213 实际问题与一元二次方程讲义 教师版.docx

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213实际问题与一元二次方程讲义教师版

21.3实际问题与一元二次方程

【学习目标】

1.会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题。

2.经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。

【学习重难点】

重点：

列一元二次方程解决实际问题。

难点：

找出题目中的等量关系。

知识点一列一元二次方程解决实际问题的一般步骤

与列一元一次方解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤为：

1．审：

审清题意，明确那些死未知量，哪些是已知量，以及它们之间的关系；

2．设：

根据题意，设恰当的未知数。

设未知数有“直接设元”和“间接设元”两种方法；

3．列：

将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表达出来，再根据相关关系列出方程；

4．解：

解方程，得出未知数的值；

5．验：

检验得出的方程的解是否符合题意，舍去不符合一题的解；

6．答：

写出正确的解．

【例题】某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?

解设：

应种桃树x棵，依题意得：

整理得：

解这个方程，得

答;应多种桃树20棵或者380棵

【变式】某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:

如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

知识点二列一元二次方程解决平均增长率

（1）增长率问题的有关公式：

增长数=基数×增长率

（2）连续两次增长，且增长率相等的问题：

若原来为m，现在为n，增长率为x，满足公式

如果是连续两次下降则为：

【例题1】雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长

率；

（2）按照

（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？

解：

（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，

10000×（1+x）2=12100，

解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）；答：

捐款增长率为10%．

（2）12100×（1+10%）=13310元．答：

第四天该单位能收到13310元捐款．

【变式1】某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　）

A．300（1＋x）=363B．300（1＋x）2=363

C．300（1＋2x）=363D．363（1－x）2=300

【解析】B

设平均增长百分率为x，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：

300+300x=300（1+x）（公顷）；到2008年底的绿化面积为：

300（1+x）+300（1+x）x=300（1+x）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300（1＋x）2=363．

【变式2】某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．80（1+x）2=100B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100D．80（1+x2）=100

【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．

【解答】解：

由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，

根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨

，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，

即：

80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．

故选：

A．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．

【变式3】某市去年9月招收区内初中班学生50名，并计划在明年9月招生结束后，使区内初 中班三年招生总人数达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．

【分析】：

设平均增长率为x, 去年招收50名,则今年招收50（1+x）名，明年招收50（1+x）2名，根据“三年招生总人数达到450名”，

可列方程：

50+50（1+x）+50（1+x）2 =450，  

整理得：

x2 +3x－6=0 

解得：

x1=（－3－根号33）/2（舍），x2=1.37=137%，  

答：

平均增长率为137%．

知识点三列一元二次方程解决与几何图形有关的应用题

与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数量及数量之间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有：

三角形、四边形、正（长）方形，以后还会有圆。

涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理。

【例题1】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

解：

设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m． 根据题意可得，x（50﹣2x）=300， 

解得：

x1=10，x2=15， 

当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25， 

故x1=10（不合题意舍去），答：

可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．

【变式1】如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）

A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32

【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：

设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，

根据题意得：

（10﹣2x）（6﹣2x）=32．

故选：

B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

【变式2】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为　7　m．

【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．

【解答】解：

设原正方形的边长为xm，依题意有

（x﹣3）（x﹣2）=20，

解得：

x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）

即：

原正方形的边长7m．

故答案是：

7．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．

知识点四列一元二次方程解决与循环有关的问题

单循环公式：

=总次数

双循环公式：

=总次数

注：

双循环常见题型：

①送礼物（礼尚往来）；

②球赛：

每支球队分别以主、客场身份和其他球队交锋两次。

【例题】一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是多少？

分析：

设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为x（x-1）。

解：

设参加会议有x人，依题意得

x（x-1）=45，

整理得：

x2-x-90=0

解得x1=10，x2=-9，（舍去）

答：

这次参加会议到会的人数是10人．

【变式1】在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）

A．9人B．10人C．11人D．12人

【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：

设参加酒会的人数为x人，

根据题意得：

x（x﹣1）=55，

整理，得：

x2﹣x﹣110=0，

解得：

x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．

答：

参加酒会的人数为11人．

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

【变式2】祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）

A．

=930B．

=930C．x（x+1）=930D．x（x﹣1）=930

【分析】可设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，共写x（x﹣1）份留言，进而可列出方程即可．

【解答】解：

设全班有x名同学，则每人写（x﹣1）份留言，

根据题意得：

x（x﹣1）=930，

故选：

D．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，其中x（x﹣1）不能和握手问题那样除以2，另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性，即考虑解的取舍．

【变式3】一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请　6　个队参赛．

【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，共有

x（x﹣1）场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案．

【解答】解：

设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意得：

x（x﹣1）=15，

解得：

x1=6，x2=﹣5（舍去），

答：

比赛组织者应邀请6个队参赛．

故答案为：

6．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

【变式4】一种电脑病毒，起初有一台感染，经过2轮感染后，将会有81台电脑被感染。

平均每台电脑能感染多少台电脑，第三轮感染后，会超过700台吗？

分析：

设平均每台电脑能感染x台电脑，一轮感染后，共有（1+x）台电脑感染者中病毒，两轮感染后，共有（1+x） 2台电脑感染者中病毒，

可得方程：

（1+x）2 =81，

解得：

x1=－10（舍），x2=8，

所以平均每台电脑能感染8台电脑，第三轮感染后，共有81（1+8）=729台电脑感染这种病毒，所以第三轮感染后，会超过700台。

知识点五列一元二次方程解决与传播有关的问题

可传染人数共传染人数

第0轮1（传染源）1

第1轮xx+1

第2轮x（x+1）1+x+x（x+1）

列方程1+x+x（x+1）=

=总被传染人数

【例题】有一种传染性疾病，蔓延速度极快．据统汁，在人群密集的某城市里，通常情况下，每人一天能传染给若干人，通过计算解答下面的问题：

（1）现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，求每天一人传染了几人?

（2）两天后，人们有所觉察，这样平均一个人一天以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病?

解：

（1）设每天一人传染了x人，依题意得

（1＋x）2＝225，

解得：

x1=14，x2=-16（不合题意，舍去）答：

每天一人传染了14人。

（2）错解：

[225+225×（14-5）]+[225+225×（14-5）]×（14-5）=225（1＋14-5）2＝22500（人）

正解：

再过两天的患病人数=225+225×（14-5）+[225+225×（14-5）]×（14-5-5）=11250（人）

答：

再过两天共有11250人患有此病。

【变式1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给多少个人？

【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：

设每轮传染中平均一个人传染给x个人，

根据题意得：

1+x+x（1+x）=64，

解得：

x1=7，x2=﹣9（不合题意，舍去）．

答：

每轮传染中平均一个人传染给7个人．

故答案为：

7．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

知识点六列一元二次方程解决与经济有关的问题

（1）利润=售价-进价；

（2）售价=标价×折扣；

（3）

（4）总利润=一件商品的利润×销售量

（5）销售额=单价×销售量

【例题1】某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装每天可售出20件，每件赢利40元，经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天可多售出8件．

（1）为扩大销售量，增加赢利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，问：

要想平均每天在销售这种童装上赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？

（2）若该商场要在销售这种童装上平均每天所获得的利润最多，这种童装应如何定价？

解：

（1）设每件童装应该降价x元，则每件童装的利润就为（40-x）元，由题意得

（40-x）（20+

×8）=1200，

解得：

x1=10，x2=20

∵要扩大销售量，增加赢利，减少库存，

∴x=20．

答：

每件应降价20元．

（2）设每天获得的利润为W元，由题意，得

W=（40-x）（20+

×8），

W=-2（x-15）2+1250．

∵k=-2＜0，∴抛物线的开口向下，

∴x=15时，W最大=1250，

∴该童装降价15元时最大利润为1250元．

【变式1】宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？

设房价定为x元．则有（　　）

A．（180+x﹣20）（50﹣

）=10890B．（x﹣20）（50﹣

）=10890

C．x（50﹣

）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣

）﹣50×20=10890

【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．

【解答】解：

设房价定为x元，

根据题意，得（x﹣20）（50﹣

）=10890．

故选：

B．

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．

【变式2】某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为　10%　．

【分析】此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．

【解答】解：

设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得

100×（1﹣x）2=81

解得x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去），

所以本题答案为0.1，即10%．

【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

拓展点一队伍参赛的问题

【例题】参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个队参加足球联赛？

【分析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：

设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，

根据题意得：

=28，

整理得：

x2﹣x﹣56=0，

解得：

x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）．

答：

共有8个队参加足球联赛．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

拓展点二数字问题

【例题】两个连续奇数的积是323，求这两个数。

解：

设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2,根据题意得：

x（x+2）=323

整理后得：

x2+2x-323=0

解这个方程得：

x1=17x2=-19

由x1=17得：

x+2=19

由x2=-19得：

x+2=-17

答：

这两个数奇数是17，19，或者-19，-17。

【变式1】有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。

解：

设原来的两位数的个位数为x,则十位上的数为8-x，根据题意得：

［10（8-x）+x］［10x+（8-x）］=1855

整理后得：

x2-8x+15=0

解这个方程得：

x1=3x2=5

答：

原来的两位数为35或53.

【变式2】有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。

解：

设个位上的数为x,则十位上的数为x+3,根据题意得：

10（x+3）+x-2x（x+3）=5

解得：

x1=5x2=-5/2（舍去）

∴x+3=8

答：

所求两位数为85.

【变式3】三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.

解：

设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为（x2）和（x2）,

根据题意，得（x2）2+（x2）2x2332

整理，得x2324x18

当x18时，x216,x220；

当x=18时，x2=20,x216.

答：

这三个连续偶数分别为16、18和20，或20、18和16.

拓展点三增长率的问题

【例题1】某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．

（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？

（2）预计7月份的产量为多少万台？

【分析】

（1）用4月份的产量分别表示出5月份和6月份的产量，然后根据6月比5月多生产1.2万台这一等量关系列出方程即可；

（2）根据

（1）中的增长率来求7月份的产量．

【解答】解：

（1）设该厂今年产量的月平均增长率是x，根据题意得：

5（1+x）2﹣5（1+x）=1.2

解得：

x=﹣1.2（舍去），x=0.2=20%．

答：

该厂今年的产量的月增长率为20%；

（2）7月份的产量为：

5（1+20%）3=8.64（万台）．

答：

预计7月份的产量为8.64万台．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：

若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

【变式1】某工厂三月份的利润为16万元，五月份的利润为25万元，则平均每月增长的百分率为　25%　．

【分析】设该工厂平均每月利润增长的百分率是x，那么三月份的利润为16（1+x），五月份的利润为16（1+x）（1+x），然后根据5月份的利润达到25元即可列出方程，解方程即可．

【解答】解：

设该工厂平均每月利润增长的百分率是x，

依题意得：

16（1+x）2=25，

∴1+x=±1.25，

∴x=0.25=25%或x=﹣2.25（负值舍去）．

即该工厂平均每月利润增长的百分率是25%．

故答案为：

25%．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的知识，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用﹣，难度一般．

【变式2】已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是　10　%．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为　146.41　万台．

【分析】根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是100（1+x），第二年的产量是100（1+x）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量．

【解答】解：

设年平均增长率为x，依题意列得100（1+x）2=121

解方程得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）

所以第4年该工厂的年产量应为121（1+10%）2=146.41万台．

故答案为：

10，146.41

【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．

拓展点四商品销售问题

【例题】某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件.如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？

解：

因为每件提价5元出售，其销售量就减少100件.所以每件提价1元出售，其销售量就减少20件.于是设这种衬衫的售价为x元.

根据题意，得

（x-50）［800-20（x-60）］=12000

（x-70）（x-80）=0

x1=70,x2=80

经检验x1=70,x2=80是方程的解，因为使顾客获得更多的优惠，所以x2=80不符合题意，应舍去.

答：

这种衬衫的定价应定为70元.

【变式】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

【分析】利润问题主要用到的关系式是：

⑴每件利润=每件售价-每件进价；⑵总利润=每件利润×总件数

如果设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利（40-x）元，根据每降价1元就多售出2件，即降价x元则多售出2x件，即降价后每天可卖出（20+2x）件，由总利润=每件利润×售出商品的总量可以列出方程

解：

设每件衬衫降价x元，根据题意得：

（40-x）（20+2x）=1200

整理得，x2-30x+200=0

解方程得，x1=10,x2=20

因为要尽快减少库存，所以x=10舍去。

答：

每件衬衫应降价20元。

拓展点五方案设计问题

【例题】在一块长16m，宽12m的矩形土地上，要建造一个花园，其余部分硬化，使花园所占面积为矩形土地面积的一半.你能给出设计方案吗？

1.小明的设计方案如图1：

✧你是怎样想的？

请看QQ群中的视频2《小明的设计》，也许会有不同的发现！

⑴根据小明的设计思路，应求出四周硬化小路的宽度.

设四周小路的宽度为

m

花园的长为：

，宽为：

.

列方程

解方程得：

x1=，x2=.

当

=时，花园的长是，宽是；

当

=时，花园的长是，宽是；

⑵由此发现四周小路的宽度只能等于m.

2.小亮的设计方案如图2：

根据小明的设计思路，需要求出扇形的半径.

⑴如果设扇形半径为xm，则四个扇形面积和为：

；

⑵花园的面积=的面积－的面积=；

这两个根都符合题意吗？

⑶列出方程：

；

⑷方程的两个根是:

x1=，x2=，

3.小颖的设计方案如图3：