中职数学数列教案.docx
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中职数学数列教案
中职数学数列教案
教师姓名
刘少华
授课班级
2014级
授课形式
授课日期
授课时数
2
授课章节
名称
§6.1数列
教学目的
1.了解数列的定义，掌握与数列有关的一些术语
2.了解数列各种表示法及适用场合
3.对已知通项公式的数列，能写出任意项
教学重点
数列的定义
数列通项公式的定义
数列的各种表示法
教学难点
对数列的认识
数列的表示
正确运用数列的通项公式
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入：
新授：
1.数列的定义
我们把按一定次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．
数列的一般形式可以写成
a1,a2,a3,…,an,….
简记作{an}．其中a1叫做数列的第1项（或首项），a2叫做数列的第2项,…，an叫做数列的第n项（n是正整数）．
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
课内练习1
2.数列的表示形式
数列除了表示成上述形式以外，根据实际情况需要，只要不改变有序这个特，也能以其他形式表示．例如体温记录数列
（1），表示成下面的表可能更合适：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
体温
39.8
40.1
38.6
38.8
38.3
39.2
37.8
38.6
37.2
37.6
36.8
37.0
当一个有穷数列，随着项号变化，其对应的项的变化没有规律，且数据又要求比较准确时，通常会以列表方式表示．列表表示的一般形式是
序号
1
2
3
…
n
…
项
a1
a2
a3
…
an
…
在医疗单位，表示病员体温记录的数列
（1），更常用的是如下图象表示形式，：
图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色．当数列项数不太多而又需要明显地表明其变化趋势时（例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等），把数列用图象形式表示出来，无疑是上策．
3.数列的通项
对于习惯于以式作为研究对象的你来讲，最乐意见到的，是数列{an}的第n项an与n（n是正整数）之间的关系可以用一个公式an=f（n）,n=1,2,3,…来表示.公式就叫做这个数列的通项公式．
数列的通项公式表示了数列中的任何一项，为了求得第n项，只要把n代入到公式中就行了，而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。
例1根据数列{an},{bn}的通项公式，写出它的前5项：
（1）an=
；
（2）bn=
．
例2写出一个数列的通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）
…；
（2）2,-4,6,-8,…．
课内练习2
1.怎样表示下面的数列比较合适？
（1）全年按月顺序排列的月降水量；
（2）打靶10次，按打靶顺序排列的中靶环数；
（3）按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列；
（4）一年中12个月的营业额．
2.已知数列的通项，求其前4项：
（1）an=10n；
（2）bn=
；（3）cn=
；（4）dn=n（n+2）．
3.已知数列的前4项，试求出其通项公式：
（1）2,-4,6,-8,10,…；
（2）1,-1,1,-1,…；
（3）
…；（4）
…．
4.已知数列{an}的通项公式an=
，8.1是这个数列中的项吗？
如果是，是第几项？
小结
作业
教师姓名
授课班级
授课形式
授课日期
授课时数
授课章节
名称
§6.2等差数列
教学目的
掌握等差数列的定义
掌握等差数列的通项公式
掌握等差数列的前n项和公式
能应用等差数列的知识解决一些简单的实际问
教学重点
等差数列的定义
等差数列的通项公式及应用
等差数列的前n项和公式及应用
教学难点
等差数列的概念
应用等差数列解决有关问题
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入：
新授：
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．公差通常用字母d来表示．用符号语言来叙述，则是：
如果数列{an}满足an＋1-an=d,（n≥1，且n∈N+,d是常数），那么数列{an}叫做等差数列，常数d叫做等差数列的公差．
例1下面的数列中，哪些是等差数列？
为什么？
如果是等差数列，求出公差d：
（1）-0.70，-0.71，-0.72，-0.74，-0.76，…；
（2）-9，-9，-9，-9，-9，…；
（3）-1，0，1，0，-1，0，1，…；（4）1，4，7，10，13，….
例2下列数列都是等差数列，试求出其中的未知项：
（1）3，a，5；
（2）3，b，c，-9．
课内练习1
1.下面的数列中，哪些是等差数列？
为什么？
如果是等差数列，求出公差d：
（1）-1,-1,-1,-1,…；
（2）1.1,1.11,1.111,1.1111,…；
（3）-3
-1,1
4,6
…；（4）1,0,1,0,1,…；
（5）1,
….
2.已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（1）（）,5,10；
（2）31,（）,（）,1．
3.已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d．
（1）将数列中的前m项去掉，余下的项按原来顺序组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？
如果是，它的首项与公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？
如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？
如果是，它的首项与公差各是多少？
2.等差数列的通项公式
设{an}是等差数列，首项是a1，公差是d．根据等差数列的定义，从第2项起，，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，于是有
a2-a1=d，a2=a1+d；a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d；a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d；…
依次类推，得到
an=a1+（n-1）d,n=1,2,3,…．
例3
（1）求等差数列8,5,2,…的第20项；
（2）在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31，求首项a1与公差d．
例4第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算．
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？
（3）2050年举行奥运会吗？
例5某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径．
3.等差中项
如果a,A,b这三个数成等差数列，即A-a=b-A，则A必定是a,b的算术平均值
A=
.
