北师大版九年级数学下册全册同步能力提升练习卷共27套.docx
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北师大版九年级数学下册全册同步能力提升练习卷共27套
解直角三角形
能力提升
1在△ABC中,∠B=30°,AC=1,BC=,AB=2,则∠A等于（ ）
A30°B45°
C60°D无法确定
2如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos∠DCA=,BC=10,则AB的值是（ ）
A3B6
C8D9
3如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,∠EDC∶∠EDA=1∶3,且AC=10,则DE的长度是（ ）
AB
CD
（第2题图）
（第3题图）
4如图,在两面墙之间有一个底端在点A处的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在点B处;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在点D处已知∠BAC=60°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=3,点B到地面的垂直距离BC= （结果保留根号）
5如图,一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面,如果这辆吊车支点A距地面的高度AB为2,吊臂AE=33,则吊臂的水平距离AC= ,吊臂的最高点E到地面的高度ED的长为 （结果精确到01）
（第4题图）
（第5题图）
6在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,请根据下列条件解直角三角形
（1）a=5,c=5;
（2）c=4,∠A=60°;
（3）a=6,b=2
7
如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=,AD=1
求:
（1）BC的长;
（2）tan∠DAE的值
创新应用
8
（2014江苏南京中考）如图,梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上,当梯子位于AB位置时,它与地面所成的角∠ABO=60°;当梯子底端向右滑动1（即BD=1）到达CD位置时,它与地面所成的角∠CDO=51°18',求梯子的长（参考数据:
sin51°18'≈0780,cos51°18'≈0625,tan51°18'≈1248）
参考答案
1C ∵12+（）2=22,即AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,
∴∠A=90°-∠B=60°
2B ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA
∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,
∴∠BCA=∠DCA
从而在Rt△ABC中,解得AB=6
3C 由∠EDC∶∠EDA=1∶3,得∠EDC=225°,
∴∠DAO=225°,∴∠DOE=45°
又AC=10,∴OD=5,
∴DE=OD·sin∠DOE=
43 在Rt△DAE中,sin45°=,∴AD=6在Rt△ACB中,sin60°=,∴BC=3
5150 314
6解:
在Rt△ABC中,∠C=90°
（1）∵a=5,c=5,∴sinA=,
∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°,
∴∠A=∠B=45°,∴b=a=5
（2）∵∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30°
∵sinA=,c=4,
∴a=c·sinA=4·sin60°=4=6
∴b==2
（3）∵a=6,b=2,
∴c==4
∵tanA=,∴∠A=60°
∵sinB=,∴∠B=30°
7解:
（1）∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC
在Rt△ABD中,∵sinB=,AD=1,
∴AB=3,∴BD==2
在Rt△ADC中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1
∴BC=2+1
（2）∵AE是BC边上的中线,
∴DE=-1=,
∴tan∠DAE=
8解:
设梯子的长为x
在Rt△ABO中,cos∠ABO=,∴OB=AB·cos∠ABO=x·cos60°=05x（）
在Rt△CDO中,cos∠CDO=,∴OD=CD·cos∠CDO=x·cos51°18'≈0625x（）
∵BD=OD-OB,
∴0625x-05x=1,解得x=8
答:
梯子的长为8
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三角函数的应用
能力提升
1
（2015四川南充中考）如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°,距离灯塔为2海里的点A处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置,海轮航行的距离AB的长是（ ）
A2海里B2sin55°海里
C2cos55°海里D2tan55°海里
2校校园内有一块如图的三角形空地,计划将这块空地建成一个花园,以美化校园环境,预计花园每平方米造价30元,若结果精确到1元,则校建这个花园需投资（ ）
A7800元B7794元
C7900元D8000元
3
如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了05h到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50海里/h,则A,B之间的距离为 （结果精确到01海里参考数据:
≈17）
