垂直平分线专项练习30题有答案ok.docx

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垂直平分线专项练习30题有答案ok

垂直平分线专项练习30题（有答案）

1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．

2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：

BN=CM．

3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．

（1）求证：

AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：

BC垂直且平分DE．

6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．

求证：

∠BAF=∠ACF．

7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．

（1）求证：

PA=PB=PC；

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？

由此你还能得出什么结论？

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．

9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：

∠CAF=∠B．

10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：

（1）∠EAD=∠EDA；

（2）DF∥AC；

（3）∠EAC=∠B．

11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．

12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．

13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．

14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．

15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？

说明理由．

16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18即BE+CE+BC=18，求BC的长？

17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．

（1）求∠PAQ的度数；

（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．

①若∠BAC=130°，则∠PAQ=　_________　°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为　_________　；

②当∠BAC=　_________　°时，能使得PA⊥AQ；

③若BC=10cm，则△PAQ的周长为　_________　cm．

18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC的长度．

19．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．

（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；

（2）若BC=21，求△DBC的周长．

20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．

（1）求BC的长；

（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．

21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：

AD垂直平分EF．

22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．

求证：

∠FAC=∠B．

23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．

（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？

（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？

24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

求证：

（1）∠ABD=∠ACD；

（2）DE=DF．

25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．

求证：

AD垂直平分EF．

26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN

试证明：

点D在∠BAC的平分线上．

27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．

28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：

BE=CF．

29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：

AN=BM．

30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．

（1）求证：

BE=CF；

（2）求AE的长．

参考答案：

1．解：

∠C=90°．

证明：

如图，连接AE，

在Rt△AED和Rt△BED中，

，

∴△AED≌△BED（HL），

∴∠DAE=∠B，

又∵∠BAC=2∠B，

∴∠DAE=∠CAE，

在△AED和△BED中，

，

∴△ACE≌△ADE，

∴∠C=∠ADE=90°．

2．证明：

连接PB，PC，

∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，

∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，

∵P在BC的垂直平分线上，

∴PC=PB，

在Rt△PMC和Rt△PNB中

，

∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），

∴BN=CM．

3．

（1）证明：

如图，连接BD，

∵DH垂直平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴DE=DF，

∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，

∴AD平分∠BAC；

（2）解：

∵Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴∠CDE=∠BDF，

∴∠BDC=∠EDF，

∵∠BAC=80°，

∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，

∴∠BDC=100°，

∵BD=CD，

∴∠DCB=

（180°﹣100°）=50°　

4．解：

∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB=

=64°，

∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°　

5．证明：

在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，

∴∠DAH=∠DCA，

∵∠BAC=90°，BE∥AC，

∴∠CAD=∠ABE=90°．

又∵AB=CA，

∴在△ABE与△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（ASA），

∴AD=BE，

又∵AD=BD，

∴BD=BE，

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，

故∠ABC=45°．

∵BE∥AC，

∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，

∴△DBP≌△EBP（SAS），

∴DP=EP，

即可得出BC垂直且平分DE　

6．证明：

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2，

∵FE是AD的垂直平分线，

∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），

∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），

∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，

∴∠BAF=∠ACF

7．证明：

（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，

∴PA=PB，PB=PC．

∴PA=PB=PC．

（2）∵PA=PC，

∴点P在边AC的垂直平分线上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

还可得出结论：

①三角形三边的垂直平分线相交于一点．

②这个点与三顶点距离相等　

8．解：

因为CE垂直平分AD，

所以AC=CD=5cm．

所以∠ACE=∠ECD．

因为CD平分∠ECB，

所以∠ECD=∠DCB．

因为∠ACB=90°，

所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．

所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．

所以∠B=90°﹣∠A=30°．

所以∠DCB=∠B．

所以BD=CD=5cm　

9．证明：

∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，

∵∠ADF=∠B+∠BAD，

∠DAF=∠CAF+∠CAD，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠CAF=∠B　

10．解：

（1）∵EF是AD的垂直平分线，

∴AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA；

（2）∵EF是AD的垂直平分线，

∴AF=DF，

∴∠FAD=∠FDA，

∵AD是∠BAC平分线，

∴∠FAD=∠CAD，

∴∠FDA=∠CAD，

∴DF∥AC；

（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，

∴∠EAC=∠B　

11．解：

∵EF垂直平分AD，

∴AF=DF，

∴∠FAD=∠FDA．

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，

∴∠BAF=∠ACF　

12．解：

∵点D中AB的中点，DE⊥AB，

∴DE是AB的中垂线，

∴AE=BE，

∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，

∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm　

13．解：

∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，

∴BE=AE，CD=AD，

∵BC=BE+DE+CD=8cm，

∴△AED的周长是AE+ED+AD=BE+DE+CD=BC=8cm　

14．解：

连接AO并延长，交BC于点D，

∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，

∴OB=OA，OC=OA，

∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，

∵∠ABC=45°，

∴∠CBO=∠BCO=25°，

∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，

∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，

∴∠BOD=40°，∠COD=90°．

∵∠COD=∠CAO+∠ACO，

∴∠CAO=45°，

∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°　

15．解：

BF=CG；

理由如下：

因为点E在BC的垂直平分线上，

所以BE=CE．

因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，

所以EF=EG，

在Rt△EFB和Rt△EGC中，

因为BE=CE，EF=EG，

所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．

所以BF=CG　

16．解：

∵BC边的垂直平分线DE，

∴BE=CE=5，

∵BE+CE+BC=18，

∴BC=18﹣5﹣5=8，

答：

BC的长是8

17．解：

（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，

∴AP=BP，AQ=CQ，

∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，

∵∠BAC=130°，

∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，

∴∠BAP+∠CAQ=50°，

∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；

（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，

∴AP=BP，AQ=CQ，

∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，

∵∠BAC=130°，

∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，

∴∠BAP+∠CAQ=50°，

∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；

∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，

∴AP=BP，AQ=CQ，

∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，

∵∠BAC=α，

∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，

∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，

∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；

②当∠PAQ=90°，

即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，

解得：

α=135°，

∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；

③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，

∴AP=BP，AQ=CQ，

∵BC=10cm，

即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，

∴△PAQ的周长为10cm．

故答案为：

①80，2α﹣180°；②135；③10

18．解：

在△ABE中，

∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，

∴AE=BE；

在△ABC中，

∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，

又∵CE+BE+BC=24cm，

∴BC=10cm　

19．解：

（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴AD+CD=BD+CD=AC，

∵△DBC的周长为56，AC=32，

∴BC=56﹣32=24；

（2）∵AD=BD，AC=32，

∴AD+CD=BD+CD=AC=32，

∵BC=21，

∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．

故答案为：

24；53　

20．解：

（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，

∴AD=BD，AE=CE，

∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，

∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，

∴BC=6cm；

（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，

∴OA=OC=OB，

∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，

∴OC+OB=16﹣6=10，

∴OC=5，

∴OA=OC=OB=5．

21．证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，

∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，

∴∠EDA=∠FDA，

∵DE=DF（已证），

∴DG垂直平分EF（三线合一），

即AD垂直平分EF．

22．证明：

∵EF是AD的垂直平分线，

∴AF=DF，

∴∠FAD=∠FDA，

∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠FAC=∠B

23．解：

（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，

∴AP=BP，AQ=CQ，

∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，

∵BC=10，

∴△APQ周长=10；

（2）∵∠BAC=110°，

∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，

∵AP=BP，AQ=CQ（已证），

∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，

∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°　

24．证明：

（1）∵AD是BC的垂直平分线，

∴AB=AC，BD=CD，

∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，

∴∠ABD=∠ACD；

（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF　

25．证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

在△ADE和△ADF中，

，

∴△ADE≌△ADF（HL），

∴AE=AF，

又∵AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分EF　

26．证明：

如图，连接BD、CD，

∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，

∴BD=CD，

在△BDM和△CDN中，

，

∴△BDM≌△CDN（HL），

∴DM=DN，

又∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴点D在∠BAC的平分线上．

27．解：

∵DE为AB的中垂线，

∴AE=BE，

∵FG是AC的中垂线，

∴AG=GC，

△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：

△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，

所以△AEG的周长为BC的长度即7．

故答案为：

7　

28．解：

连接DB．

∵点D在BC的垂直平分线上，

∴DB=DC；

∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF；

∵∠DFC=∠DEB=90°，

在Rt△DCF和Rt△DBE中，

，

∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），

∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．

29．证明：

∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，

∴DN=DM，

在Rt△ADN和Rt△BDM中，

，

∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），

∴AN=BM．

30．

（1）证明：

连结BD，CD．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．

∵DE垂直平分BC，

∴DB=DC．

在Rt△DEB和Rt△DFC中

，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），

∴BE=CF；

（2）解：

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．

∴AE=AF．

∵AB=AE+BE，

∴AB=AF+EB，

∴AB=AC+CF+EB．

∵AB=8，AC=4，

∴8=4+CF+EB，

∴CF+EB=4，

∴2EB=4，

∴EB=2．

∴AE=8﹣2=6．

答：

AE的长为6．