师:
好了,我再问问,刚才有没有人剪的是短的那根小棒?
请举手。
师:
没有啊!
你们为什么不剪短的呢?
我剪短的,行吗?
你们猜测一下,能围成吗?
师:
谁认为能?
谁认为不能?
(学生举手。
)
作品2
师:
咱们一起剪,(请一个学生动手剪短的那根,然后拼。
)
师:
举起来给大家看看,围成了吗?
板书:
展示XXX同学的作品。
如果有人剪短的:
师:
那你围成三角形了吗?
生:
没有。
师:
为什么围不成呢?
生:
够不着。
生:
差一截。
生:
上面的两条边太短了。
生:
两边的和没大于第三边。
师:
你说的真好。
还有谁听懂他说的了?
他什么意思?
生:
三角形两边的和大于第三边,这两边的和小于第三边,所以不能围成三角形。
师:
同意吗?
生:
同意。
3.探讨两根小棒一样长(a+b=c)
师:
哎,好像刚才还有同学说自己拿到的是一样长的两根小棒。
谁来说说你围成三角形了吗?
生:
没有。
作品3
板书:
展示XXX同学的作品。
师:
有不同意见吗?
生:
我们围起来了。
生:
不可能,我们怎么围都围不了。
生:
作品3围不起来,是因为上面两条短的边加起来和下面的边一样长。
师:
你的意思是,两边的和等于第三边,是这样吗?
师:
看来,当两边的和等于第三边的时候能不能围成三角形呢?
生:
不能。
因为三角形的两边的和大于第三边的时候,才能围成三角形。
4.完善结论(探讨“任意”)
师:
那是只要两边的和大于第三边,就一定能围成一个三角形吗?
生:
是。
生:
不是。
板书:
学生魔术作品中三根小棒的长度。
师:
你们看这是三条边的长度:
4cm20cm6cm。
4+20>6、20+6>4,两边的和大于第三边了呀,怎么围不成三角形呢?
板书:
4+20>620+6>4
生:
因为4+6〈20,所以这三条边围不成三角形。
板书:
4+6〈20
师:
那刚才这句话应该怎么完善呢?
生:
较短两边的和大于第三边。
生:
任意两边的和大于第三边。
板书:
任意
师:
什么叫“任意”?
生:
就是随便哪两条边的和都要大于第三边。
师:
只有两组大于,行吗?
生:
不行。
师:
必须怎么样?
生:
必须是每两条边的和大于第三边。
师:
是这样的吗?
生:
是。
5.优化判断方法(总结出“最短”)
师:
好,我们接着看10cm、15cm、20cm这一组(魔术作品),是不是任意两边的和都大于第三边?
谁能用算式表示出来。
师:
先说,一个三角形中有几组两边的和?
生:
三组。
师:
好,谁来列式?
生:
10+15>20
10+20>15
15+20>10
师:
后面这两个算式能否省略?
(学生犹豫了一会儿后,不少学生肯定地说:
“能!
”)
师:
为什么?
生:
较小的两个数的和大于最大的数,那最大的一个数与其中一个较小数的和,一定比另一个较小数大。
生:
最短的两条边的和都大于第三边了,其他比较长的两边的和肯定大于第三边。
(板书:
最短)
师:
他说得多好啊!
为他鼓掌。
【设计意图】在教学展开时,教师引领学生不断思考与反思,直击教学重点的核心问题,提高教学实效性。
本环节中,教师在教学的关键处围绕“核心知识”精心设疑,使学生的数学思考沿着教学目标不断深入。
在问题提出之前,教师已经让学生充分操作、观察、比较,为思考这些问题提供了强有力的体验作为支撑,问题处在学生思维的最近发展区,这样的数学思考既富有实效性又充满挑战性。
抽象、概括、严密是数学的本质特征。
教师精心设计、引发学生抓住问题本质。
从繁到简,高度抽象。
学生经历不断抽象的数学化过程,实际上已经完成了数学建模的基本过程,“任意两边的和大于第三边”这一数学模型的建构水到渠成。
再次优化,实际上也是引导学生打破刚才构建的数学模型,抓住问题的本质属性,留下两条短边和最长第三边比较,形成一个最优化的数学模型结构——“两条短边的和大于第三边”。
四、验证结论
师:
黑板上的这两个三角形任意两边的和大于第三边,别的三角形也这样吗?
生:
是。
师:
那么肯定?
别太早下结论。
我们想个办法验证一下,行吗?
师:
现在请刚才围成三角形的同学,量一量三条边的长度,没有围成三角形的同学,在白报本上先任意画一个三角形,再量出三条边的长度,注意要把长度标出来。
然后列个式子验证一下我们得到的结论。
学生活动。
请学生在展台下汇报自己的验证结果。
汇报时说请:
①我画的三角形三条边的长度分别是多少?
