02人教版数学教案 轴对称.docx

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02人教版数学教案轴对称

第十二章　轴对称

12．1轴对称

（1）

（一）轴对称图形

1．概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

2．应用：

判断下面的图形是不是轴对称图形?

并简要说明理由．

注：

注意：

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．．

（二）轴对称

1．概念：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

2．练习：

如图1，△ABC与△AED关于直线1对称，若AB=2cm，∠C=95°，则AE=__2cm__，∠D=_95__度．

（三）辨析概念

轴对称图形

轴对称

区别

一个图形

两个图形

联系

1．沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够互相重合（即直线两旁的两部分全等）

2．都有对称轴（至少一条）

3．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；

如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形

（四）实践

1．下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?

奔驰　　　　　宝马　　　　　　大众　　　　　　　奥迪

2．下图中的两个图形是否成轴对称?

如果是，请找出它的对称轴．

3．请在下图这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。

注：

这是从数字1到7组成的轴对称图形．

（五）作业

（1）下列图形是不是轴对称图形?

如果是，请找出它的对称轴．

（2）按如下方法操作，剪一个轴对称图形：

12.1轴对称

（2）

一．问题

1．图1中的图形是轴对称图形吗?

如果是，请说出它的对称轴．

2．如果图2中两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?

（如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称）

3．如图2，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系?

二．探究

1．线段AA'与直线MN有怎样的位置关系?

你能说明理由吗?

（AP=PA'，∠MPA=∠MPA'=90°）

类似地，点B与点B'，点C与点C'是否也有同样的关系?

你能用语言归纳上述发现的规律吗?

（对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段）

2．概念：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

3．图形轴对称的性质：

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

4．归纳：

（1）直线AH是线段BC的垂直平分线，判断AB、AC的大小关系。

（2）AB=AC，BH=CH，判断直线AH、BC的位置关系。

归纳：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

三．作业：

（1）图3是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么?

（2）如图4，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长．

（3）有A、B、C三个村庄（如图5），现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．

12.1轴对称（3）

一．问题：

如何画一条线段的垂直平分线呢?

例1已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．

二．步骤：

（1）分析：

根据线段垂直平分线的性质，只要找到与A，B两点的距离相等的两个点即可．

（2）作图提示：

分别以A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径画弧。

两弧相交于点C、D。

直线CD即为线段AB的垂直平分线。

（3）反思：

①在上述作法中，为什么有CA=CB，DA=DB?

②如图2，直线CD与AB的交点就是线段AB的中点，因此用这种方法可以作出线段的中点；

③你还有其他的方法画一条线段的垂直平分线吗?

三．举例

如图3，△ABC和△A'B'C'是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．

处理方法：

只要画出点A，A'的对称轴即可．

四．讨论上述提到的是两个成轴对称的图形，如果是一个轴对称图形，你怎样画出它的对称轴?

如图4所示的正五角星有几条对称轴?

作业

1．在等腰三角形、等腰梯形、线段、平行四边形等图形中，轴对称图形的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．图5是不是轴对称图形?

如果是，请画出它的对称轴．

12.2.1作轴对称图形

（1）

一．复习

由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；

新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点；

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

二．举例

已知△ABC，过点A作直线l．

求作：

△A′B′C′使它与△ABC关于l对称．

提示：

（1）作点C关于直线l的对称点C′；

（2）作点B关于直线l的对称点B′；

（3）点A在l上，故点A的对称点A′与A重合；

（4）连接A′B′、B′C′、C′A′．

则△A′B′C′就是所求作的三角形．

三．．练习

1：

把下列图形补成关于直线l对称的图形．

2：

如图，左边的树经过几次轴对称变换，可以变成右边的树?

你能设计一种变换方案吗?

四．归纳小结

画一个图形经轴对称变换后的图形，关键是找到图形上的一些特殊点，作出这些点的对称点．

五．作业

（1）分别以直线l为对称轴，将数字作轴对称变换，作出变换后所得的图形．

（2）已知直线l和图形X（如图），将图形X以直线l为对称轴作轴对称变换后得到的图形是第个。

（3）利用轴对称变换画出花瓶图的另一半．

12.2.1轴对称变换

（2）

一．问题：

1．把下列图形补成关于直线l对称的图形．

2．如下图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气（A、B两镇在燃气管道l两旁），泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?

3．如果A、B两镇在燃气管道l的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短?

