那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
f (b) - f (a)
g(b) - g(a)
=
f `(ξ )
g`(ξ )
Ps:
对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
⎰
6、积分中值定理
:
若函数 f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点 ξ ∈ [a, b] 使得
f (x)dx = f (ξ )(b - a)
Ps:
该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的,下面
我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为:
若函数 f(x)在[a,b]上连续,则至
⎰
少存在一点 ξ ∈ (a, b) 使得
f (x)dx = f (ξ )(b - a)
⎰
证明:
设 F (x) =
f (x)dx , x ∈ [a, b]
因为 f (x) 在闭区间上连续,则 F (x) 在闭区间上连续且在开区间上可导(导函数即
为 f (x) )。
则对 F (x) 由拉格朗日中值定理有:
⎰
∃ξ ∈ (a, b) 使得 F `(ξ ) =
F (b) - F (a)
b - a
=
f (x)dx
b - a
⎰
而 F `(ξ ) = f (ξ )
所以 ∃ξ ∈ (a, b) 使得
f (x)dx = f (ξ )(b - a) 。
在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运
用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用,因为
课本给的定理是闭区间。
第二部分:
定理运用
⎰
1、设 f (x) 在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导函数,且 2 f (0) =
f (x)dx = f
(2) + f (3) .
证明:
(1) ∃η ∈ (0,2) 使 f (η ) = f (0)
(2) ∃ξ ∈ (0,3) 使 f ``(ξ ) = 0
证明:
先看第一小问题:
如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中
值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是 0 分。
具体证明方法
在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理
证明其在开区间内符合。
⎰
(1)、令
(0
f (t)dt = F (x), x ∈[0,2]则由题意可知 F (x)在[0,2]上连续, ,2) 内可导.
则对 F (x) 由拉格朗日中值定理有:
∃η ∈ (0,2)使F `(η ) =
F ( 2 ) - F ( 0)
2
⎰
∴ f (η ) =
f (t)dt
2
= f (0),η ∈ (0,2)
从而, m ≤
≤ M ,那么由介值定理就有:
∃c ∈ [2,3], 使f (c) =
= f (0)
(2)、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问
的东西在第二问中进行运用:
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为 0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,
如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个
等式,如果有 f(a)=f(b)=f(c),那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点,那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢,有了
这样想法,就得往下寻找了,
2 f (0) = f
(2) + f (3) ,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明:
Θ f (x)在[0,3] 上连续,则在[2,3] 上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,
分别设为 M,m;
则 m ≤ f
(2) ≤ M , m ≤ f (3) ≤ M .
f ( 2 ) + f (3)
2
f ( 2 ) + f (3)
2
∴ f (0) = f (η ) = f (c),η ∈ (0,2), c ∈ [2,3]
则有罗尔定理可知:
∃ξ ∈ (0,η), f `(ξ ) = 0 , ∃ξ ∈ (η, c), f `(ξ ) = 0
∃ξ ∈ (ξ,ξ ) ⊆ (0,3), f ``(ξ ) = 0
Ps:
本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,
最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来。
2、设 f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f
(1)=1.
证明:
(1)、∃ξ ∈ (0,1)使得f (ξ ) = 1 - ξ
(2)、∃两个不同点η、ξ ∈ (0,1),使得f `(ξ ) ⋅ f `(η) = 1
本题第一问较简单,用零点定理证明即可。
(1)、首先构造函数:
F (x) = f (x) + x - 1, x ∈ [0,1]
F (0) = f (0) - 1 = -1
F
(1) = f
(1) = 1
Θ F (0) ⋅ F
(1) = -1 < 0
由零点定理知:
∃ξ ∈ (0,1)使得F (ξ ) = 0,即f (ξ ) = 1 - ξ
(2)、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问
是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的
就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,
证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候
就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没
想法,便无从下手。
另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为 1(你题目做多了,肯定
就知道事实就是这样).并且第一问中 0 与 1 之间夹了个 ξ ,如果我们在 0 与 ξ , ξ 与 1 上
对 f (x) 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了:
将第一问中 f (ξ ) 代入即可。
f `(η) =
f `(ζ ) =
f (ξ ) - f ( 0)
ξ
f
(1) - f (ξ )
1 - ξ
=
=
1 - ξ
ξ
ξ
1 - ξ
η ∈ (0,ξ )
ζ ∈ (ξ ,1)
证明:
∃ξ ∈ (0, ),η ∈ ( ,1), 使得:
f `(ξ ) + f `(η ) =ξ +η
∴ f `(ξ ) ⋅ f `(η ) = 1,η ∈ (0,ξ ) ⊆ (0,1),ζ ∈ (ξ ,1) ⊆ (0,1)
Ps:
本题是 05 年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对
定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法。
做任何题,最重要的不
是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一
步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下
手。
3、设函数 f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且 f(0)=0,f
(1)=1/3.
1 1
22
对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把 ξ、η 放在
两个范围内,不像上一题中直接来个η、ξ ∈ (0,1) ,这个分界点 1/2 的作用是干吗的。
很
可能也是把 1 /2 当做某一个点就像上一题中的 ξ ,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是
我们的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,f `(ξ ) + f `(η ) =ξ+η
我们把等式变一下:
f `(ξ ) -ξ+ f `(η ) -η= 0 , f `(ξ ) -ξ这个不就是 f (ξ ) -ξ 关
1
3
于 ξ 的导数(而且题目中 f
(1)=1/3,貌似这样有点想法了),本题会不会也像上一题那样,运
用拉格朗日中值定理后相互消掉变为 0 呢,有了这些 想法我们就要开始往下走了:
先来构造一个函数:
F (x) = f (x) -x , F (0) = 0, F
(1) = 0, F `(ξ ) =
F ( ) - F (0)
= 2F ( )
F
(1) - F ( )
1 -
F `(η) =
1
3
1 2
2
1
2 = -2F ( 1 )
1
2
1
2
1
2
F `(η ) + F `(ξ ) = 0 刚好证明出来。
Ps:
本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出
发,如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个 1/2 的作用就知道了,如果只
给η、ξ ∈ (0,1) ,那就更难了 得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分
开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧
的。
一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到
导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得
有式子相等才可进一步运用。
4.设 f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0
(1)、写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
⎰
(2)、证明在[-a,a]上至少存在一点η 使得 a f ``(η ) = 3
第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础
f (x)dx
f ``(ξ )
f ``(ξ )
(1)、 f (x) = f (0) +
f `(0)
1!
x +
2!
x = f `(0) ⋅ x +
2!
x
(2)、第二问先将第一问的式子 f(x)代入看看有什么结果出来
⎰
f (x)dx = ⎰
⋅ x dx , f ``(ξ ) 此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与 x 无
f ``(ξ )
2
关的数。
做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求
办法。
题目中说道 f(x)有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最
小值,往往会接着和介值定理一起运用。
所以有:
因为 f(x)有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为 M,m 则对于区间[-a,a],
m ≤ f ``(x) ≤ M , mx ≤ f ``(ξ ) ⋅ x ≤ Mx
2
ma = m⎰ x dx ≤ ⎰⎰ x dx =
f ``(ξ ) ⋅ x dx ≤ MMa
3
2
3
3
∴ m ≤ ⎰ f (x)dx ≤ M
a
所以由介值定理有结论成立。
Ps:
本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用。
题目
中说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连
续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用。
⎰
f (x)dx = 0, ⎰ f (x) ⋅ cos xdx = 0 .
5、设 f(x)在[0,π ]上连续,且
π
π
证明:
在 (0,π ) 内至少存在两个不同点 ξ、ξ使得f (ξ ) = f (ξ ) = 0
本题看似很简洁,但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为 0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值
相等,那么是不是就能有些思路了呢。
令:
F (x) = ⎰
f (t)dt, x ∈[0,π ], F (0) = F (π ) = 0
Θ ⎰ f (x) ⋅ cos xdx = ⎰ cos xdF(x) = cos x ⋅ F (x)π + ⎰ sin x ⋅ F (x)dx = 0
∴ ⎰ sin x ⋅ F (x)dx = 0
拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。
构造函数 G(x) = ⎰ sin t ⋅ F (t)dt, x ∈[0,π ]
似 乎 只 需 在 找 出 一 点 F(c)=0 即 可 。
, 如 果 一 切 如 我 们 所 想 , 证 明 也 就 完 成 了 。
πππ
π
似乎已经找到这个点了。
但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用
具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证。
证完后就得到
∃c ∈ (0,π ),使得G`(c) = 0,即sin c ⋅ F (c) = 0, 所以F (c) = 0
所以有:
F (0) = F (c) = F (π ) = 0, c ∈ (0,π )
接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,
思路。
Ps:
本题是 02 年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运
用不熟练,还是不好弄出来。
本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为 0,容易想到
积分中值定理,以及罗尔定理。
但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,
只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计
一半的分都没了。
本题关键的就是寻找这个点 C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键
点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理(如果用的话,得分类
讨论了),硬是说 C 点就成立,那估计一半的分都没了。
一般都会构造出 g(x) = XXX ⋅ e 或者e 或者x , n为任意常数
对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考。
下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造:
基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,
或是求微分方程,解出来也可。
本人自己总结了一些东西,与大家交流下:
第三部分:
构造函数基本方法
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系:
1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有 e 或者e
f `(x) = f (x) 可以构造 g(x) = f (x) ⋅ e
f `(x) + f (x) = 0 可构造 g(x) = f (x) ⋅ e
f `(x) + f (x) = λ 可构造 g(x) = f (x) ⋅ e - λ ⋅ e
⎰
f (t)dt = f (x) 这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数 g(x) = e ⋅ ⎰ f (t)dt
f `(x) - λ ( f (x) - x) = 1
先将其变形下:
f `(x) - λf (x) = 1 - λx 左边是导函数与原函数关系可构造:
f (x) ⋅ e
λ
右边可以看成是 x`-λx 也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造:
x ⋅ eλ 从而
要构造的函数就是:
g(x) = ( f (x) - x)e
λ
2、如果还涉及到变量 X,想想构造 x
xf `(x) + f (x) = 0 可构造 g (x) = f (x) ⋅ x
f (x) = -
2 f (x)
x
可构造 g(x) = f (x) ⋅ x
xf `(x) + nf (x) = 0 可构造 g(x) = f (x) ⋅ x
3、另外还可以解微分方程来构造函数:
如 xf (x) + f `(x) = 0
f `(x)
f (x)
= -x,
ln f (x) = - x +c
ln f (x) ⋅ e = c
f (x) ⋅ e = C
1
2
所以构造函数g(x) = f (x) ⋅ e
二、二阶导数与原函数之间关系
构造带有 e 或者e
f ``(x) = f (x)
如何构造如下:
f ``(x) + f `(x) = f `(x) + f (x) 对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数
与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数(只不过原函数是
f `(x) )之间关系,从而等式左边可以构造 f `(x) ⋅ e 等式右边可以构造 f (x) ⋅ e 总的构造
出来函数为:
g(x) = ( f `(x) - f (x)) ⋅ e
另:
如果这样变形:
( f ``(x) - f `(x)) + ( f `(x) - f ( x)) = 0
构造函数如下:
g(x) = ( f `(x) + f (x)) ⋅ e
,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构
造的。
从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了。
如果题目给了
f `(x) - f (x) 为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了 f `( x) + f (x) ,则可以考
虑第二种构造方法。
f ``(η ) - 3 f `(η ) + 2 f (η ) = 0
先变形:
变成一阶导函数和原函数之间关系
f ``(η )