高中三角函数常见题型与解法.docx
《高中三角函数常见题型与解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中三角函数常见题型与解法.docx（47页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法
一、思想方法
1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：
特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：
sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：
α=（α+
β）－β，β=－等。
22
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入协助角。
asinθ+bcosθ=a2b2sin（θ+），这里协助角所在象限由a、b的符号确立，角的值由tan=b确立。
a
（6）全能代换法。
巧用全能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：
利用三角公式进行假名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：
综合法、剖析法、比较法、代换法、相消法、数学概括法。
3、证明三角不等式的方法：
比较法、配方法、反证法、剖析法，利用函数的单一性，利用正、余弦
函数的有界性，利用单位圆三角函数线及鉴别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差别：
察看角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别剖析”。
（2）找寻联系：
运用有关公式，找出差别之间的内在联系。
（3）合理转变：
选择适合的公式，促进差别的转变。
二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目种类多样，变化仿佛复杂，办理这种问
题，注意以下几个方面：
1、三角函数式化简的目标：
项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能
低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思想与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
1
（）（）22．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
22
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
熟习常数“1”的各样三角代换：
1sin2cos2sec2tan2cossecsincos0tan2sin等。
246
注意全能公式的利害：
它可将各三角函数都化为tan的代数式，把三角式转变为代数式．但常常代
2
数运算比较繁。
熟习公式的各样变形及公式的范围，如
sinα=tanα·cosα，1cos2cos2，1costan等。
2sin2
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行起落幂办理，如1cos2sin2，
2
22
1sinsincos，1sinsincos等．从右到左为升幂，这种变形有益用根式的化
2222
简或通分、约分；从左到右是降幂，有益于加、减运算或积和（差）互化。
3、几个重要的三角变换：
sinαcosα可凑倍角公式；
1±cosα可用升次公式；
1±sinα可化为1
cos
2
，再用升次公式；
asinbcos
a2
b2
sin
（此中tan
b）这一公式应用宽泛，娴熟掌握。
a
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数
y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=
cotx的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线获得的，所以应娴熟掌握三角函数线并能应用它解决一些
有关问题．
5、三角函数的图像的掌握表此刻：
掌握图像的主要特色（极点、零点、中心、对称轴、单一性、渐
近线等）；应该娴熟掌握用“五点法”作图的基来源理以及迅速、正确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论：
①函数
＋φ是奇函数
k
k
Z
。
y=sin（x）
②函数y=sin（x＋φ）是偶函数
k
2
k
Z
。
③函数y=cos（x＋φ）是奇函数
k
2
k
Z
。
④函数y=cos（x＋φ）是偶函数
k
kZ
。
7、三角函数的单一性
三、典型例题与方法
题型一三角函数的观点及同角关系式
此类题主要观察三角函数引诱公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必需的分类议论以及三角函
数值符号的正确选用。
1、三角函数的六边形法例。
2、几个常用关系式：
（1）
，三式知一求二。
2
（2）1
sin
1sin
。
2
（3）当x0,时，有sinxxtanx。
2
3、引诱公式（奇变偶不变，符号看象限）。
4、
。
5、熟记关系式
sin
x
cos
x
cosx
；cosx
sin
x
。
4
4
4
4
4
【例1】记cos（
80）
k,那么tan100
（
）
A、
1
k2
B、﹣
1
k2
C、
k
k
k
k
k2
D、﹣
1
1k2
解：
sin80o
1
cos280o
1
cos2（
80o）
1k2
tan100
tan80
osin80o
1
k2
.。
应选B
cos80o
k
评注：
本小题主要观察引诱公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转变思想的应用。
同时娴熟掌握三角函数在各象限的符号。
【例2】cos300
（
）
A、
3
1
1
3
B、-
C、
D、
2
2
2
2
解：
cos300
cos36060
cos60
1
2
评注：
本小题主要观察引诱公式、特别三角函数值等三角函数知识。
练习：
1、sin585°的值为（）
2
B、
2
3
3
A、
C、
2
D、
2
2
2
2、以下关系式中正确的选项是（）
A、sin110cos100sin1680B、sin1680sin110cos100
C、sin110sin1680cos100D、sin1680cos100sin110
3、若sin
4
0，则cos
．
tan
5
1
4、“
2k（k
Z）”是“cos2
”的（）
6
2
A、充足而不用要条件
B、必需而不充足条件
C、充足必需条件
D、既不充足也不用要条件
5、若cos
2sin
5,则tan
（
）
A、1
B、2
C、
1
D、2
2
2
题型二化简求值
这种题主要观察三角函数的变换。
解此类题应依据考题的特色灵巧地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和引诱公式，进行化简、求值。
【例3】已知
为第三象限的角，
cos2
3
2）
。
则tan（
5
4
解：
为第三象限的角
2k
<<
3
2k
2
4k
2
<2
<4k
3
（K
Z）
又cos2
3
<0,
sin2
4
5
5
tan2
sin2
4
cos2
3
tan
tan2
1
4
1
tan（
2
）
4
3
4
.