（如上图）

总结：

这个问题实际上是通过轴对称变换，把A、B在直线l同侧的问题转化为在直线l两侧的问题，即利用“两点之间线段最短”加以解决．

二．应用

八年级

（1）班同学做游戏，在活动区域边放了一些球（如下图），则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?

三．作业

如上图，直线l表示草原上的一条河．一少年以A处出发，让他的马去河边饮水，然后返回位于B处的家中．问这位少年按怎样的路线使总路程最短?

请作出这条路线．

12.2.2用坐标表示轴对称

一．练习

（1）在直角坐标系中画出下列已知点．

A（2,-3）；B（-1，2）；C（-6，-5）；D（3，5）；E（4，0）；F（0，-3）．

（2）画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点．并填写表格．

（3）请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?

已知点

A（2，-3）

B（-1,2）

C（-6,-5）

D（3,5）

E（4,0）

F（0,-3）

关于x轴的对称点

关于y轴的对称点

二．总结：

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

三．巩固

1．说出下列各点关于X轴、y轴对称的点的坐标：

（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）

2．如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1）、B（-2，1）、C（-2，5）、D（-5，4），分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形．

四．探究

1．分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=-1（记为n）对称的图形．

2．你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?

3．如果作关于直线x=3（记为m）和直线y=-4（记为n）对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?

（对称轴是坐标轴，变成了直线x=3和y=-4，）

规律：

点（x，y）关于直线x=m对称点的坐标是（2m-x，y），即若两点（x1，y1）、（x2，y2）关于直线x=m对称，则m=

，y1=y2．

点（x，y）关于直线y=n对称点的坐标是（x,2n-y），即若两点（x1，y1）、（x2，y2）关于直线y=n对称，则x1=x2，n=

五．练习：

如下图.1．请你画出下图关于y轴对称的图形，猜猜是什么图案?

并说出一些对应点的坐标．

2．再画出此图案关于直线x=-2对称的图形．说出各点的坐标．

注：

画出图案后是一只漂亮的蝴蝶．

六．作业:

（1）点（1，0），（2，-3），（-1，2）关于x轴对称的点的坐标是__，__，__．点（0，-3），（-2，3），（1，-2）关于y轴对称的点的坐标是__，____.

（2）已知长方形ABCD关于y轴对称，平行于y轴的边AB长是6，点A的坐标是（-2，-1），请你写出B、C、D三点的坐标．

（3）如上图，已知点的坐标A（2，2），B（1，1），C（3，-1.5），D（3，2）．请写出A、B两点关于CD对称的点E、F的坐标，并在图中画出这两点．

（4）在坐标系中描出点A（-1，3），B（5，-4），c（-3，-1），D（-1，1），E（-3，5），F（5，8），连接AB，BC，AC，DE，EF，DF，请你判断所得的图形是轴对称图形吗?

如果不是，请说明理由，如果是，请说出对称轴．

12.3.1等腰三角形

（1）

一．复习

1．等腰三角形的“腰”“底边”“顶角”“底角”等概念．

2．等腰三角形△ABC是轴对称图形吗?

它的对称轴是什么?

二．猜想等腰三角形ABC有哪些性质?

①∠B＝∠C→两个底角相等

②BD=CD→AD为底边BC上的中线

③∠BAD＝∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线

④∠ADB＝∠ADC＝90°→AD为底边BC上的高

性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（可简记为“三线合一”）

三．推理

1．证明等腰三角形底角的性质．

已知：

如图1，在△ABC中，AB＝AC．

求证：

∠B＝∠C．

强调：

（1）利用三角形全等来证明两角相等．

为证∠B＝∠C，需证明以∠B，∠C为内角的两个三角形全等，需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形．

（2）添加辅助线的方法可以多样．

例如，常见的作顶角∠BAC的平分线，或作底边BC上的中线或作底边BC上的高等．（选择一种辅助线完成证明过程）

2．证明等腰三角形的“三线合一”性质．

（用多种方法证明）

四．练习题

1．

（1）已知等腰三角形的一个底角是70°，则其余两角为_______________.

（2）已知等腰三角形一个角是70°，则其余两角为_______________.

（3）已知等腰三角形一个角是110°，则其余两角为_______________.

2．（如图1）

（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴_______________，_______________.

（2）∵AB=AC,BD=DC，∴_______________，_______________.

（3）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______________，_______________.

3．如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．

（1）图中共有几个等腰三角形?

分别写出它们的顶角与底角．

（2）你能求出各角的度数吗?

