①x1＋x2<0；②x1＋x2>0；③f（－x1）>f（－x2）；
④f（－x1）·f（－x2）<0.
2．下列判断：
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f（x）都有f（x）·f（－x）≤0；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．
其中正确的序号为________．
3．定义两种运算：
a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则函数f（x）＝
为________函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．
4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f（x）＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－
对称，则t的值为________．
5．如果奇函数f（x）在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间[－5，－1]上是________．（填序号）
①增函数且最小值为3；②增函数且最大值为3；③减函数且最小值为－3；④减函数且最大值为－3.
6．若f（x）是偶函数，且当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x－1，则f（x－1）<0的解集是________．
7．若函数f（x）＝－
为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．
8．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）＋f（0）＝________.
9．函数f（x）＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
二、解答题
10．已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，f
（1）＝0.
（1）求证：
函数f（x）在（－∞，0）上是增函数；
（2）解关于x的不等式f（x）<0.
11．已知f（x）＝
，x∈（0，＋∞）．
（1）若b≥1，求证：
函数f（x）在（0,1）上是减函数；
（2）是否存在实数a，b.使f（x）同时满足下列二个条件：
①在（0,1）上是减函数，（1，＋∞）上是增函数；②f（x）的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
能力提升
12．设函数f（x）＝1－
，x∈[0，＋∞）
（1）用单调性的定义证明f（x）在定义域上是增函数；
（2）设g（x）＝f（1＋x）－f（x），判断g（x）在[0，＋∞）上的单调性（不用证明），并由此说明f（x）的增长是越来越快还是越来越慢？
13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD的周长为y.
（1）求出y关于x的函数f（x）的解析式；
（2）求y的最大值，并指出相应的x值．
1．函数单调性的判定方法
（1）定义法．
（2）直接法：
运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f（x），g（x）的单调性判断－f（x），
，f（x）＋g（x）的单调性等．
（3）图象法：
根据函数的图象判断函数的单调性．
2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f（x）＝a（x－h）2＋k（a>0）在区间[m，n]上最值问题，有以下结论：
（1）若h∈[m，n]，则ymin＝f（h）＝k，ymax＝max{f（m），f（n）}，
（2）若h∉[m，n]，则ymin＝min{f（m），f（n）}，
ymax＝max{f（m），f（n）}（a<0时可仿此讨论）．
3．函数奇偶性与单调性的差异．
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值x，都有f（－x）＝－f（x）[或f（－x）＝f（x）]，才能说f（x）是奇函数（或偶函数）．
习题课
双基演练
1．（－∞，－
）
解析 由已知，令2k＋1<0，解得k<－
.
2．③
解析 由
>0，知f（a）－f（b）与a－b同号，
由增函数的定义知③正确．
3．①②④
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.
由函数的单调性可知，f（a）>f（－b），f（b）>f（－a）．
两式相加得③正确．
4．f（0），f（－
）
解析 由图象可知，当x＝0时，f（x）取得最大值；
当x＝－
时，f（x）取得最小值．
5.
0
解析 偶函数定义域关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0.∴a＝
.
∴f（x）＝
x2＋bx＋1＋b.
又∵f（x）是偶函数，∴b＝0.
6．（－∞，－1）
解析 若a≥0，则
a－1>a，解得a<－2，∴a∈∅；
若a<0，则
>a，解得a<－1或a>1，∴a<－1.
综上，a∈（－∞，－1）．
作业设计
1．②
解析 由已知得f（x1）＝f（－x1），且－x1<0，x2<0，而函数f（x）在（－∞，0）上是增函数，因此由f（x1）0.
2．②
解析 判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．
判断②正确，由函数是奇函数，知f（－x）＝－f（x），特别地当x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）·f（－x）＝－[f（x）]2≤0.
判断③，如f（x）＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1
[0,1]；又如f（x）＝x2＋x，x∈[－1,1]，
有f（x）≠f（－x）．故③错误．
判断④，由于f（x）＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．
综上可知，只有②正确．
3．奇
解析 因为f（x）＝
，f（－x）＝－f（x），故f（x）为奇函数．
4．1
解析 当t>0时f（x）的图象如图所示（实线）
对称轴为x＝－
，则
＝
，∴t＝1.
5．④
解析 当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，
∴f（－x）≥3，即－f（x）≥3.
从而f（x）≤－3，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故f（x）在[－5，－1]是减函数．
6．（0,2）
解析 依题意，因为f（x）是偶函数，
所以f（x－1）<0化为f（|x－1|）<0，
又x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x－1，所以|x－1|－1<0，
即|x－1|<1，解得07．1
解析 f（x）为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，
所以f（0）＝0，故a＝0.
又f（－1）＝－f
（1），所以－
＝
，
故b＝0，于是f（x）＝－x.
函数f（x）＝－x在区间[－1,1]上为减函数，
当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.
8．－1
解析 ∵f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝0，
且f
（2）＝22－3＝1.
∴f（－2）＝－f
（2）＝－1，
∴f（－2）＋f（0）＝－1.
9．a>－3
解析 ∵f（x）＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1，
∴[1，＋∞）为f（x）的增区间，
要使f（x）在[1，＋∞）上恒有f（x）>0，则f
（1）>0，
即3＋a>0，∴a>－3.
10．
（1）证明 设x1－x2>0.
∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴f（－x1）>f（－x2）．
由f（x）是奇函数，
∴f（－x1）＝－f（x1），f（－x2）＝－f（x2），
∴－f（x1）>－f（x2），即f（x1）∴函数f（x）在（－∞，0）上是增函数．
（2）解 若x>0，则f（x）（1），∴x<1，∴0若x<0，则f（x）∴关于x的不等式f（x）<0的解集为（－∞，－1）∪（0,1）．
11．
（1）证明 设00，x1－x2<0.
又b>1，且0∵f（x1）－f（x2）＝
>0，
∴f（x1）>f（x2），
所以函数f（x）在（0,1）上是减函数．
（2）解 设0则f（x1）－f（x2）＝
由函数f（x）在（0,1）上是减函数，知x1x2－b<0恒成立，则b≥1.
设1x∈（0，＋∞）时，通过图象可知f（x）min＝f
（1）＝a＋2＝3.
故a＝1.
12．解
（1）设x1>x2≥0，f（x1）－f（x2）＝（1－
）－（1－
）＝
.
由x1>x2≥0⇒x1－x2>0，（x1＋1）（x2＋1）>0，
得f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．
所以f（x）在定义域上是增函数．
（2）g（x）＝f（x＋1）－f（x）＝
，
g（x）在[0，＋∞）上是减函数，自变量每增加1，f（x）的增加值越来越小，所以f（x）的增长是越来越慢．
13．解
（1）作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，
连结OD.
由圆的性质，H是中点，设OH＝h，
h＝
＝
.
又在直角△AND中，AD＝
＝
＝
＝2
，
所以y＝f（x）＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4
，其定义域是（0,2）．
（2）令t＝
，则t∈（0，
），且x＝2－t2，
所以y＝4＋2·（2－t2）＋4t＝－2（t－1）2＋10，
当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.
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