4如图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景如图②是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图已知BC=064,AD=024,AB=130,则AB的倾斜角α的度数为 （结果精确到1°）
5
如图,张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼风平浪静时,鱼漂露出水面部分AB=6c,微风吹来时,假设铅锤P不动,鱼漂移动了一段距离BC,且顶端恰好与水面平齐（即PA=PC）,水平线l与OC夹角α=8°（点A在OC上）请求出铅锤P处的水深h
6（2015湖北黄冈中考）如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）
创新应用
7
（2015江苏泰州中考）如图,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为i=1∶2,顶部A处的高AC为4,点B,C在同一水平面上
（1）求斜坡AB的水平宽度BC
（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图,其中DE=25,EF=2将货柜沿斜坡向上运送,当BF=35时,求点D距离地面的高度（结果精确到01参考数据:
≈2236）
参考答案
1C
2B 如图,延长AC,作BD⊥AC于点D,
则∠BCD=60°
∵sin∠BCD=,∴BD=15（）
∴三角形的面积为×20×15≈2598
（2）
∴需投资2598×30=7794（元）
3675海里 ∵∠DBA=∠DAB=45°,
∴△DAB是等腰直角三角形,如图,
过点D作DE⊥AB于点E,则DE=AB,
设DE=x海里,则AB=2x海里,
在Rt△CDE中,∠DCE=30°,
则CE=DE=x
在Rt△BDE中,∠DBE=45°,
则DE=BE=x,
由题意得CB=CE-BE=x-x=25,
解得x=,
故AB=25（+1）≈675（海里）
418° 过点A作AF∥DC,分别交BC,NE的延长线于点F,H
∵AD⊥CD,BC⊥CD,∴AD∥BC,
∴四边形AFCD为矩形
∴BF=BC-AD=04（）
在Rt△ABF中,∵sinα=,
∴α≈18°即AB的倾斜角度数约为18°
5解:
∵l∥BC,∴∠ACB=∠α=8°在Rt△ABC中,
∵tanα=,∴BC==42（c）
根据题意,得h2+422=（h+6）2,
∴h=144（c）
答:
铅锤P处的水深约为144c
6
解:
如图,过点C分别作CE⊥AB于点E,作CF⊥AD于点F
在Rt△BCE中,BC=1000,∠CBE=30°,
∴CE=BC=500,
∴AF=500;
在Rt△CDF中,CD=1000,∠DCF=45°,
∴DF=CD·sin∠DCF=×1000=500（）,∴AD=AF+DF=（500+500）,
∴拦截点D处到公路的距离为（500+500）
7解:
（1）∵斜坡AB的坡度为i=1∶2,∴
∵AC=4,∴BC=8
（2）如图,过点D作BC的垂线,垂足为H,交AB于点M
在矩形DEFG中,∠DGM=90°,DG=EF=2,GF=DE=25
∵∠DGM=∠BHM,∠DMG=∠BMH,
∴△DMG∽△BMH,
∴,∴GM=1,
∴FM=15,DM=,
∴BM=FM+BF=5
在Rt△BHM中,BM2=MH2+BH2,BH=2MH,∴MH=,
∴DH=2≈45
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利用三角函数测高
能力提升
1如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5,AB为15（即小颖的眼睛距地面的距离）,那么这棵树的高度是（ ）
AB
CD4
2课外实践活动中,数老师带领生测量校旗杆的高度如图,在A处用测倾器（离地高度15）测得旗杆顶端的仰角为15°,朝旗杆方向前进23到B处,再次测得旗杆顶端的仰角为30°,则旗杆EG的高度为（ ）
A11B115C12D13
3如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15,从点A经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角点C,且俯角α为60°,又从点A测得点D的俯角β为30°,若旗杆底部G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为（ ）
A20B10C15D5
4如图,张华同在校某建筑物的点C处测得旗杆顶部点A的仰角为30°,旗杆底部点B的俯角为45°若旗杆底部点B到建筑物的水平距离BE=9,旗杆台阶高1,则旗杆顶点A离地面的高度为 （结果保留根号）
（第3题图）
（第4题图）
5某兴趣小组用高为12的仪器测量建筑物CD的高度如图,在距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β,在A和C之间选一点B,在B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α测得A,B之间的距离为4,tanα=16,tanβ=12,试求建筑物CD的高度
6（2015浙江义乌中考）如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得电线杆顶端P的仰角是45°,向前走6到达点B,测得电线杆顶端P和电线杆底端Q的仰角分别是60°和30°
（1）求∠BPQ的度数;
（2）求电线杆PQ的高度（结果精确到01参考数据:
≈1414,≈1732）
7（2015四川凉山州中考）如图,在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E恰好看到塔的底部点D,且俯角α=45°,从距离楼底点B1的点P处经过树顶E恰好看到塔顶部点C,且仰角β=30°,已知树高EF=6,求塔CD的高度（结果保留根号）
创新应用
8如图,某习小组为了测量河对岸塔AB的高度,在塔底部B的正对岸点C处,测得仰角∠ACB=30°
（1）若河宽是60,求塔AB的高（结果精确到01参考数据:
≈1414,≈1732）
（2）若河宽BC的长度无法度量,如何测塔AB的高度呢?
