中考压轴题二.docx
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中考压轴题二
2016年中考压轴题
(二)
一.解答题(共29小题)
1.(2015•桂林)如图,已知抛物线y=﹣
x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式:
;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2015•甘孜州)已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的中点时,有:
①AF=DE;②AF⊥DE成立.
试探究下列问题:
(1)如图1,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”),不需要证明)
(2)如图2,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(3)如图3,在
(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.
3.(2015•衢州)如图,在△ABC中,AB=5,AC=9,S△ABC=
,动点P从A点出发,沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动,动点Q从C点出发,以相同的速度在线段AC上由C向A运动,当Q点运动到A点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正方形PQEF(P、Q、E、F按逆时针排序),以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.
(1)求tanA的值;
(2)设点P运动时间为t,正方形PQEF的面积为S,请探究S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,正方形PQEF的某个顶点(Q点除外)落在正方形QCGH的边上,请直接写出t的值.
4.(2007•河北)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
5.(2016•市中区一模)如图,抛物线y=﹣
x2+bx+c与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B(3,
),过点B作BC⊥x轴,垂足为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是x轴正半轴上的一动点,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为n.当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时,试用含n的代数式表示线段PM的长度;
(3)点P是x轴正半轴上的一动点,连接OM,BN,当n为何值时,四边形BCMN为平行四边形?
6.(2009•铁岭)如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C、A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?
若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
7.(2014•抚顺)如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的点,且BE=BA,以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M,过点B作⊙A的切线BF,切点为F.
(1)请判断直线BE与⊙A的位置关系,并说明理由;
(2)如果AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积.
8.(2014•抚顺)已知:
Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D.
(1)如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),当A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.
9.(2014•抚顺)如图,抛物线y=ax2+
x+c与x轴交于点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,连接AC,点M是线段OA上的一个动点(不与点O、A重合),过点M作MN∥AC,交OC于点N,将△OMN沿直线MN折叠,点O的对应点O′落在第一象限内,设OM=t,△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S.
(1)求抛物线的解析式;
(2)①当点O′落在AC上时,请直接写出此时t的值;
②求S与t的函数关系式;
(3)在点M运动的过程中,请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值.
10.(2014•本溪)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不动,△ADE绕点A旋转,连接BE、CD,F为BE的中点,连接AF.
(1)如图①,当∠BAE=90°时,求证:
CD=2AF;
(2)当∠BAE≠90°时,
(1)的结论是否成立?
请结合图②说明理由.
11.(2014•本溪)如图,直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=
x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标;
(3)点P从点C出发,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B出发,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度,当Q点到达C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形?
若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,说明理由.
12.(2014•盘锦)已知,四边形ABCD是正方形,点P在直线BC上,点G在直线AD上(P、G不与正方形顶点重合,且在CD的同侧),PD=PG,DF⊥PG于点H,交直线AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,连结EF.
(1)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时.
①求证:
DG=2PC;
②求证:
四边形PEFD是菱形;
(2)如图2,当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时,请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.
13.(2014•盘锦)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过原点,与x轴相交于点E(8,0),抛物线的顶点A在第四象限,点A到x轴的距离AB=4,点P(m,0)是线段OE上一动点,连结PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,过点C作y轴的平行线交x轴于点G,交抛物线于点D,连结BC和AD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点C的坐标(用含m的代数式表示);
(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
14.(2014•铁岭)如图,四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,E为直线BD上的动点(点E不与点B和点D重合),直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F,连接EF.
(1)如图①,当点E在线段BD上时,∠CEF= 度;
(2)如图②,当点E在BD延长线上时,试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系,并说明理由;
(3)如图③,若四边形ABCD为平行四边形,∠DBC=∠DCB=45°,E为直线BD上的动点(点E不与点B和点D重合),射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F,连接EF,探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系.(直接写出结果)
15.(2014•铁岭)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(6,0),C(﹣4,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D、点E同时从点O出发以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴正半轴,y轴正半轴向点A、点B方向移动,当点D运动到点A时,点D、E同时停止移动.过点D作x轴的垂线交抛物线于点F,交AB于点G,作点E关于直线DF的对称点E′,连接FE′,射线DE′交AB于点H.设运动时间为t秒.