4
1
tan
tan2
1
7
4
3
评注：
此题主要观察了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵巧运用。
是一道综合性较强的题目。
【例4】已知tan
2
，求
（1）cos
sin
；
（2）sin2
sin.cos2cos2
的值。
sin
cos
sin
cos
sin
1
1
tan
1
2
cos
32
2；
解：
（1）
sin
sin
1
tan
1
2
cos
1
cos
2
2
sin2
sin
cos2cos2
（2）sin
sin
cos
2cos
sin2
cos2
sin2
sin
2
2
22
4
2
cos2
cos
sin2
1
2
1
3
cos2
评注：
利用齐次式的结构特色（假如不具备，经过结构的方法获得），进行弦、切互化，就会使解题过程
简化。
练习：
1、已知tan
2，则sin2
sincos
2cos2
4
5
3
4
A、
B、
C、
D、
3
4
4
5
2、函数f（x）
sinxcosx最小值是（
）
A、-1
1
C、
1
D、1
B、
2
2
3、“sin
1”是“cos2
1”的（
）
2
2
A、充足而不用要条件
B、必需而不充足条件
C、充要条件
D、既不充足也不用要条件
题型三
函数
的图像及其性质
图像变换是三角函数的观察的重要内容，解决此类问题的要点是理解
A、
的意义，特别是
的
判断，以及伸缩变换对
的影响。
【例5】为了获得函数ysin（2x
）的图像，只需把函数
y
sin（2x
）的图像（
）
3
6
A、向左平移
个长度单位
B、向右平移
个长度单位
4
4
C向左平移
个长度单位
D向右平移
2
个长度单位
2
解：
ysin（2x
）=sin2（x
），
6
12
y
sin（2x
）=sin2（x
），
3
6
将ysin（2x
）的图像向右平移
个长度单位获得
y
sin（2x）的图像，
6
4
3
应选B.
评注：
此题主要观察三角函数的图象变换中的平移变换、
伸缩变换，特别是函数yAsin（
x）中的
对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的要点。
【例6】设>0,函数y=sin（x+
）+2的图像向右平移
4
个单位后与原图像重合，则
的最小值是
（）
A、
解：
2
B、
3
将y=sin（
3
3
4
C、3
D、3
3
2
4
x+
）+2
的
图
像
向
右
平
移
单
位
后
为
个
4
3
4
3
ysin[（x
）
]2sin（x
）2
3
3
3
3
4
3k
=2k
即
3
0，
2
又
k≥1
故
3k
≥
3，
所以选C
22
评注：
此题观察了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，观察了同学们对三角函数图像知识灵巧掌握的程度。
【例7】函数f（x）
（1
3tanx）cosx的最小正周期为（
）
A、
2
3
C、
D、
B、
2
2
【答案】A
【分析】由f（x）
（1
3tanx）cosx
cosx
3sinx
2sin（x
）可得最小正周期为
2
6
【例8】函数y
2cos2x
sin2x的最小值是_____________________。
【答案】1
2
【分析】f（x）cos2x
sin2
x
1
2sin（2x
）
1
，所以最小值为：
1
2
4
【例
】若函数f（x）
（1
3tanx）cosx，
0
x
，则f（x）的最大值为（
）
9
2
A、1
B、2
C、3
1
D、32
【答案】B
【分析】由于
f（x）
（1
3tanx）cosx=cosx
3sinx=2cos（x
）
3
当x
3
是，函数获得最大值为
2。
应选B。
练习：
1、将函数y
sinx的图像向左平移
（0
＜2
）的单位后，获得函数y
sin（x
）的图像，则
等
6
于（
）
A、
5
7
D、
11
B、
C、
6
6
6
6
2、若将函数ytan（
x
）（
0）的图像向右平移
6
个单位长度后，与函数
y
tan（
x
）的图像
4
6
重合，则
的最小值为（
）
A、
1
B、
1
1
1
6
4
C、
D、
3
2
3、将函数y
sin2x的图像向左平移
个单位，再向上平移
1个单位,所得图像的函数分析式是
（）
4
A、y
cos2x
B、y
2cos2
x
C、y1
sin（2x
）
D、y
2sin2x
4
4、已知函数
f（x）
sin（wx
）（x
R,w
0）的最小正周期为
，y
f（x）的图像向左平移
||个单
4
位长度，所得图像对于
y轴对称，则
的一个值是（
）
A、
B、
3
C、
D、
8
8
2
4
5、已知函数
f（x）
sin（
x
）（x
R,
0）的最小正周期为
，为了获得函数
g（x）cos
x的图像，
4
只需将y
f（x）的图像（
）
A、向左平移
个单位长度
B、向右平移
个单位长度
8
8
C、向左平移
个单位长度
D、向右平移
个单位长度
4
4
6、已知a是实数，则函数
f（x）
1asinax
的图像不行能
是（）
．．．
7、已知函数f（x）=Acos（x
）的图象如下图，
f（）
2
）
，则f（0）=（
2
3
2
2
1
1
A、
B、
C、－
D、
3
3
2
2
8、函数yAsin（x）（A,,为常数，A0,0）在
闭区间[,0]上的图像如下图，则=.
9、已知函数y=sin（x+）（>0,-<）的图像如下图，则=________________
10、已知函数f（x）2sin（x
）的图像如下图，则f
7
。
12
11、已知函数f（x）sin（x）（0）的图像如下图，则＝
12、已知函数f（x）
3sin
x
cos
x（
0），y
f（x）的图像与直线y2
的两个相邻交点
的距离等于
，则f（x）的单一递加区间是（
）
A、[k
k
5
],k
Z
5
k
11
12
B、[k
],kZ
12
12
12
C、[k
k
],kZ
D、[k
k
2],k
Z
3
6
6
3
13、假如函数y3sin（2x
）的图像对于点
4
|的最小值为（
）
（
0）中心对称，那么|
3
A、
B、
C、
3
D、
6
4
2
14、已知函数f（x）
sin（x
）（x
R）
，下边结论错误的是（
）
．．
2
A、函数f（x）的最小正周期为2
B、函数f（x）在区间[0,
]上是增函数
2
升级会员 