三是采用实际测量的方法，计算出具体表面积；四是从组合的角度来分析思考。
对于学生汇报中出现的问题作了如下指导。
一个小组通过观察研究发现：
每个大面都是由不同的小面组成的，数一数露在外面多少个面就能知道哪一种情况最省包装。
我进一步引导他们，组成六个大面的那些小面都是一样的吗？
有几种？
既然每一种组合都有三种不同的面，又怎么去比较大小呢？
教师一层层的去引导，学生的研究便有了一步步地深入。
一个小组的同学在观察单个奶盒、两个奶盒组合、三个奶盒组合时发现：
组合时有些面隐藏了，而且，隐藏的面积越大，露在外面的面积，也就是表面积就会越小。
我进一引导他们动手操作，实际验证自己的想法，并且在操作的过程中注意发现问题，注意总结规律。
一个小组的同学考虑到，包装是不是最省，看的是表面积，就应该直接测量出几种不同的包装方式的长、宽、高，而后计算出它们各自的表面积，再进行比较，就知道哪一种最节省。
当他们有了初步的结果时，我又引导他们对几种组合方式以及它们各自的数据进行分析，他们小组最后发现：
体积一定，越接近正方体，表面积就越小。
还有一个小组的同学考虑到了组合的方式，超出了我的预料，因为考虑到组合没有学，并且比较难，所以只是要求他们：
得出什么结果或有什么发现及时汇报，但他们研究的深度令我惊叹。
我根据研究情况定出汇报小组，帮助他们整理研究成果，并作展示交流前的指导，以便在课上汇报时，其它学生听得更明白。
三、课堂教学实录
（一）课前情境铺设，充分调动学生研究热情
课前用1分钟的时间让学生观看“保护森林的环保小短片与利乐包装小资料”。
小资料：
瑞典的利乐包装公司是一家跨国公司，生产液体包装盒，包装牛奶或其它饮料一类的液体饮品。
它们的产品2002年在中国达到了77亿包，2004年在中国就超过了125亿包，2005年在全球就达到了1200亿包。
师：
如果按目前24盒一箱，请同学们口算一下1200亿包该有多少箱？
生：
1200除以24，有50亿箱。
师：
假如一箱奶能节约1平方厘米，那么这50亿箱将能节约50亿平方厘米，多么庞大的一个数呀！
师：
联系刚才的短片和小资料，你有什么想说的？
用一句话来概括。
生1：
纸大多是用木材造出来的，我们应该节约用纸、保护森林。
生2：
人类不能再这样破坏环境了！
师：
看得出，大家的责任心都比较强，也都有节能环保的意识，这非常好。
这节课，就让我们积极地投入到研究当中，为节约、环保，尽我们的一份力量。
【评析：
提供生活素材，真实可信，引发学生对社会生产问题的关注，密切数学与生活的联系，为提出包装问题做好铺垫。
】
（二）课上汇报展示，启迪思维，适时点评，完善方案
师：
对于牛奶盒怎么包装最节省，课下有几个小组的同学已经做了一些初步的研究，现在请他们向大家汇报。
1、第一小组汇报
生1：
同学们，大家好！
在我们汇报之前，先请同学们看一下我手里的一个牛奶盒，六个面分三类：
大面、中面、小面。
课下我们小组研究发现，打包的问题也就是求组合图形表面积的问题，而组合起来的六个面，是由几个大面、几个中面和几个小面构成的。
所以对于不同的包装方式，数出它有几个大面、几个中面和几个小面，然后对比一下就知道谁用的包装更节省了。
生2：
下面我用4个牛奶盒给大家具体演示一下。
（牛奶盒站立，从上面看）数数有几个面构成：
图形1图形2
4个大面 2个大面
4个中面 PK 8个中面
8个小面 8个小面
8个小面相互抵消，2个大面抵消，4个中面抵消，这样组合图形1只剩2个大面，组合图形2只剩4个中面。
4个中面的面积是大于2个大面的，所以组合图形1节省，“胜”。
生3：
目前市场上牛奶的包装是：
1×3×8（1层/一排摆3盒/摆8排）的组合方式，有6个大面、16个中面、48个小面；我们观察发现 2×3×4（2层/一排摆3盒/摆4排）的组合方式，有12个大面、16个中面、24个小面。