小明想出了另外一种方法:
从点C出发,沿河岸CD的方向（点B,C,D在同一平面内,且CD⊥BC）走a,到达D处,测得∠BDC=60°,这样就可以求得塔AB的高度了请你用这种方法求出塔AB的高
参考答案
1A 在Rt△ACD中,∵tan30°=,
∴CD=AD·tan30°=5×（）
∴CE=CD+DE=（）
2D 由题设可知,∠ECD=∠DEC=15°,
∴DE=CD=23（）
在Rt△EFD中,∠EDF=30°,
∴EF=ED=115（）
∴EG=EF+GF=115+15=13（）
旗杆EG的高度为13
3A 如图,∵点G是BC的中点,EG∥AB,∴EG是△ABC的中位线,∴AB=2EG=30（）
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,则BC=AB·tan∠BAC=30×=10（）
在Rt△AFD中,AF=BC=10,∠FAD=30°,则FD=AF·tan∠FAD=10=10（）,综上可得CD=AB-FD=20（）
4（10+3） 如图,作CD⊥AB于点D,
由题意可知,CD=BE=9（）,∠ACD=30°,∠BCD=45°
在Rt△ACD中,tan30°=,
∴AD=CDtan30°=9×=3（）
在Rt△BCD中,∵∠BCD=45°,∠BDC=90°,∴∠CBD=45°
∴BD=CD=9（）∴旗杆顶点A离地面的高度为AD+BD+1=3+9+1=（10+3）（）
5解:
设建筑物CD与EF的延长线交于点G,DG=x
在Rt△DGF中,tanα=,即tanα=
在Rt△DGE中,tanβ=,即tanβ=
∴GF=,GE=
∴EF=
∴4=,解得x=192
∴CD=DG+GC=192+12=204（）
答:
建筑物高为204
6解:
如图,延长PQ交直线AB于点C
（1）∠BPQ=180°-∠PCB-∠PBC=180°-90°-60°=30°
（2）设PQ=x,则QB=QP=x
在△BCQ中,BC=x·cos30°=x（）,QC=x·sin30°=x（）
在△ACP中,CA=CP,则6+x=x+x,解得x=2+6≈95
答:
电线杆PQ的高度约为95
7解:
由题意得∠ADB=∠α=45°,PB=HF=GD=1
∵EF=6,∴EH=EF-HF=5
在Rt△EPH中,∠β=30°,EH=5,
∴PH==5（）
在Rt△EFD中,∠ADB=45°,EF=6,
∴FD=FE=6,∴HG=FD=6,
∴PG=PH+HG=（5+6）
在Rt△CPG中,CG=PG·tanβ=（5+6）×=（5+2）,
∴CD=CG+GD=（6+2）
答:
塔CD的高度为（6+2）
8解:
（1）在Rt△ABC中,∵∠ACB=30°,BC=60,∴AB=BC·tan∠ACB=60×=20≈346（）
即塔AB的高约是346
（2）在Rt△BCD中,
∵∠BDC=60°,CD=a,
∴BC=CD·tan∠BDC=a（）
在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=a×=a（）,即塔AB的高为a
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二次函数
1 二次函数
能力提升
1给出下列函数中（y是x的函数）:
①y=-2x2+1;②y=2（x-1）2;③y=-x+1;④y=（x-1）2+2;⑤y=x2-4x+;⑥y=-其中二次函数有（ ）
A5个B4个
C3个D2个
2下列函数关系中,可以看作二次函数的是（ ）
A多边形的对角线条数与多边形的边数n之间的关系
B正方体的体积V与棱长a之间的关系
C直流电源条件下,电压和电阻的关系
D圆的周长和圆的半径之间的关系
3（2014江苏苏州中考改编）已知二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）,当x=1时y=1,则代数式1-a-b的值为（ ）
A-3B-1
C2D5
4（2014安徽中考）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=
5如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20c,AC与MN在同一条直线上,开始时点A与点N重合让△ABC以2c/s的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y（c2）与时间t（s）之间的函数关系式为
