完整版高等代数北大版第7章习题参考答案.docx

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完整版高等代数北大版第7章习题参考答案

第七章线性变换

7）

8）解2）当

3）不是.例如当

A。

n是两个固定的矩阵.

1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1）

在线性空间

V中，A

其中V是一固定的向量

2）

在线性空间

V中，A

其中

V是一固定的向量；

3）

在P3中，

A（x1,x2,x3）

（x12,x2

x3,x32）；

4）

在P3中，

A（x1,x2,x3）

（2x1

x2,x2x3,x1）；

5）

在P[x]中，

Af（x）

f（x

1）；

6）

在P[x]中，

Af（x）

f（x

0）,其中

x0P是一固定的数；

把复数域上看作复数域上的线性空间，nnn在Pnn中，AX=BXC其中B,CPn

1）当0时,是;当0时,不是。

0时,是;当0时,不是。

（1,0,0）,k2时,kA（）（2,0,0）,A（k）（4,0,0）,

A（k）kA（）。

4）是.因取（x1,x2,x3）,

A（）=A（x1y1,x2

=（2x12y1x2

=（2x1x2,x2

=A+A，A（k）A（kx1,kx2,kx3）kx2,kx2kx2,kx2

），

（y1,y2,y3）,有

y2,x3y3）

y2,x2y2x3y3,x1y1）x3,x1）（2y1y2,y2y3,y1）

（2kx1

（2kx1

=kA（故A是P3上的线性变换。

5）是.因任取f（x）P[x],g（x）u（x）f（x）g（x）则A（f（x）g（x））=Au（x）=u（x再令v（x）kf（x）则A（kf（x））故A为P[x]上的线性变换。

6）是.因任取f（x）P[x],g（x）

kx3,kx1）

kx3,kx1）

P[x],并令

1）=f（x1）

A（v（x））

P[x]则.

A（f（x）

g（x））=f（x0）g（x0）A（f（x））

g（x1）=Af（x）+A（g（x）），v（x1）kf（x1）kA（f（x）），

A（g（x）），

A（kf（x））kf（x0）kA（f（x））。

7）不是，例如取a=1,k=I，则A（ka）=-i,k（Aa）=i,A（ka）kA（a）。

8）是，因任取二矩阵X,YPnn，则A（XY）B（XY）CBXCBYCAX+AY，

A（kX）=B（kX）k（BXC）kAX，故A是Pnn上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：

A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验（AB）2=A2B2是否成立。

解任取一向量a=（x,y,z），则有

1）因为

234

Aa=（x,-z,y）,Aa=（x,-y,-z），Aa=（x,z,-y）,Aa=（x,y,z），

234

Ba=（z,y,-x）,Ba=（-x,y,-z），Ba=（-z,y,x）,Ba=（x,y,z），

234

Ca=（-y,x,z）,Ca=（-x,-y,z），Ca=（y,-x,z）,Ca=（x,y,z），

所以A4=B4=C4=E。

2）因为AB（a）=A（z,y,-x）=（z,x,y），BA（a）=B（x,-z,y）=（y,-z,-x），

所以ABBA。

222222

3）因为A2B2（a）=A2（-x,y,-z）=（-x,-y,z），B2A2（a）=B2（x,-y,-z）=（-x,-y,z），

所以A2B2=B2A2。

222

3）因为（AB）2（a）=（AB）（AB（a））_=AB（z,x,y）=（y,z,x），A2B2（a）=（-x,-y,z），

所以（AB）2A2B2。

3.在P[x]中，Af（x）f'（x）,Bf（x）xf（x），证明:

AB-BA=E。

证任取f（x）P[x]，则有

（AB-BA）f（x）=ABf（x）-BAf（x）=A（xf（x））-B（f'（x））=f（x）xf;（x）-xf'（x）=f（x）所以AB-BA=E。

4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：

AkB-BAk=kAk1（k>1）。

证采用数学归纳法。

当k=2时

2222

A2B-BA2=（A2B-ABA）+（ABA-BA2）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA=2a，结论成立。

归纳假设km时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。

则当km1时，有

Am1B-BAm1=（Am1B-AmBA）+（AmBA-BAm1）=Am（AB-BA）+（AmB-BAm）A=AmE+mAm1A=（m1）Am。

即km1时结论成立.故对一切k1结论成立。

5.证明：

可逆变换是双射。

证设A是可逆变换，它的逆变换为A1。

若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A1，有a=b，这与条件矛盾。

其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A1b=a即可。

因此,A是一个双射。

6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。

证明：

A是可逆变换当且仅当A1,A2,,An线性无关。

证因A（1,2,,n）=（A1,A2,,An）=（1,2,,n）A，

故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无

关，故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.。

7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1）第1题4）中变换A在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；

2）[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂

直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵；

3）在空间P[x]n中，设变换A为f（x）f（x1）f（x），

1试求A在基i=x（x1）（xi1）（I=1,2,,n-1）下的矩阵A；

i!