这两种方式的大、中、小面对比抵消部分后，剩24个小面对比6个大面，即4个小面对比1个大面，很明显后者更省。
学生质疑：
刚才你们组的第二位同学说“4个中面的面积大于2个大面”，你们是怎么知道的？
小组解释：
4个中面的面积对2个大面，相当于2个中面对1个大面，这样，我拿2个中面与1个大面放在一起做一下对比，不就一目了然了吗？
学生评价：
他们小组是从表面积入手，研究了面的组成，用了科学的“对比”处理方法，研究得比较透，展示也有一定的顺序，PK的方式很幽默。
（掌声）
2、第二小组汇报
生1：
大家好！
课下我们在研究有多少种包装方法时发现，很不好找，其主要原因：
一是种数比较多且较复杂；二是很容易重复或遗漏。
其它小组在研究时也存在同样的问题，并且我们还发现以前做过研究的小组，它们当初所做的种数统计也是不全对的。
所以，我们重点思考、研究了怎样数出包装的种数。
我们发现：
任意一种包装方式都会隐藏一些不同的面。
于是，我们就从这个方面入手，观察记录，最终找到了这种既不会重复又不会遗漏的方法！
生2：
下面，我们以4个牛奶盒为例做详细说明：
1.隐藏6个大面；2.隐藏6个中面；3.隐藏6个小面；4.隐藏4个大面4个中面；5.隐藏4个大面4个小面；6.隐藏4个中面4个小面。
（一个同学讲解，另一同学配合摆牛奶盒）
4个牛奶盒会有6种不同的打包方式。
我们这样，既不会重复也不会遗漏。
大家觉得我们用的这个方法是不是很好呢？
我们用这种方法做了一个表：
物体个数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
24
打包种数
3
3
6
3
9
3
9
6
9
……
现在，我们只是研究到11，剩下的我们小组课后会继续研究完成。
生2：
通过对表的观察，我们发现一个有趣的现象：
凡是盒数是质数的包装方式都只有3种。
超过一盒的组合包装，其包装方式的种数都是3的倍数，不过我们不太敢肯定，还正在验证当中。
生3：
对于24盒的包装，我们是从整体的角度来思考的。
将目前1×3×8的包装，从中间切开，就形成了2个大的长方体，然后把一半放到另一半的上面，这样虽然切时多出了2个面，却隐藏了另外的2个更大的面，大家通过我们的对比很容易就能发现。
所以，我们认为采用我们现在包装方式会更节省。
【评析：
尽管这两个小组研究的角度不一样，但看得出学生在课下进行过深入的研究，做过反复的验证，他们投入的程度如此之高，合作的如此密切，令人赞叹。
】
学生评价：
很有创意，研究得比较深。
研究成果讲解得比较清楚，容易理解，特别是第三位同学将新组合的看成一个整体，再去比较它的大、中、小面，一看就能明白，很好！
只是你们课下还需要进一步完成你们的研究。
师评：
从你们小组的研究汇报当中，我发现了两个闪光点：
一是能从复杂的现象当中找到规律，找到了数包装种数的科学的方法，做到不重不漏，很不简单；二是你们分析现象后，敢于根据现象做出一定的设想或推理，再试图证实你们的这一猜想。
这正是科学发明创造所必备的，真了不起！
在这里，我给你们指出你们研究成果中的一个错误，奶盒的个数是8个的打包种数是10种，而不是你们找到的9种，请你们课下再验证，这样你们猜想的“打包的种数都是3的倍数”就出现了特殊，特殊现象的背后一定隐藏着特殊原因，祝愿你们能有所发现。
3、第三小组汇报
生1：
大家好，先看我们组做的一个实验。
我们小组用8个体积为1立方厘米的小正方体摆成三种不同的物体，分别是两个长方体，一个正方体。
他们的表面积分别是34平方厘米，28平方厘米，24平方厘米。
它们的体积都是8立方厘米，随形状接近正方体，它们的表面积在逐渐减少，用其它数目的做也是这样。
由此我们得出结论：