从数列的角度来看，A是成等差三个数的中间一项，故把A叫做a与b的等差中项．反之，若A由A=
确定，则A-a=b-A=
，即a,A,b成等差数列．
在一个等差数列{an}中，相邻三项总是等差的，因此从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，即
an=
（n≥2）．
例6已知两个数a=205,b=315，求它们的的等差中项．
课内练习2
1.求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项．
2.等差数列的通项公式为an=-2n+7，试求其首项和公差．
3.在等差数列{an}中，已知a3=10,a9=28，求a12．
4.梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度.
5.-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由．
6.在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一固定数值，如果高度为1km处的气温是8.5︒，5km处的气温是-17.5︒，求高度为2km、4km、8km处的气温．
7.已知数列{an}是公差为d的等差数列，bn=an+c,（c为常数），试证明数列{bn}也是等差数列，并求其公差．
4.等差数列的前n项和
现设{an}为一等差数列，欲求其前n项的和Sn=a1+a2+…+an．以
a2=a1+d,a3=a1+2d,…,an=a1+（n-1）d
代入，得
Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-1）d]=na1+[（1+2+3+…+（n-1）]d．
应用（11-2-3），
Sn=na1+
d；
因为na1+
d=n
=
，
故Sn=
．
即等差数列的前n项和等于首末项的和与项数乘积的一半．
即为等差数列前n项求和公式．两个公式虽说可以互化，但在不同场合还是应该有所选择．
例7
（1）求正奇数前100项之和；
（2）求第101个正奇数到第150个正奇数之和；
（3）等差数列的通项公式为an=100-3n,求前65项之和；
（4）在等差数列{an}中，已知a1=3,d=
，求S10．
例8某长跑运动员7天里每天的训练量（单位:
m）分别是：
7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500，他在7天内共跑了多少米？
例9在例8中那位长跑运动员的教练，规定第一期训练计划为跑完150000m．问第一期需要多少天？
例10某人以分期付款方式购买了一套住房，售价50万元．首期付20万元，余款按月归还一次，在20年内还清，欠款以利率0.5%按月计算利息，并平均加到每月还款额上．问此人每月要付多少购房款？
最终实际为住房付了多少款？
例12设等差数列{an}的公差d=
an=
前n项之和Sn=－
．求首项a1及n．
课内练习3
1在等差数列{an}中:
（1）已知an=2-0.2n,求S50；
（2）已知an=
求第10项至第50项的和S；
（3）已知a1=100,d=-2,求S50；（4）a1=14.5,d=0.7,求S32．
2.设{an}是等差数列，a1=
n=34,Sn=-158
，求an和公差d．
3.在一个成等腰梯形屋面上铺瓦，最上面一层铺了21块，往下每一层多铺2块，共铺了19层，问共铺了多少块瓦片？
4.一个剧场设置了20排座位，第一排38个座位，往后每一排都比前一排多3个座位.这个剧场一共设置了多少个座位？
5.已知一个等差数列{bn}的首项b1=-35，公差d=7，这个数列的前多少项和恰好为0？
6.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买时先付150万元，以后每月都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问：
分期付款的第10个月应该付多少钱？
全部贷款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
小结：
作业：
教师姓名
授课班级
授课形式
授课日期
授课时数
授课章节
名称
§6.3等比数列
教学目的
等比数列的定义
等比数列的通项公式及应用
等比数列的前n项和公式及应用
教学重点
掌握等比数列的定义
掌握等比数列的通项公式
掌握等比数列的前n项和公式
教学难点
能应用等比数列的知识解决一些简单的实际问题
等比数列的概念
应用等比数列解决有关问题
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入：
新授：
1.等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q,（q≠0）表示．
用数学符号语言来说，如果数列{an}满足
=q,（n≥1,且n∈N+,q≠0,q是常数），那么数列｛an｝叫做等比数列，常数q叫做等比数列的公比．
例1下面是数列{an}的前4项，据此判断哪些是等比数列？
为什么？
如果是等比数列，求出公比q：
（1）-1,-4,-16,-64,…；
（2）2,2,2,2,…；
（3）1,
…；（4）0,1,2,22,23,24,…．
例2求出下列等比数列中的未知项：
（1）2,a,8,（a>0）；
（2）4,b,c,
．
课内练习1
1.下面是数列{an}的前4项，由此判断哪些是等比数列？
为什么？
如果是等比数列，求出公比q：
（1）0,0,0,0,…；
（2）1.21,1.331,1.4641,1.51051,…；
（3）
0.1,10,100,…．
2.已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：
（1）（）,3,27；
（2）16,（）,（）,2．
3.已知{an}是无穷等比数列，公比为q：
（1）将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项按原来顺序组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？
如果是，它的首项与公比各是多少？
（2）取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？
（3）数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？