4）六个函数1=eaxcosbx,2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx，

1=1x2eaxcosbx,1=1eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空

1212间，求微分变换D在基i（i=1,2,,6）下的矩阵；

101

5）已知P3中线性变换A在基1=（-1,1,1）,2=（1,0,-1）,3=（0,1,1）下的矩阵是110，121

求A在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；

6）在P3中，A定义如下：

A1（5,0,3）

A2（0,1,6），

A3（5,1,9）

其中

1（1,0,2）

2（0,1,1），

3（3,1,0）

求在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；

7）同上，求A在1,2,3下的矩阵。

解1）

A1=（2,0,1）=21+3，A2=（-1,1,0）=-

1+2，A3=（0,1,0）=

2，

210

故在基1,2，3下的矩阵为011

100

又因为B1=0，B2=2，所以B在基1

2下的矩阵为B=00，另外，（AB）

201

2=A

B2）=A2=1

2

1+2

所以AB在基1，

0

2下的矩阵为AB=

0

1

2

1

2

3）因为

01,1x,2

x（x1）

2!

n1

x（x1）[x（n2）]

（n1）!

1

11

1

2）取1=

（1，0），2=（0，1），则

A1=

1+2，A2=

1+2，

2

12222

122

1

1

故A在基

1，2下的矩阵为A=21

2。

1。

2

2

所以A0110，

A1（x1）x0，

LLLL

n1

（x1）x[x（n3）]

x（x1）[x（n2）]

（n1）!

（n1）!