体积相同的物体，形状越接近正方体，它的表面积就越小，就越节省材料。
生2：
因此，我们想到24盒装牛奶的打包问题，我们认为它并不是最接近正方体的一种，于是我们就对其进行了测量。
厂家包装的牛奶长为33厘米，宽19.5厘米，高10.5厘米。
计算得出表面积为2389.5平方厘米。
我们小组研究的包装方法是：
摆2层，每层12盒，每层排成3×4的形式，测量后得出：
长19.5厘米，宽16.5厘米，高21.5厘米，计算出表面积是2191.5平方厘米。
相差198平方厘米。
由此可见，我们的摆法形状更接近正方体，要比厂家节省材料。
所以说厂家的打包并不是最节省材料的。
（投影显示）
（33×19.5+33×10.5+19.5×10.5）×2
=1194.75×2
=2389.5（平方厘米）
（19.5×16.5+19.5×21.5+16.5×21.5）×2
=1095.75×2
=2191.75（平方厘米）
相差：
2389.5-2191.5=198（平方厘米）
学生质疑：
我也做了测量进行了计算，不过我记得好像的要比你们的还节省。
小组解释：
那不可能，或许你记错了。
因为我们小组反复对比测量，并用计算器进行了检验，应该是对的。
……
师：
课后请你们共同进行验证，找到问题出在哪儿。
学生评价：
他们小组是通过直接测量的方法，用数据说明，简单易懂，并且算出了具体节省了多少。
师：
新的包装方式可节省198平方厘米！
再给它乘上50亿，将是多么庞大的一个数，看来我们的研究真的很有必要。
【评析：
学生的计算精准，方法明确，有理有据，说明课前学生的确做了大量的研究和繁杂的计算，课中也进行了充分的研究、讨论，这正是我们进行科学研究所需要的。
在教学过程中我们不仅要关注学生的研究成果，更要关注学生在研究过程中获得的成功、乐趣和不畏困难的精神。
】
4、第四小组汇报
生1：
大家好！
我发现前两个小组的同学都是从简单的情况开始研究的，而我们的不是，我们直接考虑了24的组成。
24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24这八个，用它们表示长宽高的个数时，就会有以下六种组合：
（1，1，24）（1，2，12）（1，3，8）（1，4，6）（2，2，6）（2，3，4）
因为牛奶盒的棱长不一样，有三种：
长、宽、高各不相同。
这样每一种组合再与长、宽、高进行搭配时，又会产生几种情况。
下面我们以（2，3，4）与（长，宽，高）的搭配为例，来做说明：
2个长的时候，会有3个宽、4个高或3个高、4个宽这两种情况；3个长的时候，会有2个宽、4个高或2个高、4个宽这两种情况；4个长的时候，会有2个宽、3个高或2个高、3个宽这两种情况。
（2，3，4）时，会有6种摆法。
其它，（1，1，24）时，会有3种摆法。
（1，2，12）时，会有3种摆法。
（1，3，8）时，会有3种摆法。
（1，4，6）时，会有3种摆法。
（2，2，6）时，会有3种摆法。
最后我们计算得出：
24盒牛奶有21种摆法。
生2：
上一个小组的同学已经说过“体积一定的前提下，越接近正方体表面积就越小”。
我们组一致认为：
（2，3，4）搭配中的2个长、3个宽、4个高，这种情况最省包装。
因为牛奶盒的长宽高相差不大，而2、3、4三个数相差也不大。
所以，最小的数乘最长的棱长，最大的数乘最短的棱长，中间的数乘中等的棱长，它们的乘积就会比较的接近，也就是最省包装的方式了。
【评析：
学生能够运用各种组合的方法，做到不遗漏，不重复，有意识、有目的地进行推理、验证，并给出严密、令人信服的解释说明。
】
学生评价：
你们研究得挺深的，不太好懂，不过大体上还算明白。
师评：
是不太好懂。
他们小组能想到搭配组合的方法很不简单，因为这是在高中才能学到的排列组合问题，他们在课下一定是进行了大量的操作和观察，才得出了这么科学的方法。
