中考数学培优专题复习反比例函数练习题附答案doc.docx

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中考数学培优专题复习反比例函数练习题附答案

一、反比例函数

1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y=（3≤x≤）12的一部分，

记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线

y=﹣x2+9水平向右移动

a个单位，

得到抛物线G2．

（1）求双曲线的解析式；

（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为

________；

（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．

（4）解：

在移动过程中，若

G1与G2有两个交点，设

G2的对称轴分别交线段

DE和G1于

M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．

【答案】

（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y=得，解得，

所以双曲线的解析式为y=；

（2）2

（3）解：

把（6，n）代入y=得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，

把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6±

，

即a的值为6±

；

（4）抛物线G2

的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，

把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣

或a=3+

；

把E（12，1）代入

y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得

a=12﹣2

或a=12+2

；

∵G1

2

与G有两个交点，

∴3+

≤a≤﹣12

，

设直线DE的解析式为

y=px+q，

把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，

∴直线DE的解析式为y=﹣x+5，

∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，

∴M（a，﹣a+5），N（a，），

∵MN＜，

∴﹣a+5﹣＜，

整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，

∴a＜4或a＞9，

∴a的取值范围为

9＜a≤12﹣2

．

【解析】【解答】解：

（

2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），

而D（3，4），

所以BE=

=2

．

故答案为2

；

【分析】

（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y=得关于k、m的方程组，然后解方

程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；

（2）先解方程﹣x2+9=0得

到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用

反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x

﹣a）2+9得a的值；（4）分别把

D点和E点坐标代入

y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用

图象和G1与G2有两个交点可得到

3+≤a≤﹣122

，再利用待定系数法求出直线

DE的

解析式为y=﹣x+5，则M（a，﹣a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣a+5

﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．

2．已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A，B，C，D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方

形．例如：

如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y=（k＞0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，

m）（m＜2）在反比例函数图象上，求

m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数

y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为

ABCD，C、D中的一

个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标

________，写出符合

题意的其中一条抛物线解析式

________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇

数还是偶数________．

【答案】

（1）解：

如图1，

当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，

∵OC=0D=1，

∴正方形ABCD的边长CD=；∠OCD=∠ODC=45，°

当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，

设小正方形的边长为a，

易得CL=小正方形的边长=DK=LK，故3a=CD=．

解得a=，所以小正方形边长为，

∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或

（2）解：

如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，

易知△ADE≌△BAO≌△CBF

此时，m＜2，DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2﹣m，

∴OF=BF+OB=2，

∴C点坐标为（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m），解得m=1．

反比例函数的解析式为y=．

（3）（3，4）；y=﹣

x2+；偶数

【解析】【解答】解：

（

3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在

（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（

3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：

另外一个顶点

为（4，1），对应的函数解析式是

y=﹣x2+；

②当点A在x轴正半轴上，点

B在y轴正半轴上，点

D坐标为（3，4）时：

不存在，

③当点A在x轴正半轴上，点

B在y轴负半轴上，点

C坐标为（3，4）时：

不存在

④当点A在x轴正半轴上，点

B在y轴负半轴上，点

D坐标为（3，4）时：

另外一个顶点

C为（﹣

⑤当点

1，3），对应的函数的解析式是

A在x轴负半轴上，点B在y

y=x2+；轴负半轴上，点

D坐标为（

3，4）时，另一个顶点

C

的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣

⑥当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点

；

C坐标为（

3，4）时，另一个顶点

D

的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y=x2+；

∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，

∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．

【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A，B分别是x

轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点。

（1）一次函数y=x+1的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；

（2）由于ABCD是正方形，添加辅助线，作DE，CF分别垂直于x、y轴，得到的等腰直角

三角形都是全等的，再利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标，从而可以求解；

（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点

也在抛物线上，这个点可能在（3，4）的左侧，也可能在（3，4）的右侧，因此过点（3，4）作x轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长，即可求出抛物线上另一个点的坐

标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。

3．给出如下规定：

两个图形G和G

，点P为G

上任一点，点Q为G

上任一点，如果

1

2

1

2

线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形

G1

2

之间的距离．在平面直角坐

和G

标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C

（﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；

（2）如果直线y=x+1和双曲线y=之间的距离为，那么k=________；（可在图1中

进行研究）

（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在

坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．

①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以

用阴影表示）．

②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形

N，请求出图形W和图形N之间的距离．

【答案】

（1）3；

（2）﹣4

（3）解：

①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF

垂直），

；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣x，OG所在直线解析式为y=x，

由得，即点M（﹣，），

由得：

，即点N（﹣，），

则﹣≤x≤﹣，

图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，

d=

=

=

∴当x=﹣时，d的最小值为=，

即图形W和图形N之间的距离．

【解析】【解答】解：

（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线

OA之间的距离为=，

故答案分别为：

3，；

（2）直线y=x+1和双曲线y=kx之间的距离为，

∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y=相交，它们之间的距离为0）．

过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y=交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图

1，

由得，即点F（﹣，），

则OF==，

∴OE=OF+EF=2，

在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2，

则有OG=EG=

OE=2，

∴点E的坐标为（﹣2，2），

∴k=﹣2×2=﹣4，

故答案为：

﹣

4；

【分析】

（1）由题意可得出点

B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定

义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；

（2）根据题意即可得k＜0（否则直线

y=x+1和双曲线y=

kx

相交，它们之间的距离为

0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y=kx

交于点E、F，过点E作EG⊥x

轴，如图1，将其联立即可得点

F坐标，根据两点间距离公式可得

OF长，再由OE=OF+EF

求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点

E的坐标为（﹣2，2），

将E点代入反比例函数解析式即可得出

k值.

