那么在（a,b）内至少存在一点ξ,使得
f （b） - f （a）
g（b） - g（a）
=
f `（ξ ）
g`（ξ ）
Ps：
对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
⎰
6、积分中值定理
：
若函数 f（x）在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ ∈ [a, b] 使得
b
a
f （x）dx = f （ξ ）（b - a）
Ps：
该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的，下面
我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：
若函数 f（x）在[a,b]上连续，则至
⎰
少存在一点 ξ ∈ （a, b） 使得
b
a
f （x）dx = f （ξ ）（b - a）
⎰
证明：
设 F （x） =
x
a
f （x）dx ， x ∈ [a, b]
因为 f （x） 在闭区间上连续，则 F （x） 在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即
为 f （x） ）。
则对 F （x） 由拉格朗日中值定理有：
⎰
∃ξ ∈ （a, b） 使得 F `（ξ ） =
F （b） - F （a）
b - a
=
b
a
f （x）dx
b - a
⎰
而 F `（ξ ） = f （ξ ）
所以 ∃ξ ∈ （a, b） 使得
b
a
f （x）dx = f （ξ ）（b - a） 。
在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运
用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用，因为
课本给的定理是闭区间。
第二部分：
定理运用
⎰
1、设 f （x） 在[0,3]上连续，在（0,3）内存在二阶导函数，且 2 f （0） =
2
0
f （x）dx = f
（2） + f （3） .
证明：
（1） ∃η ∈ （0,2） 使 f （η ） = f （0）
（2） ∃ξ ∈ （0,3） 使 f ``（ξ ） = 0
证明：
先看第一小问题：
如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中
值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是 0 分。
具体证明方法
在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理
证明其在开区间内符合。
⎰
（1）、令
x
0
（0
f （t）dt = F （x）, x ∈[0,2]则由题意可知 F （x）在[0,2]上连续， ,2） 内可导.
则对 F （x） 由拉格朗日中值定理有：
∃η ∈ （0,2）使F `（η ） =
F （ 2 ） - F （ 0）
2
⎰
∴ f （η ） =
2
0
f （t）dt
2
= f （0）,η ∈ （0,2）
从而， m ≤
≤ M ，那么由介值定理就有：
∃c ∈ [2,3], 使f （c） =
= f （0）
（2）、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问
的东西在第二问中进行运用：
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为 0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，
如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个
等式，如果有 f（a）=f（b）=f（c），那么问题就解决了。
第一问中已经在（0,2）内找到一点，那么能否在（2,3）内也找一点满足结论一的形式呢，有了
这样想法，就得往下寻找了，
2 f （0） = f
（2） + f （3） ，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：
Θ f （x）在[0,3] 上连续，则在[2,3] 上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，
分别设为 M,m;
则 m ≤ f
（2） ≤ M , m ≤ f （3） ≤ M .
f （ 2 ） + f （3）
2
f （ 2 ） + f （3）
2
∴ f （0） = f （η ） = f （c）,η ∈ （0,2）, c ∈ [2,3]
则有罗尔定理可知：
∃ξ1 ∈ （0,η）, f `（ξ1 ） = 0 ， ∃ξ 2 ∈ （η, c）, f `（ξ2 ） = 0
∃ξ ∈ （ξ1,ξ2 ） ⊆ （0,3）, f ``（ξ ） = 0
Ps：
本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，
最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设 f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导,且 f（0）=0,f
（1）=1.
