力学结果比较。
2.6粒子在势场
x0
V（x）V0,0xa
0,ax
中运动，求存在束缚态（E<0）的条件（，m，a，V0关系）以及能级方程。
1
2.7求二维各向同性谐振子[V=2k（x2+y2）]的能级，并讨论各能级的简并度
2.8
粒子束以动能E=k2m从左方入射，遇势垒
第三章基本原理
（3）动量的几率分布函数。
3.2设t=0时，粒子的状态为
1
2
（x）=A[sin2kx+2coskx]，求此时粒子的平均动量和平均动能。
3.3在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数
（x）=Ax（a-x）
描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。
3.4证明：
如归一化的波函数（x）是实函数，则=i/2；如=（r）（与
，无关），则=3/2。
3.5计算对易式[x,Ly]，[pz,Lx]，并写出类似的下标轮换式（xy,yz,zx）。
3.6证明算符关系
rLLr2ir
pLLp2ip
3.7设F为非厄米算符（F+F），证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄米算符。
求A、B与F、F+之关系。
1
3.8一维谐振子（V1=2kx2）处于基态。
设势场突然变成V2=kx2，即弹性力增大一倍。
求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。
3.9有线性算符L、M、K，[L,M]=1，K=LM。
K的本征函数、本征值记为n、n（n=1,2,...）。
证明：
如函数Mn及Ln存在，则它们也是K的本征函数，本征值为（n1）。
2
3.10证明：
如H=p/2m+V（r），则对于任何束缚态
=0。
2
3.11粒子在均匀电场中运动，已知H=p/2m-qx。
设t=0时x=0，px=p0，求x（t），px（t）。
2
3.12粒子在均匀磁场B=（0,0,B）中运动，已知H=p/2mLz，=qB/2mc。
设t=0时＜p＞=（p0,0,0），求t＞0时＜p＞。
3.13粒子在势场V（r）中运动，V与粒子质量m无关。
证明：
如m增大，则束缚态能级下降。
第四章中心力场
4.1证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
Jer=Je=0,
em2
nlm
Je=rsin。
4.2由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的
（1）求一圆周电流的磁矩。
（2）证明氢原子磁矩为
me
Mz
2（SI）
me（CGS）
2c
原子磁矩与角动量之比为
e
Mz2（SI）Lze（CGS）2c
这个比值，称为回转磁比率。
4.3设氢原子处于状态
13
（r,,）R21（r）Y10（,）R21（r）Y11（,）,
22
求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
4.4利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
4.5对于类氢离子的基态100，求概然半径（最可几半径）及r,r2。
4.6对于类氢离子的nlm态，证明
1
=2=En。
4.7对于类氢离子的基态100，计算x,px，验证不确定关系xpx2。
4.8
单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成
V（r）
22
1）/2r，计算（ll）之值，...]
第五章表象理论
5.1设n＞，k＞是厄米算符H?
的本征态矢，相应于不同的本征值。
算符F?
与
H?
对易。
证明＜kFn＞=0。
5.2
22
（为实数）
质量为的粒子在势场V（x）中作一维运动，设能级是离散的。
证明能量表象中求和规则
2
x、
（EnEk）neixkn
5.3对于一维谐振子的能量本征态n＞，利用升、降算符计算＜T＞、＜V＞、p。
5.4设J为角动量，n为常矢量，证明
[J,n·J]=in×J
5.5对于角动量J的jm态（J2,Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平均值，以及Jx、Jy。
5.6设n（单位矢量）与z轴的夹角为，对于角动量J的jm态，计算＜Jn＞
即n·J的平均值）。
5.7以lm表示L2，Lz共同本征态矢。
在l=1子空间中，取基矢为11,10,11,建立L，Lz表象。
试写出Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并
求其本征值及本征态矢（取=1）
*5.8对于谐振子相干态（a=,为实数），计算n，n，E，E，x，x，p，p。
第六章微扰理论
6.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
6.2转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
6.3设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰H?
'的作用。
微扰矩阵元为H'12=H'21=a,H'11=H'22=b;a,b都是实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
6.4一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，设电场沿正x方向：
（1）用微扰法求能量至二级修正；
（2）求能量的准确值，并和
（1）所得结果比较。
6.5设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。
设单色光的电场可以近似地表示为sint，及均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。
求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率
6.6
基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。
6.7计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。
6.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
6.9粒子（质量）在无限深势阱0后受到微扰作用，H'=x,
（a）求跃迁选择定律（nn'，n'n=?
）；
（b）利用定态微扰论，求能级En的一级修正。
1
6.10用变分法求氢原子（V=e2/r）或三维各向同性谐振子（V=22r2）的基态能量近似值（二者选一）。
（a）取试探波函数为（,r）=Aexp（r）;
（b）取试探波函数为（,r）=Bexp（2r2）。
6.11质量为的粒子在势场V（x）=kx4（k>0）中作一维运动。
试用变分法求基态
6.12
现？
S?
z的平均值是多少？
7.5设氢原子的状态是
1
1R21（r）Y11（,）
2
3
R21（r）Y10（,）
2
（1）求轨道角动量z分量L?
z和自旋角动量z分量S?
z的平均值；
（2）求总磁矩
M?
eL?
eS?
2（SI）
的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。
2
7.6求电子的总角动量算符J，Jz的共同本征函数。
7.7在Sz表象中，证明
ei0
7.8对于电子的L，S，J,证明（取1）
22
1
（2S
L
1）2J2
4
（
J）（
J1）
J2
L
S
e
（L2S）
2mec
7.9电子的总磁矩算符是
对于电子角动量的ljj态（mj=j）计算z的平均值（结果用量子数j表示出来）
第八章多粒子体系
8.1一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？
它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
1
8.2设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U（r）=22r2。
如果电子之间的库仑能和U（r）相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。
8.3某体系由两个全同粒子组成，单粒子自旋量子数为s。
求体系总自旋态中对称态与反对称态的数目。
8.4某体系由三个粒子组成，单粒子状态为,,,...,写出体系波函数的可能类型（忽略粒子间相互作用）。
（a）全同玻色子；（b）全同费密子；（c）不同粒子。
升级会员 