答案 充要
6．与三角函数的交汇
例6 在△ABC中，“A>
”是“sinA>
”的__________条件．
解析 在△ABC中，当A>
且A∈
时，sinA<
，故“A>
”不是“sinA>
”的充分条件．但当sinA>
时，A>
一定成立，所以“A>
”是“sinA>
”的必要不充分条件．
答案 必要不充分
7．与立体几何的交汇
例7 已知E，F，G，H是空间四个点，命题甲：
E，F，G，H四点不共面，命题乙：
直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的____________条件．
解析 由空间点的位置关系知，E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要条件．
答案 充分不必要
5 命题和充要条件错误剖析
1．考虑不周出错
例1 判断命题的真假：
函数f（x）＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1.
错解 因为函数f（x）＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×（－1）×a＝0，即a＝－1.所以该命题是真命题．
剖析 出现上述错解的主要原因是由于没考虑到函数f（x）的最高次项系数含字母参数a，应对字母参数是否为零进行讨论．
正解 当a＝0时，函数f（x）为一次函数，此时函数只有一个零点；当a≠0时，函数f（x）＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×（－1）×a＝0，即a＝－1.所以，函数f（x）＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.故原命题为假命题．
2．否命题否定错误
例2 写出命题“若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零”的否命题．
错解 否命题为：
若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全不为零．
剖析 否命题是将原命题的条件和结论分别否定．错解是条件没有否定，而结论否定为“不全为零”，却错误地写为“全不为零”．
正解 该命题的否命题为：
“若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m、n、a、b不全为零”．
3．判断充要条件时出错
例3
（1）设x∈R，则x>2成立的必要条件有________．（填上所有正确的序号）
①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.
错解 因为x>3⇒x>2，所以x>2的一个必要条件为x>3.
答案 ③
剖析 错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义，前者等价于b⇒a；后者等价于“b是a的必要条件”，即a⇒b.
正解 因为x>2⇒x>1，所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2⇒x>0，所以x>2的一个必要条件为x>0.
答案 ①⑤
（2）命题p：
“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：
“a·b>0”的__________条件．
错解 若向量a与向量b的夹角θ为锐角，
则cosθ＝
>0，即a·b>0；反之也成立，所以p是q的充要条件．
答案 充要
剖析 判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．
正解 若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cosθ＝
>0⇒a·b>0；而当a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
6 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假：
（1）x＋2>0；
（2）x2＋2>0；
（3）A∩B＝A∪B； （4）A⊆A∪B.
错解
（1）、
（2）、（3）、（4）都不是命题．
剖析
（1）中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故
（1）不是命题；
（2）x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故
（2）为真命题．
（3）若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若AB，则A∩B＝AA∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故（3）不是命题．
（4）A为A∪B的子集，故A⊆A∪B成立，故（4）为真命题．
正解
（2）、（4）是命题，且都为真命题．
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
（1）若a＝0，则ab＝0；
（2）若a2>b2，则a>b.
错解
（1）因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
（2）因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．
正解
（1）否命题：
若a≠0，则ab≠0，是假命题；
（2）否命题：
若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例3
（1）已知p：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝11；q：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝2，试写出p∨q.
（2）p：
四条边相等的四边形是正方形；q：
四个角相等的四边形是正方形，试写出p∧q.
错解
（1）p∨q：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝11或x＝2.
（2）p∧q：
四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析
（1）
（2）两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因：
（1）只联结了两个命题的结论；
（2）只联结了两个命题的条件．
正解
（1）p∨q：
方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝11或方程（x－11）（x－2）＝0的根是x＝2.
（2）p∧q：
四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区4 对含有一个量词的命题否定不完全
例4 已知命题p：
存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：
存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：
对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
正解 綈p：
对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区5 忽略了隐含的量词
例5 写出下列命题的否定：
（1）p：
若2x>4，则x>2；
（2）p：
可以被5整除的数末位是0；
（3）p：
能被8整除的数也能被4整除．
错解
（1）綈p：
若2x>4，则x≤2.
（2）綈p：
可以被5整除的数末位不是0.
（3）綈p：
能被8整除的数不能被4整除．
剖析 由于有些全称命题或存在性命题隐含了量词，从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误．
正解
（1）綈p：
存在x，使得若2x>4，则x≤2.
（2）綈p：
存在可以被5整除的数末位不是0.
（3）綈p：
存在能被8整除的数不能被4整除.
7 解“逻辑”问题的三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．
例1 证明：
若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1，得a2－b2＋2a－4b－3＝（a＋b）（a－b）＋2（a－b）－2b－3＝a－b－1＝0.
∵原命题的逆否命题是真命题，
∴原命题也是真命题．
故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2 已知p：
x2－8x－20>0，q：
x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解 解不等式x2－8x－20>0，
得p：
A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：
B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p⇒q，但q⇏p，说明AB.
于是有
或
解得0所以正实数a的取值范围是（0,3]．
2．简化意识
判断命题真假的关键：
一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3 已知命题p：
函数y＝log0.5（x2＋2x＋a）的值域为R，命题q：
函数y＝－（5－2a）x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________．
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．
解析 函数y＝log0.5（x2＋2x＋a）的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是（0，＋∞），即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0⇔a≤1，即p真⇔a≤1；
函数y＝－（5－2a）x是减函数⇔5－2a>1⇔a<2，
即q真⇔a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题知，命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是（1,2）．
答案 （1,2）
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假（尤其是假）作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A⊈B⇔对任意x∈A，都有x∉B；
②A⊈B⇔A∩B＝∅；
③A⊈B⇔B⊈A；
④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.
分析 画出表示A⊈B的Venn图进行判断．
解析 画出Venn图，如图1所示，则A⊈B⇔存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．
A⊈B⇒B⊈A不成立的反例如图2所示．同理可得B⃘A⇒A⃘B不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
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