证明:
（1）、∃ξ ∈ （0,1）使得f （ξ ） = 1 - ξ
（2）、∃两个不同点η、ξ ∈ （0,1）,使得f `（ξ ） ⋅ f `（η） = 1
本题第一问较简单，用零点定理证明即可。
（1）、首先构造函数：
F （x） = f （x） + x - 1, x ∈ [0,1]
F （0） = f （0） - 1 = -1
F
（1） = f
（1） = 1
Θ F （0） ⋅ F
（1） = -1 < 0
由零点定理知：
∃ξ ∈ （0,1）使得F （ξ ） = 0,即f （ξ ） = 1 - ξ
（2）、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问
是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的
就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，
证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候
就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没
想法，便无从下手。
另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为 1（你题目做多了，肯定
就知道事实就是这样）.并且第一问中 0 与 1 之间夹了个 ξ ，如果我们在 0 与 ξ ， ξ 与 1 上
对 f （x） 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：
将第一问中 f （ξ ） 代入即可。
f `（η） =
f `（ζ ） =
f （ξ ） - f （ 0）
ξ
f
（1） - f （ξ ）
1 - ξ
=
=
1 - ξ
ξ
ξ
1 - ξ
η ∈ （0,ξ ）
ζ ∈ （ξ ,1）
证明：
∃ξ ∈ （0, ）,η ∈ （ ,1）, 使得：
f `（ξ ） + f `（η ） =ξ2 +η2
∴ f `（ξ ） ⋅ f `（η ） = 1,η ∈ （0,ξ ） ⊆ （0,1）,ζ ∈ （ξ ,1） ⊆ （0,1）
Ps：
本题是 05 年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对
定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。
做任何题，最重要的不
是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一
步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下
手。
3、设函数 f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，且 f（0）=0,f
（1）=1/3.
1 1
22
对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把 ξ、η 放在
两个范围内，不像上一题中直接来个η、ξ ∈ （0,1） ，这个分界点 1/2 的作用是干吗的。
很
可能也是把 1 /2 当做某一个点就像上一题中的 ξ ，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是
我们的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，f `（ξ ） + f `（η ） =ξ+η
2
2
我们把等式变一下：
f `（ξ ） -ξ+ f `（η ） -η= 0 ， f `（ξ ） -ξ这个不就是 f （ξ ） -ξ3 关
2221
3
于 ξ 的导数（而且题目中 f
（1）=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运
用拉格朗日中值定理后相互消掉变为 0 呢，有了这些 想法我们就要开始往下走了：
先来构造一个函数：
F （x） = f （x） -x3 , F （0） = 0, F
（1） = 0, F `（ξ ） =
F （ ） - F （0）
= 2F （ ）
F
（1） - F （ ）
1 -
F `（η） =
1
3
1 2
2
1
2 = -2F （ 1 ）
1
2
1
2
1
2
F `（η ） + F `（ξ ） = 0 刚好证明出来。
Ps：
本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出
发，如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个 1/2 的作用就知道了，如果只
给η、ξ ∈ （0,1） ，那就更难了 得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分
开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧
的。
一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到
导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得
有式子相等才可进一步运用。
4.设 f（x）在区间[-a,a]（a>0）上具有二阶连续导数，f（0）=0
（1）、写出 f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
⎰
（2）、证明在[-a,a]上至少存在一点η 使得 a f ``（η ） = 3
3
第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础
a
-a
f （x）dx
f ``（ξ ）2
f ``（ξ ）2
（1）、 f （x） = f （0） +
f `（0）
1!
x +
2!
x = f `（0） ⋅ x +
2!
x
（2）、第二问先将第一问的式子 f（x）代入看看有什么结果出来
⎰
f （x）dx = ⎰
⋅ x dx ， f ``（ξ ） 此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与 x 无
a
-a
a
-a
f ``（ξ ）
2
2
关的数。
做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求
办法。
题目中说道 f（x）有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最
小值，往往会接着和介值定理一起运用。
所以有：
因为 f（x）有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为 M,m 则对于区间[-a,a]，
m ≤ f ``（x） ≤ M , mx 2 ≤ f ``（ξ ） ⋅ x 2 ≤ Mx 2
2
ma 3 = m⎰ x dx ≤ ⎰⎰ x dx =
f ``（ξ ） ⋅ x dx ≤ MMa 3
2
2
2
3
2
3
a a a
-a -a -a
3
∴ m ≤3 ⎰ f （x）dx ≤ M
a
a
-a
所以由介值定理有结论成立。
Ps：
本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。
题目
中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连
续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。
⎰
f （x）dx = 0, ⎰ f （x） ⋅ cos xdx = 0 .