6
山东寿光是全国“冬暖式蔬菜大棚”的发源地,也是中国最大的蔬菜生产基地在冬天为了给蔬菜提供适宜的生长温度,需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图）,则需要塑料布y
（2）与半径R（）的函数关系式是 （不考虑塑料布埋在土里的部分）
7一扇窗户的形状是矩形,中间有两个平行的横档把它分成三个全等的小矩形,用8长的木料制作这个窗户的窗框（包括中间的横档）,设横档长为x,求窗户的面积y
（2）与x（）之间的函数关系式及x的取值范围
创新应用
8如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形,并解答有关问题:
（1）在第n个图中,每一横行共有 块瓷砖,每一竖列共有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与
（1）中的n的函数关系式（不要求写出自变量n的取值范围）
（3）按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值
（4）若黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题（3）中,共需花多少元钱购买瓷砖?
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?
请通过计算说明为什么?
参考答案
1B 根据二次函数的定义,知①②④⑤是二次函数,共4个
2A 选项A的关系式为=n2-n;选项B中V=a3;选项C中U=IR;选项D中C=2πr所以只有A符合二次函数关系式
3B 把x=1,y=1代入解析式,得a+b-1=1,
即a+b=2,故1-a-b=-1
4a（1+x）2
5y=（20-2t）2 重叠部分为等腰直角三角形,它的边长是（20-2t）c,所以面积为y=（20-2t）2
6y=30πR+πR2 塑料布展开后为矩形和两个半圆,所以它的面积等于半圆的周长乘以30加上两个半圆的面积
7解:
y=·x=-2x2+4x由8-4x>0,得x<2,所以x的取值范围是08解:
（1）n+3 n+2
（2）y=（n+3）（n+2）,即y=n2+5n+6
（3）当y=506时,n2+5n+6=506,
即n2+5n-500=0,
解得n1=20,n2=-25（舍去）即n=20
（4）白瓷砖块数是n（n+1）=20×（20+1）=420,黑瓷砖块数是506-420=86购买瓷砖共需86×4+420×3=1604（元）
（5）若黑瓷砖与白瓷砖块数相等,
则n（n+1）=（n2+5n+6）-n（n+1）,化简为n2-3n-6=0,解得n1=,n2=（舍去）
∵n的值不为正整数,
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形
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二次函数的图象与性质
第1课时
能力提升
1（2014宁夏中考）已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（ ）
2已知a<-1,点（a-1,y1）,（a,y2）,（a+1,y3）都在函数y=x2的图象上,则（ ）
Ay1Cy33抛物线y=x2上的点A,B的横坐标分别是-1,2,则A,B两点所在直线为（ ）
Ay=2x+2By=x+4
Cy=-x+2Dy=x+2
4（2015山东临沂中考）定义:
给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点（x1,y1）,（x2,y2）,当x1①y=2x;②y=-x+1;③y=x2（x>0）;④y=-
5
如图,已知函数y=ax2（a≠0）的图象上的点D,C与x轴上的点A（-5,0）和点B（3,0）构成平行四边形ABCD,DC与y轴的交点为E（0,6）则a=
6
（2015山东菏泽中考）二次函数y=x2的图象如图,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在二次函数y=x2的图象上,四边形OBAC为菱形,且∠OBA=120°,则菱形OBAC的面积为
7导线的电阻为R,当导线中有电流通过时,单位时间产生的热量Q与电流强度I之间的关系是Q=RI2（R为定值）,若导线的电阻为1Ω,要产生9J的热量,那电流强度应该为多少?