分析：

已知中没有给出角度，需利用三角形内角和为180°的条件来求具体度数，但由于未知数过多，需根据已知各边的关系寻找出△ABC的各角关系，由图中的三个等腰三角形的底角及外角性质，可设∠A=x°，列方程解决．

议一议

等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?

为什么？

五．作业

（1）已知等腰三角形的顶角是n°，则底角为_________.

（2）已知等腰三角形的顶角比一个底角多15°，则底角为_______.

（3）已知：

如图，房屋顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC．

求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．

12.3.1等腰三角形

（2）

一．问题

在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?

二．证明

已知：

如图在△ABC中，∠B=∠C．求证：

AB=AC

1．分析：

类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AB，AC为边的两个三角形，并证明它们全等．

此时辅助线可作AD⊥BC于D；或AD平分∠BAC交BC于D；但不能作BC边上的中线．

三．归纳

等腰三角形的判定定理．

1如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

简写成“等角对等边”．

②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．

提示：

不要说成：

“如果一个三角形有两个底角相等，那么它是等腰三角形．”

四．举例

求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

已知：

求证：

证明：

五．作业

1．先考虑以下三个结论，然后归纳你发现的结论．〖结论为：

OD平分∠AOB，EO=ED，ED∥OB．三者中已知任意两个就可推出第三个．〗

（1）已知：

OD平分∠AOB，EO=ED．求证：

ED∥OB．

（2）已知：

OD平分∠AOB，ED∥OB．求证：

EO=ED．

（3）已知：

ED∥OB，EO=ED．求证：

OD平分∠AOB．

2．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D．过点D作EF∥BC交AB于点E、交AC于点F．

求证：

EF＝BE+CF．

3．两个三角形，它们的内角分别为：

（1）20°，40°，120°；

（2）20°，60°，100。

怎样把每个三角形分

成两个等腰三角形?

画出图形试试看．

12.3.2等边三角形

（1）

一．问题

在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的等腰三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．

如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论?

类似地，你又能得到哪些等边三角形的判定方法?

二．归纳

1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

2．等边三角形每一个角相等，都等于60°．

3．三个角都相等的三角形是等边三角形．

4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．

三．练习

1．已知：

如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小．

（提示：

由已知显然可知△APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°）

2．已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?

3．备选题：

（1）已知：

如图等边△ABC，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．

求证：

△DEF是等边三角形．

（2）已知：

如图等边△ABC，D是AC的中点，且CE=CD，DF⊥BE．

求证：

BF=EF．

（3）已知如图△ABC和△DCE都为等边三角形，AE交CD于点N，BD交AC于点M．

①试找出图中相等的线段、相等的角．（相等的线段有：

AB=AC=BC，DC=DE=CE，AE=BD,CM=CN；图中有许多60°的角．）

②连结MN，图中还有等边三角形吗?

（△CMN为等边三角形．）

12.3.2等边三角形

（2）

一．问题

将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出Rt△ABC的直角边BD与斜边AB之间的数量关系吗?

分析：

由题意可判别△ABC是等边三角形，且AD为边BC上的高，可得BD=CD=

AB．

二．归纳

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

三．填空

1．如图1，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，则∠BAD=__°，BD=__BC=__AB．

2．如图2，△ABC中，若AC⊥BC，∠A=30°，则∠B=__°，延长BC到D使BD=AB，连结AD，则△ABD是__三角形，BC=

____=

____．

注意：

其逆命题也成立，即：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．

四．练习

1．如上图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=4．

则BC=____∠BCD=_____BD=____．

2．小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200m，求山的高度．

五．应用

1．如图3，AC⊥BC，∠ABC=30°，AB=4cm．

（1）求AC的长．

（2）如图4，若D是AB的中点，DE⊥BC，求DE的长．

（3）如图5，D是AB的中点，连结DC，求DC的长．

2．如图6是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长?

解：

∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，

∴BC=

AB,DE=

AD．

BC=

×7.4=3.7（m）．

又∵点D是AB的中点，

所以DE=

AD=

×3.7=1.85（m）．

答：

立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．

六．作业

（1）如图，已知Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求证：

AD=2DC

（提示：

应用含30°锐角的直角三角形的性质求得CD=

BD,再应用等腰三角形的判定定理求得AD=BD）

（2）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm．求BC的长．

（提示：

应用含30°锐角直角三角形的性质以及等腰三角形的性质定理、判定定理求得BC的长为6cm.）