全国III卷理科数学高考试题及解析.docx
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全国III卷理科数学高考试题及解析
2020年全国高考统一考试（田卷）
理科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x,yx,yN,yx,B=x,yxy8,则A。
B中元素个数
为（）
A.2B.3C.4D.6
解析：
A、B集合都是点集，这个要看清楚
A为正整数，且y大于等于x,B集合为x与y之和等于8,要同时满足A与B的条件，可以用列举法把A点列出来，A的集合有：
（1,7）（2,6）（3,5）（4,4）四个
点评：
要看懂集合的含义，用列举法就可以解决此题
一，1一一、一
2.复数的虚部是（
13i
解析：
对复数进行化简，复数的分母中不能出现虚数
11（13i）13i13.
——i
13i（13i）（13i）101010所以虚部分3/10,正确答案为D
点评：
复数在高考中都是以简单题出现，考试的时候一定要拿准这个分，而且要计算快。
4
3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为R,P2,P3,P4,且Pi1,
i1
则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A.P1P40.1,P2P30.4
B.RP404P2P30.1
C.RP40.2,P2P30.3
D.rP40.3,P2P30.2
解析：
计算选项中样本的方差，发现都是2.5,所以1和4离方差2.5的距离最
大，所以它对应概率大时它的标准差也大，即B项满足要求。
点评：
这道题不难，但比较新颖。
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数It（t的单位：
大）的Logistic
K
模型：
It023t53，其中K为的最大确诊病例数.当It0.95K时，标志
0.23t531e
着已初步遏制疫情，则t约为（）（ln193）
A.60B.63C.66D.69
解析：
代入解方程即可以
I（t）1eK23（t53）0.95K
1/0.23（t53）1
1e
0.9519
两边同取以19为底的对数
ln190.23（t53）
解得t=66点评：
本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程。
5.设O为坐标原点，直线x2与抛物线C:
y22px（p0）交于D,E两点，若
ODOE,则C的焦点坐标为（）
A.（1,0）B.（1,0）C.（1,0）D.（2,0）
42
解析:
草图如上图所示，由于ODOE,抛物线上下对称，则＜DOM45度，ODM等
腰直角三角形，所以AD=OA=2则D点的坐标为（2,2）
所以抛物线的方程为y22x,p=i
焦点为（p/2,0），也即（1/2,0）
所以B项为正确选项。
点评：
本题重点是掌握平面几何图形关系，找到AD=OA=2^个数量关系，求出抛物线的方程，就可以求出焦点。
6,贝^cos（a,ab）
6.已知向量a,b满足a5,b6,ab
A.
B.
C.
D.
31
35
19
35
17
35
19
35
解析：
这个是向量夹角的余弦值的计算
正确答案为D
的计算，平时练习中这种题也经常出现，不算难题。
D.
解析：
由余弦定理可以求出AB的长度
再由余弦定理
8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（
A.6+4,2
解析:
根据几何体的三视图规则“长对正、高平齐、宽相等”的原则，可以得
出这三个三角形的直角边长都为
2,再根据它们图的关系可以画出它的立体
图，其实是一个“墙角模型”，
同学们自己想想就可以。
和。
点相连的三个直角面积S1侧面ABC是边长不272的正三角形,
S2122-22sin604-323
22所以总面积为SS1S262向，正确答案为C点评：
本题要求从三视图还原成原来的立体几何图，把它想成“墙角模型”更好理解，求表面积即四个面面积之和。
9.已知2tantan
（一）7,贝Utan
4
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析：
设ttan,则可原方程可以化简为2tLj7,t不能等于1.1t
解到这里，不建议大家花大量时间解这个方程，而是代选项中的答案，这样更快
点。
当t=2时符合题目的要求。
点评：
本题是考查正切合角公式，熟记这个公式，这道题就很容易解决。