若家中的插座为10A定量,问是否需要更换,为什么?
创新应用
8先阅读后解答:
已知点A（-1,）,B（-2,n）在二次函数y=-x2的图象上,比较和n的大小
解:
由于当x<0时,y=-x2的函数值y随x的增大而增大,而-1>-2,故>n利用以上的解答信息解答下面的问题:
已知点A（a2+1,）与点B（-1,n）在二次函数y=x2的图象上,试比较和n的大小
参考答案
1C 函数y=ax与y=ax2的交点坐标为（0,0）,（1,a）,结合a>0和a<0时的情况,可知选项C符合条件
2C ∵a<-1,∴a-13D 由题意可得A（-1,1）,B（2,4）将点A,B的坐标分别代入各选项中的解析式检验,可知A,B两点在直线y=x+2上
4①③
5 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB又点A,B的坐标分别为（-5,0）,（3,0）,∴DC=AB=|-5|+3=8∵y=ax2图象的对称轴是y轴,∴CE=DE=CD=4
又点E的坐标为（0,6）,
∴点C的坐标为（4,6）把x=4,y=6代入y=ax2,得6=a×42,解得a=
62 如图,连接BC交OA于点D
∵四边形OBAC为菱形,∴BC⊥OA
∵∠OBA=120°,∴∠OBD=60°,∴OD=BD设BD=t,则OD=t,∴B（t,t）,把B（t,t）代入y=x2,得t2=t,解得t1=0（舍去）,t2=1,∴BD=1,OD=,
∴BC=2BD=2,OA=2OD=2,∴菱形OBAC的面积为×2×2=2
7解:
由题意,得Q=RI2,当Q=9时,代入得9=I2,解得I1=3,I2=-3（舍去）即此时电流强度应该为3A
∵3<10,∴插座不用换
8解:
由于点A（a2+1,）在抛物线y=x2上,而a2+1>0,故点C（-（a2+1）,）也在抛物线y=x2上,且与点A关于y轴对称而-（a2+1）≤-1（当a=0时,-（a2+1）=-1）,且当x<0时,y=x2的函数值y随x的增大而减小,所以≥n
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二次函数的图象与性质
能力提升
1对于二次函数y=（a2+3）x2,下列命题中正确的是（ ）
A对于任意实数x,都有y>0
B当a<0时,抛物线开口向下
C此抛物线的对称轴是y轴,顶点是坐标原点
D当x<0时,y的值随x值的增大而增大
2在二次函数①y=3x2;②y=x2;③y=x2中,它们的图象在同一直角坐标系中的开口大小关系是（ ）
A②>③>①B②>①>③
C③>①>②D③>②>①
3（2015山东泰安中考）在同一坐标系中,一次函数y=-x+n2与二次函数y=x2+的图象可能是（ ）
4（2014广西河池中考）点（x1,y1）,（x2,y2）均在抛物线y=x2-1上,下列说法中正确的是（ ）
A若y1=y2,则x1=x2
B若x1=-x2,则y1=-y2
C若0y2
D若x1y2
5
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为
6（2014四川甘孜州中考）已知抛物线y=x2-k（k>0）的顶点为P,与x轴交于点A,B,且△ABP是等边三角
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