我真为你们感到骄傲！
在这里，我想给你们提出一个问题供你们思考：
2、3、4这三个数不一样，在与长、宽、高进行搭配时会有6种不同情况，那1、3、8这三个数也不相同，在与长、宽、高进行搭配时怎么只有3种不同情况呢？
而2、2、6这三个数当中有两个数一样，在与长、宽、高进行搭配时又会出现什么情况呢？
请课下接着研究思考，并及时与我交流。
【评析：
教师适时合理评价，恰切的引导，使得到表扬的同学获得了成功感，同时引出下面的内容，自然平和，水到渠成。
】
（三）教师总结，肯定成绩，提出新任务。
师总结：
同学们都带着一份较强的责任心和节能环保的意识，积极投入到我们的研究课题，值得提倡和表扬，特别是研究小组成员，其研究汇报的水平有了很大的提高，希望大家继续努力。
1、我在课下也做了一个表，希望各小组用你们的好的方法帮我查正。
奶盒个数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
打包种数
3
3
6
3
9
3
10
6
9
3
15
奶盒个数
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
打包种数
3
9
9
18
3
18
3
21
8
8
3
30
2、根据课上大家的交流讨论，课下完善各自的方案，形成研究报告，张贴到班内的学习园地。
3、以全班师生的名义，给利乐、蒙牛、伊利发一封倡议书，附上我们的研究说明，为节能、环保尽我们的一份力量！
【评析：
教师把课前自己的研究结论展示出来，说明老师也进行了深入的研究，只有如此，才能有效地辅导学生，才能对学生的研究成果了如指掌，使展示交流活动效率高，而且，老师展示自己的研究结论也能开阔学生的视野，提升研究的水平，给学生作出榜样，起着激励的作用。
】
四、课后研究及成果展示交流
各小组在课后，利用课余时间继续研究，但随着牛奶盒数量的不断增加，打包的方式也在不断增加，其难度就不断增大，以致于摆放重复多次而进行不下去，我就告诉他们，既然往后的摆法那么多，不方便每一种不重不漏地都摆出来，那我们能不能不摆？
学生说不摆又怎么能数出有多少种呢？
我说能，你前面不是摆了很多了吗，有没有什么规律。
在我的启发下，他们各自根据发现的规律完成了核实表格的任务。
第二小组的同学发现“凡是盒数是质数的包装方式都只有3种。
超过一盒的组合包装，其包装方式的种数都是3的倍数”，这在24盒之内只有一种情况是特殊的，那就是奶盒的个数是8个，其打包种数是10种，而不是9种，特殊现象的背后一定隐藏着特殊原因。
课后，我们就对这一特殊情况进行了重点研究，将每一种打包方式都实际摆出来，反复对比，找到了原因。
各研究小组根据课上大家的讨论交流，在课下完善了各自的方案，写出了很好的研究报告，张贴到班内的学习园地，我又组织了研究小组之外的同学，对他们的研究报告进行了评比，进行建议性的点评和诚恳的表扬。
其中有两篇研究报告，在全市小学生数学小课题研究成果评选中获一等奖。
研究小组成员颇为自豪，有了成就感，增强了信心，这也带动了其它同学参与的热情。
同学们还给蒙牛、伊利、利乐三家大公司写出了言词诚恳的倡议书。
尊敬的牛总：
您好。
我是日照市实验学校六年级一班的一名学生。
我知道您一定很忙，但还是迫切希望您能在百忙之中读完这封信。
最近，我们学校开展了数学小课研究活动，主要就是探索生活中的数学问题。
贵厂生产的24盒装牛奶的包装，也成了我们研究的一个小课题。
通过我们的研究发现：
贵厂的打包方法并不是最节省材料的。
通过我们的测量，贵厂目前包装牛奶的箱长为33厘米，宽19.5厘米，高10.5厘米。
计算得出表面积为2389.5平方厘米。
