中职数学数列教案.docx
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中职数学数列教案
教师姓名
少华
授课班级
2014级
授课形式
授课日期
授课时数
2
授课章节
名称
§6.1数列
教学目的
1.了解数列的定义,掌握与数列有关的一些术语
2.了解数列各种表示法及适用场合
3.对已知通项公式的数列,能写出任意项
教学重点
数列的定义
数列通项公式的定义
数列的各种表示法
教学难点
对数列的认识
数列的表示
正确运用数列的通项公式
更新、补充、删节容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.数列的定义
我们把按一定次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.
数列的一般形式可以写成
a1,a2,a3,…,an,….
简记作{an}.其中a1叫做数列的第1项(或首项),a2叫做数列的第2项,…,an叫做数列的第n项(n是正整数).
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
课练习1
2.数列的表示形式
数列除了表示成上述形式以外,根据实际情况需要,只要不改变有序这个特,也能以其他形式表示.例如体温记录数列
(1),表示成下面的表可能更合适:
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
体温
39.8
40.1
38.6
38.8
38.3
39.2
37.8
38.6
37.2
37.6
36.8
37.0
当一个有穷数列,随着项号变化,其对应的项的变化没有规律,且数据又要求比较准确时,通常会以列表方式表示.列表表示的一般形式是
序号
1
2
3
…
n
…
项
a1
a2
a3
…
an
…
在医疗单位,表示病员体温记录的数列
(1),更常用的是如下图象表示形式,:
图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色.当数列项数不太多而又需要明显地表明其变化趋势时(例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等),把数列用图象形式表示出来,无疑是上策.
3.数列的通项
对于习惯于以式作为研究对象的你来讲,最乐意见到的,是数列{an}的第n项an与n(n是正整数)之间的关系可以用一个公式an=f(n),n=1,2,3,…来表示.公式就叫做这个数列的通项公式.
数列的通项公式表示了数列中的任何一项,为了求得第n项,只要把n代入到公式中就行了,而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。
例1根据数列{an},{bn}的通项公式,写出它的前5项:
(1)an=
;
(2)bn=
.
例2写出一个数列的通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)
…;
(2)2,-4,6,-8,….
课练习2
1.怎样表示下面的数列比较合适?
(1)全年按月顺序排列的月降水量;
(2)打靶10次,按打靶顺序排列的中靶环数;
(3)按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列;
(4)一年中12个月的营业额.
2.已知数列的通项,求其前4项:
(1)an=10n;
(2)bn=
;(3)cn=
;(4)dn=n(n+2).
3.已知数列的前4项,试求出其通项公式:
(1)2,-4,6,-8,10,…;
(2)1,-1,1,-1,…;
(3)
…;(4)
….
4.已知数列{an}的通项公式an=
,8.1是这个数列中的项吗?
如果是,是第几项?
小结
作业
教师姓名
授课班级
授课形式
授课日期
授课时数
授课章节
名称
§6.2等差数列
教学目的
掌握等差数列的定义
掌握等差数列的通项公式
掌握等差数列的前n项和公式
能应用等差数列的知识解决一些简单的实际问
教学重点
等差数列的定义
等差数列的通项公式及应用
等差数列的前n项和公式及应用
教学难点
等差数列的概念
应用等差数列解决有关问题
更新、补充、删节容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.等差数列的概念
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d来表示.用符号语言来叙述,则是:
如果数列{an}满足an+1-an=d,(n1,且n∈N+,d是常数),那么数列{an}叫做等差数列,常数d叫做等差数列的公差.
例1下面的数列中,哪些是等差数列?
为什么?
如果是等差数列,求出公差d:
(1)-0.70,-0.71,-0.72,-0.74,-0.76,…;
(2)-9,-9,-9,-9,-9,…;
(3)-1,0,1,0,-1,0,1,…;(4)1,4,7,10,13,….
例2下列数列都是等差数列,试求出其中的未知项:
(1)3,a,5;
(2)3,b,c,-9.