（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（

OH、OG分别与OE、OF垂

直）；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣x，OG所在直线解析式为y=x，分别联立即

可得出点

M、N

坐标，从而得出

x取值范围，根据题意图形

N（即线段

MN）上点的坐标

可设为（

x，﹣2x﹣4），从而求出图形

W与图形

N之间的距离为

d，由二次函数性质知

d

最小值.

4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比

例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，

）．

（1）求反比例函数的表达式和m的值；

（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点

D重合，折痕分别与

x轴、y轴正半轴交于点

F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．

【答案】

（1）解：

∵反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），

∴k=3×=2，

∴反比例函数的表达式为y=．

又∵点D（m，2）在反比例函数y=的图象上，

∴2m=2，解得：

m=1

（2）解：

设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，∵点D（1，2），

∴CD=1．

在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，

解得：

x=，

∴点G（0，）．

过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．

由折叠的特性可知：

∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．

∵∠CGD+∠CDG=90，°∠CDG+∠HDF=90，°

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90，°

∴△GCD∽△DHF，

∴=2，

∴DF=2GD=，

∴点F的坐标为（，0）．

设折痕FG所在直线的函数关系式为

y=ax+b，

∴有，解得：

．

∴折痕FG所在直线的函数关系式为

y=﹣

x+

【解析】【分析】

（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出

k值，

再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出

m值；

（2）设OG=x，利用勾股定理即可得

出关于x的一元二次方程，解方程即可求出

x值，从而得出点

G的坐标．再过点

F作

FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段

DF的长

度，从而得出点F的坐标，结合点

G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．

5．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为.

（1）求k的值；

（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；

（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、

M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.

【答案】

（1）解：

把x=代入，得y=，

∴A（，1），

把点代入，解得：

；

（2）解：

∵把y=3代入函数，得x=，

∴C，

设过，两点的直线方程为：

，

把点，，代入得：

，

解得：

，

∴，

设与轴交点为，

则点坐标为，

∴；

（3）解：

设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为

，

∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，

∴点只能在轴上，

∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：

，

根据，即得：

，

解得：

.

故点坐标为：

或.

【解析】【分析】

（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；

（2）先求出C

点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根

据

求解即可；（

3）设

点坐标

，根据题意用关于

a的式子表示出

N的坐标，再根据菱形的性质得

，求出a的值即可.

6．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相

交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD

的面积为2.

（1）求

的值及

=4时

的值；

（2）记

表示为不超过

的最大整数，例如：

，

，设

若

，求

值

【答案】

（1）解：

设A（x0

0

0

0

，

，y

），则OD=x

，AD=y

∴S△AOD=OD?

AD=x0y0=2，

∴k=x0y0=4；

当x0=4时，y0=1，

∴A（4，1），

代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1

（2）解：

∵，

∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，

∵A的横坐标为x0，

∴mx02+5x0=4，

当y=0时，mx+5=0，

x=-，

∵OC=-，OD=x0，

∴m2?

t=m2?

（OD?

DC），

=m2?

x0（--x0），

=m（-5x0-mx02），

=-4m，

∵-＜m＜-，∴5＜-4m＜6，

∴[m2?

t]=5

【解析】【分析】

（1）根据反比例函数比例系数

k的几何意义，即可得出

k的值；根据反

比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出

A点的坐标，再将

A点的坐标代入直线

y=mx+5中即可求出m的值；

（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出

mx2+5x-4=0，将A点的横坐标

代入得出mx020

22

+5x=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出

OC,OD的长，由m?

t=m?

（OD?

DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。

7．如图，直线y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．

（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；

（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；

（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．

【答案】

（1）解：

把（a，3）代入=－，得，解得a=－2；

（2）解：

连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，

则∠ADO=∠CEO=90°，

∴∠DAO+∠AOD=90，°

∵直线y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，

当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，

∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，

∴△ADO≌△OEC，

又k=－，由y=－x和y=－解得，，所以A点坐标为（－

2，3），

由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，

所以C（-3，-2）；

（3）解：

连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，

则∠ADO=∠CEO=90°，

∴∠DAO+∠AOD=90，°

∵直线y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，

∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60，°∠BOC=90，°即∠COE+∠BOE=90，°∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

∵∠ACO=∠ACB=30，°∠AOC=90，°∴，

∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－n，OD=－m，

∴A（

n，－

m），代入y=－中，

得mn=18.

【解析】【分析】

（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出

a的值；

（2）连接

CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出

∠ADO=∠CEO=90，°故∠DAO+∠AOD=90，°根据双曲线的对称性得出

OA=OB，当CA=CB，

∠ACB=90时°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出

CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出

∠DAO=∠EOC，从而

利用AAS判断出△ADO≌△OEC，，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出

A

点的坐标，由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；

（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，根据垂直的定义得出

∠ADO=∠CEO=90，°故∠DAO+∠AOD=90，°根据双曲线的对称性得出

OA=OB，△ABC为等

边三角形，故CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