①t为何值时点E′恰好在抛物线上,并求此时△DE′F与△ADG重叠部分的面积;
②点P是平面内任意一点,若点D在运动过程中的某一时刻,形成以点A、E′、D、P为顶点的四边形是菱形,那么请直接写出点P的坐标.
16.(2013•铁岭)正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB的中点,连接EF.
(1)如图1,若点G是边BC的中点,连接FG,则EF与FG关系为:
;
(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段FQ,连接EQ,请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)若点P为CB延长线上一动点,按照
(2)中的作法,在图3中补全图形,并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系:
.
17.(2013•铁岭)如图,抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=
,与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,并且点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,连接AD交y轴于点E,连接AC,设△AEC的面积为S1,△DEC的面积为S2,求S1:
S2的值.
(3)点F坐标为(6,0),连接DF,在
(2)的条件下,点P从点E出发,以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动;点Q从点F出发,以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?
请直接写出所有符合条件的t值.
18.(2015•盘锦二模)如图,已知抛物线y=﹣
+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).
(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;
(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?
并说明理由;
(3)M为抛物线上BC之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?
若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
19.(2016•高新区一模)如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:
与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线
经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.
20.(2015•昆明)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+
x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点M作MG⊥x轴于点G,交AC于点H,当线段CM=CH时,求点M的坐标;
(3)在
(2)的条件下,将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°<α<90°),在旋转过程中,设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似?
如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
21.(2015•内江)如图,抛物线与x轴交于点A(﹣
,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t(﹣
<t<2),求△ABN的面积S与t的函数关系式;
(3)若﹣
<t<2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标.
22.(2015•潜江)已知∠MAN=135°,正方形ABCD绕点A旋转.
(1)当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.
①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是 ;
②如图2,若BM≠DN,请判断①中的数量关系是否仍成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:
以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由.
23.(2015•赤峰)如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.
(1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF时,如图2小芳的结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;
(3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
24.(2013•益阳)如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证:
AE=BC;
(2)如图
(2),过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,连结CE′,BF′,求证:
CE′=BF′;
(3)在
(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB?
若存在,求出相应的旋转角α;若不存在,请说明理由.
25.(2013•济南)如图1,在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC=67.5°,△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称,点M为边AC上的一个动点(重合),点M关于AB所在直线的对称点为N,△CMN的面积为S.
(1)求∠CAD的度数;
(2)设CM=x,求S与x的函数表达式,并求x为何值时S的值最大?
(3)S的值最大时,过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E,连接EN(如图2),P为线段EN上一点,Q为平面内一点,当以M,N,P,Q为顶点的四边形是菱形时,请直接写出所有满足条件NP的长.
26.(2015•德阳)如图,已知BC是⊙O的弦,A是⊙O外一点,△ABC为正三角形,D为BC的中点,M为⊙O上一点,并且∠BMC=60°.
(1)求证:
AB是⊙O的切线;
(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点,且∠EDF=120°,⊙O的半径为2,试问BE+CF的值是否为定值?
若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
27.(2010•西藏)如图,已知等腰△ABC,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:
直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠A的值.
28.(2012•遂宁)小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后,双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量.如图,他们在坡度是i=1:
2.5的斜坡DE的D处,测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°,斜坡高EF=2米,CE=13米,CH=2米.大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM.亲爱的同学们,相信你也能计算出铁塔AM的高度!
请你写出解答过程.(数据
≈1.41,
≈1.73供选用,结果保留整数)
29.(2012•长春一模)从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路,示意图如下.台阶路AE共有8个台阶,每个台阶的宽度均为0.5m,台阶路AE与水平地面夹角∠EAB为28°.坡路EC长7m,与观景台地面的夹角∠ECD为15°.求观景台地面CD距水平地面AB的高度BD(精确到0.1m).
[参考数据:
sin28°=0.47,cos28°=0.88,tan28°=0.53;sin15°=0.26,cos15°=0.97,tan15°=0.27].
2016年中考压轴题
(二)
参考答案
一.解答题(共29小题)
1.y=-
x2+3x+8;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. ;9. ;10. ;11. ;12. ;13. ;14.60;15. ;16.EF⊥FG,EF=FG;BF+BP=EQ;17. ;18. ;19. ;20. ;21. ;22.MN=BM+DN;23. ;24. ;25. ;26. ;27. ;28. ;29. ;