课练习1
1.下面的数列中,哪些是等差数列?
为什么?
如果是等差数列,求出公差d:
(1)-1,-1,-1,-1,…;
(2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…;
(3)-3
-1,1
4,6
…;(4)1,0,1,0,1,…;
(5)1,
….
2.已知下列数列是等差数列,试在括号填上适当的数:
(1)(),5,10;
(2)31,(),(),1.
3.已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
(1)将数列中的前m项去掉,余下的项按原来顺序组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?
如果是,它的首项与公差分别是多少?
(2)取出数列中的所有奇数项,按原来顺序组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?
如果是,它的首项和公差分别是多少?
(3)取出数列中所有项数为7的倍数的各项,按原来顺序组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?
如果是,它的首项与公差各是多少?
2.等差数列的通项公式
设{an}是等差数列,首项是a1,公差是d.根据等差数列的定义,从第2项起,,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,于是有
a2-a1=d,a2=a1+d;a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d;a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d;…
依次类推,得到
an=a1+(n-1)d,n=1,2,3,….
例3
(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
例4第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行,届数照算.
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;
(2)2008年奥运会是第几届?
(3)2050年举行奥运会吗?
例5某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm,求中间四个滑轮的直径.
3.等差中项
如果a,A,b这三个数成等差数列,即A-a=b-A,则A必定是a,b的算术平均值
A=
.
从数列的角度来看,A是成等差三个数的中间一项,故把A叫做a与b的等差中项.反之,若A由A=
确定,则A-a=b-A=
,即a,A,b成等差数列.
在一个等差数列{an}中,相邻三项总是等差的,因此从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即
an=
(n2).
例6已知两个数a=205,b=315,求它们的的等差中项.
课练习2
1.求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项.
2.等差数列的通项公式为an=-2n+7,试求其首项和公差.
3.在等差数列{an}中,已知a3=10,a9=28,求a12.
4.梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽度.
5.-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?
如果是,是第几项?
如果不是,说明理由.
6.在通常情况下,从地面到10km高空,高度每增加1km,气温就下降某一固定数值,如果高度为1km处的气温是8.5,5km处的气温是-17.5,求高度为2km、4km、8km处的气温.
7.已知数列{an}是公差为d的等差数列,bn=an+c,(c为常数),试证明数列{bn}也是等差数列,并求其公差.
4.等差数列的前n项和
现设{an}为一等差数列,欲求其前n项的和Sn=a1+a2+…+an.以
a2=a1+d,a3=a1+2d,…,an=a1+(n-1)d
代入,得
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]=na1+[(1+2+3+…+(n-1)]d.
应用(11-2-3),
Sn=na1+
d;
因为na1+
d=n
=
,
故Sn=
.
即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半.
即为等差数列前n项求和公式.两个公式虽说可以互化,但在不同场合还是应该有所选择.
例7
(1)求正奇数前100项之和;
(2)求第101个正奇数到第150个正奇数之和;
(3)等差数列的通项公式为an=100-3n,求前65项之和;
(4)在等差数列{an}中,已知a1=3,d=
,求S10.
例8某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:
m)分别是:
7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500,他在7天共跑了多少米?
例9在例8中那位长跑运动员的教练,规定第一期训练计划为跑完150000m.问第一期需要多少天?
例10某人以分期付款方式购买了一套住房,售价50万元.首期付20万元,余款按月归还一次,在20年还清,欠款以利率0.5%按月计算利息,并平均加到每月还款额上.问此人每月要付多少购房款?
最终实际为住房付了多少款?
例12设等差数列{an}的公差d=
an=
前n项之和Sn=-
.求首项a1及n.
课练习3
1在等差数列{an}中:
(1)已知an=2-0.2n,求S50;
(2)已知an=
求第10项至第50项的和S;
(3)已知a1=100,d=-2,求S50;(4)a1=14.5,d=0.7,求S32.
2.设{an}是等差数列,a1=
n=34,Sn=-158
,求an和公差d.