②通过哪个算式可以验证结果。
师:
哎,同学们。
在验证中,我们发现这几位同学围成的或画的三角形任意两边的和大于第三边,你们的三角形也具有这样的性质吗?
生:
是的。
师:
那么,能不能说明所有的三角形都有这样的性质呢?
板书:
三角形
生:
能。
师:
现在,老师要请你们理一理思路:
三根小棒在什么情况下才能首尾相连围成三角形?
板书:
围成
生:
第三条边长度一定要小于另外两条边的和。
生:
最短的两条边加起来要比另一条边长。
生:
两条边加起来的和要大于第三边。
师:
大家说得都很好!
那如果把围不成的这些情况分为两类,可以怎么分?
板书:
围不成
生:
一类是两边的和比第三边短,另一类是两边的和与第三边一样长。
师:
大家总结得真到位!
【设计意图】教师引导学生经历从特殊到一般的数学思考过程,让学生在猜想、发现、归纳、验证、寻找反例、分类讨论等数学活动中思考、辨析、释疑、概括、推理,有效地渗透了特殊与一般的数学思想,为学生构建了一种结构严谨、逻辑严密的数学思维模式。
在最后梳理思路的环节,引导学生将实验的结果按“能围成”和“不能围成”分成两类,渗透了分类思想。
接着,引导学生从问题的反面思考,先弄清楚“什么情况下,3根小棒围不成三角形”,再推想得出:
任意两边的和大于第三边,就一定能围成三角形。
其中,方法的优化也随时有效地渗透在教学环节中。
五、巩固应用,拓展提升
1.抢答并说理
师:
请同学们独立完成书本P66第7题(如下图)。
(学生独立判断,完成后同桌之间交流,说说是怎么判断的。
)
师:
核对一下四题的答案。
师:
第一题你是怎么判断的?
生:
3加4等于7,大于5,所以这三条线段能围成三角形。
师:
只要加一次就可以了吗?
生:
只要最短的两边的和大于第三条边就行了。
师:
说得好!
我们就用这样的方法来判断其余三组线段是否能围成三角形。
生:
第二组,3+3=6>3,能围成三角形;
第三组,2+2=4<6,不能围成三角形;
第四组,3+3=6>5,可以围成三角形。
2.学以致用
师:
刚才说2、2、6,这三根小棒不能围成三角形,如果让你换掉一根小棒,使其围成三角形,你会换掉()cm,换成()cm。
(只考虑整厘米数。
)
生:
把6cm的线段缩短到3cm。
师:
请用一个式子说明它能围成三角形。
生:
2+2=4>3,所以能围成三角形。
师:
很好!
还能怎样做?
生:
还可以改变2cm的线段,变成5cm。
师:
这样可以吗?
怎么判断?
生:
2+5=7>6,所以能围成三角形。
师:
同意吗?
生:
同意。
师:
可以是4cm吗?
为什么?
生:
不能。
因为2+4=6。
两边的和并没有大于第三边,是围不成三角形的。
师:
如果让第三边变成4cm,会怎样?
生:
成一条直线。
师:
这个时候,只要这两条短边中任意一条的长度变(长),就能围成三角形,你觉得要变长多少才能围成三角形?
生:
一点点。
生:
一微米。
生:
0.00001毫米。
(操作课件:
两条短边中任意一条边多一点点就能围成一个很“扁”的三角形。
)
师:
变得更长一点能围成三角形吗?
生:
当然更能围成三角形。
师:
那能无限地长吗?
生:
可以。
生:
不能无限地长。
例如:
2cm长的线段变成10cm,2+6=8<10,就不能围成三角形。
师:
那你能不能想象2cm、6cm能与多长的小棒围成三角形?
(教师利用几何画板软件制作了一个可以拉动的三角形,其中两条边的长度是2cm、6cm,第三边可以随着顶点的拉动不断变化它的长度,让学生感受极限思想。
)
学生讨论,交流。
得出结论:
大于4cm且小于8cm。
师:
你们真的是太棒了!
老师为你们自豪。
【设计意图】教师通过直观操作让学生感悟数学的极限思想,让学生明白第三边的取值范围是在4厘米与8厘米之间,同时可以无限地接近4厘米与8厘米,但就是不能变成4厘米与8厘米,其实在这里教师已经很形象地在告诉学生量变将引起质变。
当第三边变成4厘米与8厘米时,三角形便不复存在,它将成一条直线。
这种充满理性思考的数学课堂才是真正扎实有效的数学课堂。
3.两难的选择
师:
小明要去学校,怎样走更近些,是走红色的路近呢?
还是走蓝色的路更近些?
请你用今天学过的知识来解释。
生:
走红色的路更近些,因为走蓝色的路相当于走了三角形的两条边,走红色的路相当于走三角形的第三条边,两边之和大于第三边。
师:
三角形?
在哪儿呢?
学生上来指。
(出示一块三角形地)
师:
刚才那个同学说的什么意思?
谁再来说说。
(接着,课件显示三角形地是草坪。
)
师:
还走这条路吗?
生:
不能走红色的路,因为走草地会绊倒。
生:
不能走红色的路,因为踩踏草地不好,小草也是有生命的。
师:
同学们不仅数学学得好,还这么有爱心,老师真佩服你们。
(课件出现草坪的一角,草坪上被隐隐约约踩出一条小路)
师:
现在你知道,为什么人们有路不走,而去踩踏草坪了吗?
生:
因为那样走近些,相当于走三角形的一条边,抄近路。
师:
假如我就是那个喜欢抄近路的阿姨,正好被你们碰见,你们是跟着我学,一起随我抄近路,还是劝阻我不要抄近路?
(学生上台表演劝阻。
)
【设计意图】教师引导学生先思考在三角形中如何走最近路,再思考如果是一块草地又该如何走,引导学生在灵活运用数学知识解决生活中实际问题的同时,还应当有一份社会责任,有一份人文情怀,彰显数学的大教育观。
体验是学生数学学习的前提,是学生数学学习的本质特征与要求。
可以说,没有体验就没有真正意义上的学习。
本课最为可贵的是教师不急不躁,慢慢地跟随学生学习的脚步,让学生经历了极其充分的探索过程,在这一过程中引领学生在充满数学意义的活动中参与、经历、思考、反思、发展。
在活动中,学生的数学体验更深刻了,同时也加深了学生对数学事实与经验的理性认知。
六、联系与拓展
师:
如果我们有机会再来剪一次小棒围三角形。
这一次老师只给你一根小棒。
第一刀你一定不剪在哪里?
为什么?
生:
一定不剪在中间,剪在中间的话,两边之和就等于第三边了。
师:
会出现黑板上的哪个作品的现象?
生:
会出现作品3那种情况。
师:
听你的,第一刀不剪在中间,那应该剪在哪里呢?
生:
可以是三分之一处。
生:
只要不是中间就行。
师:
也就是说,剪完后把它分成了怎样的两段?
生:
分成一长一短的两段。
师:
谁知道这两段分别表示什么?
生:
长的那段表示的是三角形中两边的和,短的那段表示的是第三条边。
师:
那第二刀能随便剪吗?
生:
不能。
师:
第二刀怎么剪,会出现作品2的情况?
生:
第二刀剪在短的那一段中,就会出现这种情况。
师:
那怎样剪就一定能围成三角形呢?
师:
是只要剪在长的那一段中就一定能围成三角形吗?
生:
不一定。
生:
剪在这两个点中间的任何一个位置都可以。
(上台比划。
)
师:
真的有点说不清了!
不过老师告诉你,三角形两边有和就必定有差。
三角形两边的差和第三边又有什么样的关系呢?
等你搞清楚这个,老师相信你一定能剪出一个充满数学味的三角形。
【设计意图】教师用心设计这道拓展性问题。
一方面,帮助学生巩固三角形三边的关系;另一方面,又可以拓展学生的思维。
整个教学没有脱离实践,而是在“实践——思考——再实践——再思考”的过程中进行的。
七、课终回顾、全课小结
师:
同学们,通过我们今天的学习,你有什么收获?
(大家说得可真好!
)
【设计意图】通过梳理总结,不仅可以培养学生的概括总结能力,还可以提高学生的语言表达能力,让学生更加系统的掌握新知识。
此外,还可以让学生有机会与同学交流本节课的收获,给学生提供了展示自我的机会,有利于增强学生的自信心。
板书设计:
三角形的三边关系
4+20〉6
20+6〉4
4+6<20
观察
疑问
猜测
验证
结论
应用
围成:
作品1
围不成:
作品2作品3
三角形任意两边的和大于第三边。
(最短)
【设计意图】板书是课堂教学的重要手段,通过板书可以突出教学的重难点,为学生掌握知识和记忆知识打下坚实的基础。
因此,我在设计板书时力求做到两点:
(1)图文并茂,条理清楚,层次明确。
(2)突出重点,与课堂教学的小结相呼应。
作业设计
1.建造房子用的“人字梁”主要由三根木头组成,现在已经有了两根分别是5米的木料,下面木料中,哪几根木料能与这两根木料组成“人字梁”。
为什么?
①12米②9米③7米④5米
建造的房子要宽一些,选用哪一根木料?
建造的房子要高一些,选用哪一根木料?
2.三角形的一条边长12分米,其余两条边的和是14分米,这两条边的长度可以分别是多少分米?
【设计意图】作业题比起课堂练习题,思维就开放多了,要从不同的角度去思考。
第二题,学生可能有只在整数范围内考虑,得出共有6种。
引导学生如果小数也可以的话,可以有无数种。
这样的设计层发散拓宽了学生的思维,既巩固了基础知识,又培养了思维的灵活性和深刻性,同时也有机地渗透了无限逼近的数学思想。