n2

所以A在基

01

n1下的矩阵为

A=

4）因为D1=a1-b2

D2=b1-a2,6，

D3=1+a3-b4,

D4=2+b3+a4,

D5=3+a5-b6,

D6=4+b5+a6，

ab10

ba01

00

00

所以D在给定基下的矩阵为

0

D=

0

1

0

0。

0

1

0ab

0ba

0000ab

0000ba

1

5）因为（1,2,3）=（1,2，3）1

1

（1,2，3）=（1,2,3）0

10

01，所以

11

1=（1,2,3）X，

101

故A在基1,2，3下的矩阵为

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

2

1

B=X1AX=1

0

1

1

1

0

0

1

1=

2

2

0

1

1

1

1

2

1

1

0

1

3

0

2

1

0

3

6）因为（1,

2,3）=（1,2，

3）0

1

1，

2

1

0

1

0

3

所以A（1,

2,3）=A（1,2，

3）0

1

1,

2

1

0

5

0

5

但已知A（1

2,3）=（1,2，

3）0

1

1

3

6

9

5

0

5

1

0

3

故A（1,2，

3）=（1,2，3）

0

1

1

0

1

11

3

6

9

2

1

0

1

3

3

5

0

5

7

7

2

1

=（1,2，3）0

1

1

7

7

3

6

9

2

1

1

7

7

7

5

20

20

7

7

7

4

5

2

=（

1,2，3）

。

1237

7

7

27

18

24

7

7

7

1

0

3

7）因为（1,

2，3）=（1,2,

3）0

1

11

2

1

0

10

3

5

0

5

所以A（1,

2,3）=（1,2,3）

01

1

1

0

1

1

21

0

3

6

9

23

5

=（1,2,3）

10

1。

11

0

2

a

b

a

b

8．在P2

中定义线性变换A1

（X）=

X,A2（X）=X

A2（X）=

c

d

c

d

求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。

解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,

A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,

a0

0d

a0b0

故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A1=

0c0d

又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,

A2E21=

aE21

+bE22,A2

E22=

cE21+dE22,

故A2在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A2=

00

ac

2

又因A3E11=aE11+abE12+acE21+bcE22，

2

A3E12=acE11+adE12+cE21+cdE22，

故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A3

a2

ac

ab

bc

ab

ad

b2

bd

ac

2c

ad

cd

bc

cd

bd

d2

9.设三维线性空间

V上的线性变换A在基

1,2,3下的矩阵为

A3E21=

2

abE11+bE12+adE21+bdE22，

A3E22

=bcE11+bdE12+cdE21+dE22，

a11

a12

a13

A=

a21

a22

a23，

a31

a32

a33

1）

求A

在基

3,2,1下的矩阵；

3）求A在基1

2,2,3下的矩阵。

解1）因A

3=a33

3+a232

a131，

2=a32

3a222

a12

1=a31

3a212

a11

故A在基

3,2,

1下的矩阵为

a33

a32

a31

a23

a22

a21

a13

a12

a11

B3

a313

a21

2）因A1=a111+（k2）

k

A（k2）=ka121+a22（k

2）+ka323

3=a131+a23（k2）+a33

k

故A在

1,k

3下的矩阵为B2

a11

a21

k

a31

ka12

a22

ka32

a13

a23

k

a33

如果

10.设A是线性空间V上的线性变换，

证设有线性关系l1l2A

lkAk1

0，

3）因

A（

1

2）=（a11a12）（

1

3）+（a21

a22a11

a12）2+（a31

a32）3，

A

2=

a12（

12）+（a22

a12）

2+a323，

A

3=

a13（

12）+（a23

a13）

2+a333，

a11

a12

a12

a13

故A基1

2,2

3下的矩阵为

B3

a21a22

a11a12

a22a12

a23a13。

a31

a32

a32

a33

1

Ak

0,但Ak=0，求证：

A,,Ak1（k>0）线性无关。

用Ak1作用于上式,得

k1n

l1Ak1=0（因An0对一切nk均成立），

又因为Ak10,所以l10,于是有

l2Al3A2lkAk10，

再用Ak2作用之,得l2Ak1=0.再由,可得l2=0.同理,继续作用下去,便可得

l1l2lk0,

即证,A,,Ak1（k>0）线性无关。

11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得An10，求证A在某组下的矩阵0

10

是1。

0

10

证由上题知,

A

A2

,An1

线性无关，故

2

A,A2,

An1为线性空间

V的一组基。

又因为

A

0

1A

0A2+

n1

0An1，

A（A）=0+

0A

+1

A2+

0An1，

A（An1）=0+0A

+0

A2

n1

+0An1，

故A在这组基下的矩阵为

0

10

1

。

0

1

0

12．设V是数域P上的维线性空间，

证明：

与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数

乘变换。

证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。

13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：

如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

证设A在基1,2,,n下的矩阵为A=（aij），只要证明A为数量矩阵即可。

设X为任一非退化方阵，且

（1,2,n）=（1,2,

n）X，

则1,2,L,n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X1AX，从而有AX=XA，这说明A与一切非退化矩阵可交换。

若取

1

2

X1，

n

则由AX1=X1A知aij=0（ij），即得

a11

a22

A=

ann

再取

0

1

0

0

0

0

1

0

X2

0

0

0

1

1

0

0

0

由AX2=X2A，可得

a11a22ann。

A在这组基下的矩阵为

故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。

14.设1,2,3,4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换

10

2

1

12

1

3

12

5

5

22

1

2

1）

求A在基1

1

22

4,2

3

2）

求A的核与值域；

3）

在A的核中选一组基

把它扩充为

V

4）

在A的值域中选一

组基,

把它扩充为

解

1）由题设,知

234,334,424下的矩阵；

的一组基,并求A在这组基下的矩阵；

V的一组基,并求A在这组基下的矩阵。

1

0

0

0

2

3

0

0

（1,2,3,4）=（1,2,3,4）

123412340

1

1

0

1

1

1

2

x2

x3

x4

0

。

0

0

因rank（A）=2，

故由

2x3x12x2

x1

x4

x3

3x4

可求得基础解系为

X1=

（2,

32,1,0）

X2=（1,2,0,1）

若令1=（1,2,

3,4）X1，

2=（1,

2,3,4）X2，

1

0

0

0

1

1

0

2

1

1

0

0

0

2

3

0

0

1

2

1

3

2

3

0

0

B=X

1AX

=

0

1

1

0

1

2

5

5

0

1

1

0

1

1

1

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

3

3

2

2

4

10

10

=3

3

3

=8

16

40

40

。

3

3

3

1

7

8

1

2）先求A

（0）.设

A

1

（0），

它在1,

2,

3,

4下的坐标为（

1,

2,

3,4），且A

故A在基1,2,3,4下的矩阵为

在

（0,0,0,0,），则

3

12

4下的坐标为

则1,2即为A1（0）的一组基，所以

1

A1（0）=L（1,2）。

再求A的值域AV。

因为

A1=12324，

A2=22

A3=21

A43=1325324，

rank（A）=2，故A

1,A2,A

3,A

4的秩也为2，且A

A2线性无关，故