3.在一个成等腰梯形屋面上铺瓦,最上面一层铺了21块,往下每一层多铺2块,共铺了19层,问共铺了多少块瓦片?
4.一个剧场设置了20排座位,第一排38个座位,往后每一排都比前一排多3个座位.这个剧场一共设置了多少个座位?
5.已知一个等差数列{bn}的首项b1=-35,公差d=7,这个数列的前多少项和恰好为0?
6.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元,购买时先付150万元,以后每月都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问:
分期付款的第10个月应该付多少钱?
全部贷款付清后,买这40套住房实际花了多少钱?
小结:
作业:
教师姓名
授课班级
授课形式
授课日期
授课时数
授课章节
名称
§6.3等比数列
教学目的
等比数列的定义
等比数列的通项公式及应用
等比数列的前n项和公式及应用
教学重点
掌握等比数列的定义
掌握等比数列的通项公式
掌握等比数列的前n项和公式
教学难点
能应用等比数列的知识解决一些简单的实际问题
等比数列的概念
应用等比数列解决有关问题
更新、补充、删节容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q,(q0)表示.
用数学符号语言来说,如果数列{an}满足
=q,(n1,且nN+,q0,q是常数),那么数列{an}叫做等比数列,常数q叫做等比数列的公比.
例1下面是数列{an}的前4项,据此判断哪些是等比数列?
为什么?
如果是等比数列,求出公比q:
(1)-1,-4,-16,-64,…;
(2)2,2,2,2,…;
(3)1,
…;(4)0,1,2,22,23,24,….
例2求出下列等比数列中的未知项:
(1)2,a,8,(a>0);
(2)4,b,c,
.
课练习1
1.下面是数列{an}的前4项,由此判断哪些是等比数列?
为什么?
如果是等比数列,求出公比q:
(1)0,0,0,0,…;
(2)1.21,1.331,1.4641,1.51051,…;
(3)
0.1,10,100,….
2.已知下列数列是等比数列,试在括号填上适当的数:
(1)(),3,27;
(2)16,(),(),2.
3.已知{an}是无穷等比数列,公比为q:
(1)将数列{an}中的前k项去掉,剩余各项按原来顺序组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?
如果是,它的首项与公比各是多少?
(2)取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗?
(3)数列{an}中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗?
如果是,它的公比是多少?
2.等比数列的通项公式
等差数列有通项公式,等比数列有没有通项公式?
设{an}是一个公比为q的等比数列.根据等比数列的定义,从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于公比q,所以每一项都等于它的前一项乘以公比q,于是有
a2=a1q;a3=a2q=(a1q)q=a1q2;a4=a3q=(a1q2)q=a1q3;….
依次类推可得an=a1qn-1,n=1,2,3,….(a10,q0)
即为所求的通项公式,其中首项为a1,公比为q.
例3已知等比数列{an}2,6,18,54,…,求其公比q,a5和an.
例4在等比数列{bn}中,
(1)已知b1=3,q=2,求b6;;
(2)已知b3=20,b6=160,求bn.
例4培育水稻新品种,如果第一代得到120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120种子,到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒?
(保留两个有效数字)?
3.等比中项
与等差中项类似,在等比问题中也有等比中项.若a,G,b三个数成等比,则把中间那个项G叫做a,b的等比中项.
任何两个数均存在他们的等差中项,且等差中项是唯一的.是否任何两个数都存在等比中项?
两个数的等比中项也唯一吗?
从等比中项定义可知,两个数a,b的等比中项G应满足
,G2=ab.
这表明当且仅当两个同号的数a,b才有等比中项;当a,b同号时,其等比中项为
G=
.
一个等比数列,从第2项起每一项(有穷等比数列的末首项除外),是它的前一项与后一项的等比中项,即
=an-1an+1,an=
或an=-
.
例5求5与125的正等比中项.
课练习2
1.设0.3,0.09,0.027,...为一等比数列{bn}的前3项,求其公比q及第5项和第n项.