如果是，它的公比是多少？
2.等比数列的通项公式
等差数列有通项公式，等比数列有没有通项公式？
设{an}是一个公比为q的等比数列．根据等比数列的定义，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于公比q，所以每一项都等于它的前一项乘以公比q，于是有
a2=a1q；a3=a2q=（a1q）q=a1q2；a4=a3q=（a1q2）q=a1q3；…．
依次类推可得an=a1qn-1,n=1,2,3,…．（a1≠0,q≠0）
即为所求的通项公式,其中首项为a1,公比为q．
例3已知等比数列{an}2,6,18,54,…，求其公比q,a5和an．
例4在等比数列{bn}中，
（1）已知b1=3,q=2，求b6；；
（2）已知b3=20,b6=160，求bn．
例4培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？
（保留两个有效数字）？
3.等比中项
与等差中项类似，在等比问题中也有等比中项．若a,G,b三个数成等比，则把中间那个项G叫做a,b的等比中项．
任何两个数均存在他们的等差中项，且等差中项是唯一的．是否任何两个数都存在等比中项？
两个数的等比中项也唯一吗？
从等比中项定义可知，两个数a,b的等比中项G应满足
，G2=ab．
这表明当且仅当两个同号的数a,b才有等比中项；当a,b同号时，其等比中项为
G=±
．
一个等比数列，从第2项起每一项（有穷等比数列的末首项除外），是它的前一项与后一项的等比中项，即
=an-1⋅an+1，an=
或an=-
．
例5求5与125的正等比中项．
课内练习2
1.设0.3,0.09,0.027,...为一等比数列{bn}的前3项，求其公比q及第5项和第n项．
2.已知等比数列的通项公式an=
⋅10n，求其首项与公比．
3.在等比数列{an}中，a3=2,a6=18，求q与a10．
4.求3与27的等比中项．
5.细胞以分裂方式繁殖，一个细胞成熟后分裂成2个．设某种细胞最初有10个，繁殖周期是1小时，且不考虑细胞的死亡，那么在一昼夜之后将有多少个细胞（保留2位有效数字）？
6..某林场计划第一年造林15公顷，以后每年比前一年多造林20％，第5年应造林多少公顷（结果保留到个位）？
7.在9与243中间插入两个数，使它们与这两个数成等比数列．
5.等比数列的前n项和
对一般的等比数列{an}，若要求其前n项的和Sn，
Sn=a1（1+q+q2+...+qn-1），qSn=a1（q+q2+q3+...+qn-1+qn），
两式相加后即可解出Sn=
．
轻而易举地得到了求等比数列前n项和的公式．因为a1qn=anq，公式也能变形为
Sn=
．
例8在等比数列{an}中，
（1）已知a1=-4,q=
，求前10项的和S10；
（2）已知a1=1,ak=243,q=3，求前k项的和Sk．
例9某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
例10已知等比数列{an}中的a2=5,a5=40，求其前7项之和S7．
课内练习3
1.在等比数列{an}中，a1=3,q=2，求前5项的和S5．
2.求等比数列1,3,9,…,2187的和．
3.求等比数列
…的前8项的和．
4.某养鸡专业户今年向农贸市场出售肉鸡1000只，计划近几年内的出售量平均比上一年增长8％，那么从今年起，大约几年内可以使总出售量达到4500只？
5.在等比数列{an}中：
（1）已知q=
S5＝3
，求a1与a5；
（2）a1=2,S3=26，求q与a3；
（3）已知a3=1
S3=4
，求a1与q．
6.水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国约有9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70℅．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12℅，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
课内练习
1.在等比数列{cn}中：
（1）c4=27,q=-3，求c7；
（2）若c3=-1,c6=-8，求公比q及c10；
（3）若c7=-
c2=25，求公比q及c1．
2.已知{xn}为等比数列，x7=2,x17=2048，求x12．
3.求3与27的等比中项．
4.求等比数列1,-
-
...的前8项之和．
小结：
作业：
教师姓名
授课班级
授课形式
授课日期
授课时数
授课章节
名称
§6.4数列的实际应用
教学目的
通过实际应用加深对数列的概念及公式的理解与掌握
教学重点
等比数列的应用
教学难点
等比数列的应用
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入：
新授：
例6某企业要在今年起的今后10年内，把产值翻一番，那么平均每年增值率应为多少？
解设今年产值为a，平均每年增值x%=
．则各年的产值依次为
a,a⋅（1+
）,a（1+
）2,a（1+
）3,...,a（1+
）10．
据企业要求x应满足
a（1+
）10=2a，（1+
）10=2，x=100（
-1）≈7.18．
所以，为了使企业在今后10年内把产值翻一番，每年平均增值应不小于7.18%．
例9某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
解根据题意，每年销售量从上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5000,q=1+10%=1.1；设销售量达30000台须n年，则
30000=
，即1.1n=1.6，n=
≈5（年）．
所以约5年内可以使总销售量达到30000台．
例2从一个边长为a的原始正方形开始，每次把它分成四个小正方形、取其中一个（见图1）．证明所有这些正方形面积的和S等于原始正方形面积的三分之四．
证明原始正方形面积A1=a2；
第一次剖分后正方形边长为
，面积A2=
a2；
第二次剖分后正方形边长为
，面积A3=
a2；
第三次剖分后正方形边长为
，面积A4=
a2；…
所以正方形系列的面积{An}是一个公比为
的无穷递缩
等比数列．
小结：
作业：
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