5、设 f（x）在[0,π ]上连续，且
π
0
π
0
证明：
在 （0,π ） 内至少存在两个不同点 ξ1、ξ 2使得f （ξ1 ） = f （ξ2 ） = 0
本题看似很简洁，但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为 0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值
相等，那么是不是就能有些思路了呢。
令：
F （x） = ⎰
x
0
f （t）dt, x ∈[0,π ]， F （0） = F （π ） = 0
Θ ⎰ f （x） ⋅ cos xdx = ⎰ cos xdF（x） = cos x ⋅ F （x）π 0 + ⎰ sin x ⋅ F （x）dx = 0
∴ ⎰ sin x ⋅ F （x）dx = 0
拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。
构造函数 G（x） = ⎰ sin t ⋅ F （t）dt, x ∈[0,π ]
似 乎 只 需 在 找 出 一 点 F（c）=0 即 可 。
， 如 果 一 切 如 我 们 所 想 ， 证 明 也 就 完 成 了 。
πππ
000
π
0
似乎已经找到这个点了。
但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用
x
0
具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。
证完后就得到
∃c ∈ （0,π ）,使得G`（c） = 0,即sin c ⋅ F （c） = 0, 所以F （c） = 0
所以有：
F （0） = F （c） = F （π ） = 0, c ∈ （0,π ）
接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法，
思路。
Ps：
本题是 02 年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运
用不熟练，还是不好弄出来。
本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为 0，容易想到
积分中值定理，以及罗尔定理。
但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，
只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计
一半的分都没了。
本题关键的就是寻找这个点 C，找出来了其他的都不是问题，既然是关键
点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套用课本中定理（如果用的话，得分类
讨论了），硬是说 C 点就成立，那估计一半的分都没了。
一般都会构造出 g（x） = XXX ⋅ e 或者e 或者x , n为任意常数
对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。
下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：
基本上都是从结论出发，运用求导或是积分，
或是求微分方程，解出来也可。
本人自己总结了一些东西，与大家交流下：
第三部分：
构造函数基本方法
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：
x-xn
1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有 e 或者e
f `（x） = f （x） 可以构造 g（x） = f （x） ⋅ e-x
x
-x
f `（x） + f （x） = 0 可构造 g（x） = f （x） ⋅ e x
f `（x） + f （x） = λ 可构造 g（x） = f （x） ⋅ e x - λ ⋅ e x
⎰
f （t）dt = f （x） 这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数 g（x） = e-x ⋅ ⎰ f （t）dt
x
a
x
a
f `（x） - λ （ f （x） - x） = 1
先将其变形下：
f `（x） - λf （x） = 1 - λx 左边是导函数与原函数关系可构造：
f （x） ⋅ e
-λx
右边可以看成是 x`-λx 也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：
x ⋅ e-λx 从而
要构造的函数就是：
g（x） = （ f （x） - x）e
-λx
2、如果还涉及到变量 X，想想构造 x n
xf `（x） + f （x） = 0 可构造 g （x） = f （x） ⋅ x
f （x） = -
2 f （x）
x
可构造 g（x） = f （x） ⋅ x
2
xf `（x） + nf （x） = 0 可构造 g（x） = f （x） ⋅ x n
3、另外还可以解微分方程来构造函数：
如 xf （x） + f `（x） = 0
f `（x）
f （x）
= -x,
ln f （x） = - x 2 +c
ln f 2 （x） ⋅ e x = c
f 2 （x） ⋅ e x = C
1
2
2
2
所以构造函数g（x） = f 2 （x） ⋅ e x
2
二、二阶导数与原函数之间关系
构造带有 e 或者e
x
f ``（x） = f （x）
如何构造如下：
-x
f ``（x） + f `（x） = f `（x） + f （x） 对于此式子，你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数
与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是
f `（x） ）之间关系，从而等式左边可以构造 f `（x） ⋅ e x 等式右边可以构造 f （x） ⋅ e x 总的构造
出来函数为：
g（x） = （ f `（x） - f （x）） ⋅ e
x
另：
如果这样变形：
（ f ``（x） - f `（x）） + （ f `（x） - f （ x）） = 0
构造函数如下：
g（x） = （ f `（x） + f （x）） ⋅ e
-x
，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构
造的。
从而对于此函数构造有两
升级会员 