通过我们的简单改组，即采取分二层包装的方式，此时箱长19.5厘米，宽16.5厘米，高21.5厘米，计算出表面积是2191.5平方厘米。
相差198平方厘米！
198平方厘米，这是一箱就能节省的啊！
我们知道蒙牛集团是一家大公司，你们每年生产多少箱奶，您肯定比我们更了解，乘起来又是多么庞大的一个数字！
尊敬的牛总，地球的好多的资源正逐渐枯竭，节省资源迫在眉睫。
请采用我们的包装方案吧！
这样包装不但同样美观，同样结实，而且做到了节省！
在这里，我代表六、一班全体师生，向您提出这个建议，希望您能够采纳，为建设节约、环保型社会，做企业的好榜样！
谢谢！
祝您身体健康，祝蒙牛蒸蒸日上。
六、一班全体师生
2009年3月8日
五、教学反思
在刚刚布置给学生这一研究任务时，他们觉得受到了一定的挑战，兴趣盎然、斗志昂仰。
在研究问题的几天里，他们时常围在我身边，提出各种方案，从他们一闪一闪的眼光中，我看到了他们的智慧，也深深体味到，这种方式正在激发他们内心深处的一种东西，正是这种东西，会使他们的思维能力得到不断发展，这令我感到兴奋和欣慰，同时体会到了这一研究课题的重要和必要。
他们起初研究的并不顺利，没有找到合适的解决方案，可是，他们几个人的那种坚韧，让我为之感动，反反复复、反反复复的探究、汇报，我想那种精神不正是做研究所需要的吗？
课后，研究小组的同学根据自己的研究情况，写出了很真实的研究报告，还有好多同学们给利乐、蒙牛、伊利三家大公司，寄去了感人至深、有理有据的建议书。
同学们不但在课题研究上积极主动，而且对我更加亲近，这让我看到了更大的希望，也体现了数学小课题研究的价值所在。
【总评：
新课程改革给我们带来了什么？
通过本节课学生的表现，我们欣喜地发现，新课程所倡导的自主合作探究，大众数学，生活数学，关注过程方法，情感态度与价值观，树立大数学观，不同的人有不同的发展，在本节课中都得到了很好的体现。
纵观整堂课，有以下几点值得肯定：
1．课题选取巧妙精准，有研究价值。
牛奶盒的包装问题，是一个小小的生活现象，其中所蕴含的数学知识、数学思想竟有如此之多！
学生研究方法灵巧，研究成果丰富，其收获绝不限于课堂表现出来的这些知识。
2．课堂上充满了生动活泼、富有挑战性的研究氛围。
数学课程标准指出，学习数学的过程应该经历观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性的活动。
课堂上，学生大胆地陈述，相互质疑，敢于挑战的气氛热烈。
学生的研究成果之多，表达之精彩，思维之灵敏，逻辑之严密，超乎一般人的想象。
3．学生的创新意识强烈、思维发散、且富有个性。
例如，有的小组用了演示法，有的运用数据计算法，有的运用逻辑推理法等，无不闪耀着学生的聪明才智
4．学生的自觉交流，大胆质疑已成习惯。
课堂教学是互动进行的，学生既可以展示自己的成果，也可以对别人的方案提出质疑，小组间展开争论。
学生在展示自己的方案后，也在找对方的缺陷，而且振振有词，有理有据。
这一过程不但发展了学生的思维能力，而且也培养了学生语言表达能力和良好的数学思维习惯。
5．密切了数学与生活的联系。
数学从生活中来，又回到生活中去。
对“牛奶盒的包装”问题研究之后，教师要求每个小组都写出研究报告，递给厂商并与之商讨，既让学生品味到研究的快乐，又体验到数学学习的价值。
6．数学建模效果好，数学思想得到有效渗透。
学生能从具体的“牛奶盒”问题抽象转化为长方体的表面积问题，完成数学模型的建立。
有的学生用小正方体的摆放来研究包装问题，渗透了数学的转化思想；有的小组根据周长一定，正方形面积最大的经验，想到容积一定，正方体表面积可能最小，运用迁移思想等。
这些都有利于发展学生的数学思维能力，不断提升数学素养。
】
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