历年高考抛物线真题详解理科Word文件下载.docx

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10.【2017北京，理18】已知抛物线C：

y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：

A为线段BM的中点.

11.【2016高考江苏卷】

（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：

线段PQ的中点坐标为；

②求p的取值范围.

12.【2017浙江，21】

（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：

的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【答案】A

【解析】试题分析：

设，直线方程为

联立方程得∴

同理直线与抛物线的交点满足

由抛物线定义可知

当且仅当（或）时，取得等号.

【考点】抛物线的简单性质

【答案】C

【解析】

试题分析：

设（不妨设），则由已知得，，，，，故选C.

考点：

抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．

【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．

【答案】B

抛物线的性质。

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

【答案】D

显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.

利用这个范围即可得到r的取值范围。

【答案】A.

【解析】，故选A.

【考点定位】抛物线的标准方程及其性质

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：

抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.

7.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。

若为的中点，则。

【答案】6

点A，

【考点】抛物线的定义；

梯形中位线在解析几何中的应用。

【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化。

如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。

因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。

【答案】

抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，．

抛物线定义

【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．

2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；

若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；

若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

9.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

抛物线的定义．

【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．

（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.

（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点的坐标，证明.

试题解析：

解：

（Ⅰ）由抛物线C：

过点P（1，1），得.

所以抛物线C的方程为.

抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.

，

所以.

故A为线段BM的中点.

【考点】1.抛物线方程；

2.直线与抛物线的位置关系

【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整

体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.

（1）

（2）①详见解析，②

值范围。

（2）设，线段PQ的中点

因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,

于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为

①由消去得

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以

从而，化简得.

方程（*）的两根为，从而

因为在直线上，所以

因此，线段PQ的中点坐标为

②因为在直线上

所以，即

由①知，于是，所以

因此的取值范围为

直线与抛物线位置关系

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP的斜率为，由，得AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．

（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是，因为|PA|==

|PQ|=，所以|PA||PQ|=

令，因为，所以f（k）在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值．

的最大值。

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）．

（Ⅰ）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；

（Ⅱ）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两种情况结合求解．

由题设.设，则，且

.

记过两点的直线为，则的方程为......3分

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则，

所以.......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.....12分

1、抛物线定义与几何性质；

2、直线与抛物线位置关系；

3、轨迹求法．

与从动点。

14.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C：

y=与直线（＞0）交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？

说明理由.

（Ⅰ）或（Ⅱ）存在

（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.

（Ⅰ）由题设可得，，或，.

∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为

，即.

故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为

故所求切线方程为或.……5分

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.

将代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.……12分

要细心和耐心。