10.若直线l与曲线yTX和圆x2y21都相切，则l的方程为（
5
A.y2x1
1
B.y2x-
2
-1
C.yx1
2
11
D.yx22
解析：
本题直接求解比较麻烦，由于是选择题，可以从选项入手直线l和圆相切，则圆心（0,0）到直线的距离等于圆的半径—,分别代入
5
1_
B项：
d左需'不满足要求’可以排除
c项：
d与晅,不满足要求，可以排除
55
D项：
d-j=爽',初步满足条件.55
再判断与曲线的相切关系，假设A正确，则切线的斜率为2
y'2,贝Ux=1/16
2x
则直线与曲线的切点为（1/16,1/4）
切线方程为y-1/4=2（x-1/16）,
化简得：
y=2x+1/8,也即A项是错误的。
假设D项正确，则切线的斜率为1/2,此时x=1
则直线与曲线的切点为（1,1）,则直线的方程y1x-
22,D项为正确选项
点评：
本题从两个方面考查切线，一是导数求切线，另外一个是圆的切线，即点
到直线的距离等于半径，要求同学对这两个知识点比较熟练才能解答好此题。
2x
11.设双曲线C：
3a
2
誉1（a0,b0）的左、右焦点分别为F1，F2,离心率为
册.P是C上一点，且F1PF2P.若^PF1F2的面积为4,则a=（
A.1B.2C.4
解析：
双曲线的示意图，由离心率ecV5a
可得c25a2
设PF2=x,由双曲线的定义可知PF1=x+2a,F1F2=2c直角△PF1F2的面积为4,则x（x2a）x22ax8由勾股定理，x2（x2a）22x24ax4a24c2所以4a2C5a2,解得a=1
即A为正确答案。
点评：
本题要掌握双曲线的定义，离心率的含义，直角三角形的相关知识，是一道比较综合的题目。
12.已知5584,13485,设alog53,b=log85,clog138,贝^（）
A.abcB.bacC.bcaD.cab
解析：
-5454,
58两边同取以8为底的对数510g8510g8510g884
4
所以b1og85
5
13485两边同取以13为底的对数41ogi3l341ogi385510g138
4
所以c1og138
5
即c>b
22
a比iog531og5810g5310g58log24log^1
b1og85222
即a所以c>b>a,即A为正确答案
点评：
本题要熟练对数的运算，换底公式，不等式等应用，是一道综合性比较强的题目。
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
xy0
13.若x,y满足约束条件2xy0,则z=3x+2y的最大值为.
x1
解析：
满足约束条件的范围如图
约束条件为封闭图形，把交点代进去即可，从图中可以看出P（1,2）代入目标
函数时，它的值最大，最大为7.
14.（x22）6的展开式中常数项是（用数字作答）.x
解析：
按二项式定理，写出它的通项公式
_入厂2r1.6r6rr2rr66rr3r6
Tr1C6x（2x）2C6x2C6x
要使它为常数项，也即x的指数为0,此时r=2.
__4_2___
T32c6=8=16X15=40
当然比较熟练的同学，也可以立马写出，前面的是2次，后面的4次，就可以抵
消到x的方次。
C2（x2）2
（2）4,所以常数项就是24C：
1615240x
点评：
考查二项式定理，属于常规题，考生应该把它拿下。
15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为
解析：
画个草图，从中间把圆锥剖开，可以看清楚它们之间的数量关系，设内接
球的半径为R,由三角形ABCM以求得圆锥的高AB..9"!
2、,2
由比例关系可得
通过可式可以解得R—
2
内接球的体积：
V3R34-22—2
3323
点评：
画出草图，把数量关系列出来是解本题的关键。
1
16.关于函数f（x）sinx有如下四个命题:
sinx
①f（x）的图像关于y轴对称.
②f（x）的图像关于原点对称.
③f（x）的图像关于直线x—对称.2
④f（x）的最小值为2.
其中所有真命题的序号是.
解析：
sinx为奇函数，1/sinx为奇函数，所以f（x）也为奇函数，因而关于原点对称，第一项错误，第二项正确。
f（x-）f（x-）,也即关于直线x,对称
综合上面分析，本题正确答案为第二项和第三项点评：
本题是考查三角函数的奇偶数，函数的最值，函数的对称性，对于此题不
要想着去画图，是画不出来的，而用f（x-）f（x―）来验证则比较好。
22
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