2.已知等比数列的通项公式an=
10n,求其首项与公比.
3.在等比数列{an}中,a3=2,a6=18,求q与a10.
4.求3与27的等比中项.
5.细胞以分裂方式繁殖,一个细胞成熟后分裂成2个.设某种细胞最初有10个,繁殖周期是1小时,且不考虑细胞的死亡,那么在一昼夜之后将有多少个细胞(保留2位有效数字)?
6..某林场计划第一年造林15公顷,以后每年比前一年多造林20%,第5年应造林多少公顷(结果保留到个位)?
7.在9与243中间插入两个数,使它们与这两个数成等比数列.
5.等比数列的前n项和
对一般的等比数列{an},若要求其前n项的和Sn,
Sn=a1(1+q+q2+...+qn-1),qSn=a1(q+q2+q3+...+qn-1+qn),
两式相加后即可解出Sn=
.
轻而易举地得到了求等比数列前n项和的公式.因为a1qn=anq,公式也能变形为
Sn=
.
例8在等比数列{an}中,
(1)已知a1=-4,q=
,求前10项的和S10;
(2)已知a1=1,ak=243,q=3,求前k项的和Sk.
例9某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
例10已知等比数列{an}中的a2=5,a5=40,求其前7项之和S7.
课练习3
1.在等比数列{an}中,a1=3,q=2,求前5项的和S5.
2.求等比数列1,3,9,…,2187的和.
3.求等比数列
…的前8项的和.
4.某养鸡专业户今年向农贸市场出售肉鸡1000只,计划近几年的出售量平均比上一年增长8%,那么从今年起,大约几年可以使总出售量达到4500只?
5.在等比数列{an}中:
(1)已知q=
S5=3
,求a1与a5;
(2)a1=2,S3=26,求q与a3;
(3)已知a3=1
S3=4
,求a1与q.
6.水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.全国约有9100万亩的坡耕地需要退耕还林,其中西部地区占70℅.国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12℅,那么从2000年起到2005年底,西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到万亩)?
课练习
1.在等比数列{cn}中:
(1)c4=27,q=-3,求c7;
(2)若c3=-1,c6=-8,求公比q及c10;
(3)若c7=-
c2=25,求公比q及c1.
2.已知{xn}为等比数列,x7=2,x17=2048,求x12.
3.求3与27的等比中项.
4.求等比数列1,-
-
...的前8项之和.
小结:
作业:
教师姓名
授课班级
授课形式
授课日期
授课时数
授课章节
名称
§6.4数列的实际应用
教学目的
通过实际应用加深对数列的概念及公式的理解与掌握
教学重点
等比数列的应用
教学难点
等比数列的应用
更新、补充、删节容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
例6某企业要在今年起的今后10年,把产值翻一番,那么平均每年增值率应为多少?
解设今年产值为a,平均每年增值x%=
.则各年的产值依次为
a,a(1+
),a(1+
)2,a(1+
)3,...,a(1+
)10.
据企业要求x应满足
a(1+
)10=2a,(1+
)10=2,x=100(
-1)7.18.
所以,为了使企业在今后10年把产值翻一番,每年平均增值应不小于7.18%.
例9某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
解根据题意,每年销售量从上一年增加的百分率相同,所以从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列{an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1;设销售量达30000台须n年,则
30000=
,即1.1n=1.6,n=
5(年).
所以约5年可以使总销售量达到30000台.
例2从一个边长为a的原始正方形开始,每次把它分成四个小正方形、取其中一个(见图1).证明所有这些正方形面积的和S等于原始正方形面积的三分之四.
证明原始正方形面积A1=a2;
第一次剖分后正方形边长为
,面积A2=
a2;
第二次剖分后正方形边长为
,面积A3=
a2;
第三次剖分后正方形边长为
,面积A4=
a2;…
所以正方形系列的面积{An}是一个公比为
的无穷递缩
等比数列.
小结:
作业: