历年高考抛物线真题详解理科.docx

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历年高考抛物线真题详解理科

1.【2017课标1,理10】已知F为抛物线C：

y2=4x

的焦点，过F作两条互相垂直的直线I1,I2，直线I1与C交于AB两点，直线12与C交于D、E两点，则|AB+|DE的最小值为

A.16B.14C.12

D.10

2.[2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P

是以F为焦点的抛物线上任意一点，M

是线段PF上的点，且阳=2|阿,则直线OM勺斜率的最大值为（）

（A）（B）（C）（D）1

3.[2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p0）上任意一点，M是线段PF上的点，且pm=2mf,则直线OM勺勺斜率的最大值为（）

（A）33（B）3（C）；（D）1

4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于AB两点,交C的准线于DE两点•已知|AB=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为

（A）2（B）4（C）6（D）8

5.【2015高考四川，理10】设直线I与抛物线y2=4x

相交于A，B两点，与圆x-52y2=r2「0相切于点M且M为线段AB的中点.若这样的直线I恰有4条，则r的取值范围是（）

（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4

6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）

BF-1

AF-1

BF-1

AF2-1

BF1

AF1

BF|+1

AF+1

7.【2017课标II,理16】已知f是抛物线

C：

y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M为FN的中点，贝VFN二

8.[2016高考天津理数】设抛物线"2肌2,（t为

ly=2pt

参数，p>0）的焦点为F,准线为I.过抛物线上一点A作I的垂线，垂足为B.设C

（7p,0）,AF与BC相交于点E若

|CF=2|AF，且△ACE的面积为32，贝Up的值为.

10.[2017北京，理18】已知抛物线C：

y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点MN,过点M作x轴的垂线分别与直线OPON交于点A,B，其中0为原占

八\、・

（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（H）求证：

A为线段BM的中点.

11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线

l：

x-y-2=0，抛物线C:

y2=2px（p0）

（1）若直线I过抛物线C的焦点，求抛物线

C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线I对称的

相异两点P和Q

①求证：

线段PQ的中点坐标为（2~诃；

②求p的取值范围.

（VI22MI

12.【20仃浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（冷£）,b（|冷），抛物线上的点P（x,y）（—：

作直线AP的垂线，垂足

227

（I）求直线AP斜率的取值范围;

（H）求|PA||PQ|的最大值.

13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线c:

y—x的焦点为F，平行于x轴的两条直线IM分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点.

（I）若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明ARFQ；

（II）若PQF的面积是'ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

专题19抛物线

1.【2017课标1,理10】已知F为抛物线C：

y2=4x

的焦点，过F作两条互相垂直的直线I1,I2,直线I1与C交于AB两点，直线12与C交于D、E两点，则|AB+|DE的最小值为

A.16

B.14

C.12

D.10

【答案】A

【解析】试题分析：

设

A（x1,y1）,B（X2,y2）,D（X3,y3）,E（X4,y4），

直线I1方程为y=k1（x-1）

联立方程

y2=4x

y*（x-1）

得k2x2-2依-4xkf=0

为X2」2「4W4

同理直线l2与抛物线的交点满足％+X4=¥由抛物线疋乂可知|AB||DE|=捲X2X3x42p

当且仅当k,「k2=1（或一1）时，取得等号.

【考点】抛物线的简单性质

【名师点睛】对于拢|辆绕玄长问题，奠重点抓住抵物线定％到定点的距离要想到转化到型脅上，另外，直线与抛物线联立，求蜩IK、韦达定理是通法，需要重点拿握-考查到最值问题时斷洒用函数方法进行解决和基本环等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设酬枷斜甬为a,则⑷A磊'则呼;盏'駆⑷+西=盏+詐r陀訂+总）

=4（一+□+豹I?

②=4（24竺£+竺上沱4.〈24-2）=16

cas^asirTacoshersin^a

2.【2016年高考四川理数】设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M

是线段PF上的点，且=2,则直线0M的斜率的最大值为（）

（A）（B）（C）（D）1

【答案】C

【解析】

试题分析：

设P（2pr,2/»）tM（x,y）（不妨设/>0），贝0

L_£=2£^_£,

莎彳2八仝珂.由已知得切弓必，"打「°，

故选C.

考点：

抛物线的简单的几何性质，基本不等式的

应用.

【名师点睛】本题考查抛物线的性區结合题童宴起利用抛物线的養数方程表示出推物线上点尸的坐标,

利用向童迭求出点M的坐标・是我"球点坐标的當用方法，由于要求最尢值・因此我们把财摔用養数r丰

示出后』可根据表达式形式选用函数$或不尊式的知识求出最值『本题采用基本不等式宋出最值-

3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p0）上任意一点，M是线段PF上的点，且pm=2mf,则直线OM的斜率的最大值为（）

（A）；（B）2（C）；（D）1

【答案】C

【解析】

x_P=2p

2pt

试题分析：

设P（2pt2,2pt）,M（x,y）（不妨设20），贝V社=（2肌2-£,2pt］由已知得；MW貳

2pt

_2t

2t21

koM

max

故选C.

考点：

抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.

【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值.

4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为

（A）2（B）4（C）6（D）8

【答案】B

【解析】

试題分析:

如同设抛物^方程为y2=2px,应交x$肝匚戸点则虫7=2血•即/点纵坐标为20,则X点横坐标为？

「即。

C=-由勾股走理fcODF2+OF1=DCr=r2AC1+0C:

=.4（>=r.Ed

（Q+（A；=（2（5）；+（’F解得F=4即匕的焦点到准线的距离为4哉选B

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

5.【2015高考四川，理10】设直线丨与抛物线y2=4x

相交于A，B两点，与圆x—52y-r2「0相切于点

M且M为线段AB的中点.若这样的直线丨恰有

4条，则r的取值范围是（）

（A）13（B）14（C）2,3（D）2,4

【答案】D

【解析】显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.设

：

4；，相减得

（yi■y2）（yi-y2）=4（xt-X2）.由

「X2,所以*y-2,即

72-x2

kyo=2.圆心为C（5,0）,由CM—AB得k

y°-o

Xo-5

=-1,ky。

=5-Xo,所

以2=5—xo,xo=3，即点M必在直线x=3上.将x=3代入y2=4x得y2=12,-23”23.因为点M在圆

（X-5f+y2=r2（r>0）上，所以（X）-5）2+y。

2=r2,r2=y。

2+4v12+4=16.又yo244（由于斜率不存在，故yo=o，所以不取等号）,所以4：

yo24<16,2r4.选D.

A（xi,yi）,B（X2,y2）,Xi=X2,M（x°,y。

），贝

【考点定位】宜综与圜锥曲线』不等式-

【名师点睛】百先应结合團形曲亍井析结合團形易知'只要圆的半^卜干和那么必育两条亶线（即与工轴垂直的两条切线）満足题设，因此只霧直线的料率存在时，再青两条晝纟锯足題设即可转下来婆薛决的冋题是当直线的鄴率存在吋，圆的半径的范围是件么一涉夙直线与圆锥曲线的交点&弦的中点的冋題，常常釆用“•点址法=在本题中利用点楚法可得，中点必在直线“3上，由此可确走中点的纵坐标旳的范围，

利用这个范围即可得到r的取值范围。

6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线y2=4x

的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的

点A，B，C,其中点A，B在抛物线上，点C在y

轴上，则BCF与■ACF的面积之比是（）

BF|-1

|BF

2-1

BF|+1

AF-1

|AF

-1

AF+1

|AF

2+1

【答案】

【解析】

S企CF_BC_

s念CFAC

xB_BF-1xAAF-1，

故选A.

【考点定位】抛物线的标准方程及其性质

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：

抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习•

7.【2017课标II，理16】已知f是抛物线cy=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M为FN的中点，贝VFN=。

【答案】6

【解析】

试题分析：

如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准纟均k轴交于点F',做⑷—f与点B，皿与点A,

由抛物线的解析式可得准线方程为*=-2,则.a=2,rr=4,

在直角梯形金中「中位线丘忖=—-3,

由抛物线的定义有1血F二A屈二3,结合题意，有册二二3,

线段FN的长威|K\T|=|^f|+|W|=3+3=6e

【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。

【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化。

如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。

因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。

8.【2016高考天津理数】设抛物线'=2伏2，（t为ly=2pt

参数，p>0）的焦点为F，准线为I.过抛物线上一点A作I的垂线，垂足为B.设C（2P,0），AF与BC相交于点E若

|CF=2|AF，且△ACE的面积为32，贝yp

的值为

【答案】6

【解析】试题分析：

抛物线的普通方程为y=2px,F（p,0）,

727

=£p-齐3p，又|CF|=2|AF|，则

=；P,由抛物线的

定义得

AB|=|p，所以xa=p，则IYaM2p，由CF//AB得

EA=AB，即EA=A；=2，所以Scef=2Scea=62，

S^CF=S挣EC十SgFE=9*2，所以"2X3pJ''2p=972,p=W6・考点：

抛物线定义

【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.

2.若P（Xo,yo）为抛物线y2=2px（p>0）上一点，由定义易得|PF=Xo+舟；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（Xi,yi）,B（X2,y2），则弦长为|AB=Xi+X2+p,Xi+X2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长

公式可由数形结合的方法类似地得到.

9.【2016高考浙江理数】若抛物线y=4x上的点

M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是

占

八\、・

（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（n）求证：

A为线段BM的中点.

【答案】（I）方程为y2=x，抛物线C的焦点坐标为（4,0）,准线方程为x「；.（n）详见解析.

【解析】

y=—x,

X21

试题分析：

（I）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（n）设直线I的方程为y=kx+1（心0）,与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为

联立求得点B的坐标（x,y2y），证明

（心

yiyXyf。

试题解析：

解：

（I）由抛物线

（1,1）,得

C：

y2=2px过点P

所以抛物线C的方程为心.

抛物线C的焦点坐标为（；,0）,准线方程为

hv=Ax*—

则少—社■扫

因为点P的坐标再CJ力所以直线0P的方程为』"，点-4的坐标为隅-直线的方程为J1=^1，点百的坐标为（乩竺）•

因为

y阳各严*212X1X2严2）X2g2）2沁

x2x2x2

111—k

=（2一叽+尹+幼=（2_2怙+云=0

x2x2

所以y52X1.

故A为线段BM的中点.

【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系

【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求

出来，可能需要整

体代换到后面的计算中去，从而减少计算量•

11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：

x-y-2=o，抛物线C:

y2=2px（p0）

（1）若直线I过抛物线C的焦点，求抛物线

C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点P和Q

①求证：

线段PQ的中点坐标为（2一p,-p）.；

②求p的取值范围.

【答案】

（1）…

（2）①详见解析，②（0，3）

【解析】

试题分析；⑴先确定刪殴蕉点，再将点代入直线方耀⑵①利用拋物线点之间关系遗亍化简，结合中点坐标公式求证，②刹用臣戋与挞物线位赛关系确定数量关系:

A=V-4（4^-M>0,解出p的取

值范围

试题解析，解以拧抛物线C:

-2^Q?

>0）的焦点対（£卫〕由A（y.O）在直线-2-0±,fly-0-2^0即"■业所叹抽物线C的方程为y=忧

（2）设PgyjQ（X2,y2），线段PQ的中点M（Xo,yo）

因为点P和Q关于直线i对称，所以直线i垂直平

分线段PQ,

于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y「xb.

①由

y2=2px

y-_xb

消去X得

y2py—2pb=0（*）

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以…

从而

-■■：

-（2p）2—4（-2pb）0，

化简得p2b0.

方程（*）的两根为yi,2「p-p22pb，从而yo=yi2y2—p.

因此，线段PQ的中点坐标为（2_p,—p）.

②因为M（2_p,_p）•在直线y「Xb上

所以—p=_（2—p）b,即b»p.

由①知p2b.0，于是p2（2_2p）.0，所以p：

：

3因此p的取值范围为（0,：

）.

考点：

直线与抛物线位置关系

【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑:

⑴利用判別式来构造不等关系，从而确定裁数的取值范阖孑

12.【20仃浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（_2,：

），B冷自，抛物线上的

点pg—;*》）•过点B作直线ap的垂线，垂足

（I）求直线AP斜率的取值范围;

【答案】（i）（」1）；（n）27

【解析】

试题分析：

（1）由两点求斜率公式可得AP的

斜率为x一：

，由一冷打，得AP斜率的取值范围;

（n）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达IPA|与|PQ|的长度，通过函数f（k）=_（k_l）（k1）3求解|PA||PQ|的最大值.

试题解析：

（I）设直线AP的斜率为k，则k「「「x_；，・・・

-1*，二直线AP斜率的取值范围是（-1,1）.

227

（n）联立直线AP与BQ的方程

f11

kx-y亠一k0,

彳24

'x+ky-9k亠，

L42

解得点Q的横坐标是XQ二盍甘，因为|PA=1k2（x；）=1k2（k1）

|PQ=1k2（x—（k"）2k",所以

Jk2+1

|PA|PQ=-（k-1）（k1）3

令f（k）二_（k-1）（k-1）3,因为f'（k）二_（4k_2）（k-1）2,所以f（k）在区间（-1,2）上单调递增，（2,1）上单调递减，因此

当k=1时，|PA||PQ|取得最大值27・

216

【考点】直线与圆锥曲线的位昱关系

【名师点睛】本趣主蒔考查肓线方程、直线与拋物线的位置关系等基础知识，同时考查解祈几何的基本思想方进和运慎求解能力,通过表达IPA|与|P0\的长廣r通过函数r（町二皿-IX"I）'求解IPAV\PO\

的最大值。

13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线c:

y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线1」2分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点.

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明

AR'FQ；

（II）若APQF的面积是“ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

【答案】（I）见解析；（H）y2=x-1.

【解析】

试题分析：

（I）设出与X轴垂直的两条直线，然后得出A,B,P,Q,R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；（U）设直

线I与x轴的交点坐标D（x.O），利用面积可求得X1,设出AB的中点E（x,y）,根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合kAB=kDE求解.

试题解析：

由题设F（1,0）.设h:

y=a,l2：

y=b，则ab=0,

且

）.

a2b2iiiab

A（a2,0）,B（b2,b）,P^2,a）,Q^2,b）,Rei,"7"

记过A,B两点的直线为I,则I的方程为

2x-（a+b）y+ab=03^分

（I）由于F在线段AB上，故1ab=0.

记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则

a—ba—b1-ab,,

“1a2爲2_ab=a=a«，

（H）设l与x轴的交点为D（Xi,O）,

则Sabf

111

2b—a||FD|=b—a|卜—2,S申

由题设可得

a—b

—

b—a

X1—一

所以X1=0

（舍去）,

设满足条件的AB的中点为E（x,y）.

当AB与x轴不垂直时，由kAB=k°E可得二=—（xh1）.

a+bx-1

而a2b=y，所以y2=x"1）.

当ab与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹

方程为y^x-112分

考点：

1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛

物线位置关系；3、轨迹求法.

【方法桂內】⑴解析几何中平行问題的证明主要是通过证明两条直线的斜率#捋或辖化为利用向量证明;⑵求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法人利用代入法求解时必须找准王动点

与从动点14.【2015高考新课标1,理20】在直角坐标系

中，曲线C:

y=与直线（＞0）交与MN两点，

（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（n）y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/OPMZOPN说明理由.

【答案】（I）J”*：

-；--!

.1"（n）存在

【解析】

试题分析：

（I）先求出MN的坐标，再利用导数求出MN（n）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出MN的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PMPN的斜率之和用。

表示出来，利用直线PMPN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.

试题解析：

（I）由题设可得，，

•・•，故在=处的到数值为,C在

处的切线方程为

故在=-处的到数值为-,C在处

的切线方程为

故所求切线方程为—?

—「—I；或$v-：

.—伫.5

分

（H）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，，，

直线PMPN的斜率分别为耐&.

将/--■■■■■；'"；代入C得万程整理得：

二r、,.1.

..幷+工丄=4上曲帀=-4d.

旳一方屯+（n■方）（斗+屯）_k（a+b）

斗

当时，有=0,则直线PM的倾斜角与直线

PN的倾斜角互补，

故Z

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