三角形全等之截长补短整理.docx

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三角形全等之截长补短整理

三角形全等之截长补短（讲义）

一、知识点睛

截长补短：

题目中出现时，考虑截长补短；截长补短的作用是

____________________________________

．

二、精讲精练

A

1.已知：

如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．

1

2

求证：

AC=AB+BD．

BD

A

C

1

2

BD

A

C

1

2

BD

C

2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．

求证：

CD=AD+BC．C

1D

AEB

3.已知：

如图，在正方形ABCD中，AD=AB，

∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：

EF=BF+DE．

AD

E

2

BFC

AD

E

BFC

4.已知：

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．

求证：

AC=AE+CD．

B

D

E

O

AC

3

B

D

E

O

AC

5.已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点

E．

求证：

CE1BD．2

A

D

E

BC

A

D

4

E

BC

【参考答案】

【知识点睛】

线段间的和差倍分；

把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．

【精讲精练】

1.补短法：

证明：

如图，延长AB到E，使∵∠ABD是△BDE的一个外角∴∠ABD=∠E＋∠BDE

∵BE=BD

∴∠E=∠BDE

∴∠ABD=2∠E

∵∠ABD=2∠CB∴∠E=∠C

在△ADE和△ADC中

E

BE=BD，连接DE．

A

12

DC

5

EC

12ADAD

∴△ADE≌△ADC（AAS）

∴AE=AC

∴AC=AB＋BE

=AB＋BD

截长法：

证明：

如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．

在△ABD和△AFD中

A

AB

AF

1

2

1

2

F

AD

AD

∴△ABD≌△AFD（SAS）

B

D

C

∴∠B=∠AFD，BD=FD

∵∠B=2∠C

∴∠AFD=2∠C

∵∠AFD是△DFC的一个外角

∴∠AFD=∠C+∠FDC

∴∠FDC=∠C

∴DF=FC

∴BD=FC

∴AC=AF+FC

=AB+BD

2.证明：

如图，在CD上截取CF=CB．

∵CE平分∠CBD

C

∴∠1=∠2

F

12

在△CFE和△CBE中

D

CF

CB

3

4

1

2

CE

CE

A

E

B

∴△CFE≌△CBE（SAS）

∴∠CFE=∠B

∵∠B=90°

∴∠CFE=∠DFE=90°

∵∠A=90°

∴∠DFE=∠A

∵DE平分∠ADC

6

∴∠3=∠4

在△DEF和△DEA中

DFEA

34DEDE

∴△DEF≌△DEA（AAS）

∴DF=AD

∴CD=DF+CF

=AD+BC

2.证明：

如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．

∵∠D=∠ABC=90°

A

D

∴∠ABG=∠D=90°

2

13

在△ABG和△ADE中

E

AB=AD

ABG=D

BG=DE

G

BF

C

∴△ABG≌△ADE（SAS）

∴AG=AE，∠1=∠2

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°

∴∠2+∠3=45°

∴∠1+∠3=45°

即∠GAF=45°

∴∠GAF=∠EAF

在△AGF和△AEF中

AGAE

GAFEAF

AFAF

∴△AGF≌△AEF（SAS）

∴GF=EF

∵GF=BF+BG

∴EF=BF+DE

4.证明：

如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD，CE为△ABC的角平分线

∴∠1=∠2，∠3=∠4

B

在△AEO和△AFO中

AE

AF

E

D

1

2

O7

5

AO

AO

1

68

4

2

F7

3

A

C

∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠5=∠6

∵∠ABC=60°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180∠B

=18060

=120

∴∠2+∠3=60

∴∠AOC=180°60

=120°

∴∠5=∠6=∠7=∠8=60°

在△OFC和△ODC中

∠8∠7

OCOC

∠3∠4

∴△OFC≌△ODC（ASA）

∴CF=CD

∴AC=AF+FC

=AE+CD

4.证明：

如图，延长CE，交BA的延长线于点F．

∵CE⊥BD

∴∠BEF=∠BEC=90°

F

∵∠BAC=90°

A

∴∠CAF=∠BAD=90°

D

E

∵∠3=∠4

3

4

∴∠1=∠5

1

5

在△BAD和△CAF中

B

2

C

1

5

AB

AC

BADCAF

∴△BAD≌△CAF（ASA）

∴BD=CF

∵BE平分∠ABC

∴∠1=∠2

在△BEF和△BEC中

12BEBE

BEFBEC

∴△BEF≌△BEC（ASA）

∴EF=EC

8

∴CE=1CF

2

∴CE=1BD

2

三角形全等之截长补短每日一题

1.（4月28日）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．求证：

CD=AB+BD．

A

BDC

2.（4月29日）如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点，连接BP，CP．

求证：

ABAC>PBPC．

A

12P

BDC

9

3.（4月30日）已知：

如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且

PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．求证：

BD=AB+CD．

N

A

P

1

2

BDC

AD

4.（5月2日）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE，连接EF．

求证：

AE=BE+DF．

F

BEC

【参考答案】

1.证明：

如图，在线段DC上截取DE=BD，连接AE．

10

A

2

1

BDEC

∵AD⊥BC

∴∠ADB=∠ADE=90°

在△ABD和△AED中

ADAD

ADBADE

DBDE

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴∠B=∠1，AB=AE

∵∠B=2∠C

∴∠1=2∠C

∵∠1是△AEC的一个外角

∴∠1=∠C+∠2

∴∠C=∠2

∴AE=CE

∴CD=CE+ED

=AE+BD

=AB+BD

（如果延长DB到点F，使BF=AB，连接AF也可进行证明）

2.证明：

如图，在线段AB上截取AE=AC，连接PE．

A

12

P

E

BDC

则ABAC=ABAE=EB

在△AEP和△ACP中

AEAC

12APAP

∴△AEP≌△ACP（SAS）

∴PE=PC

11

在△PEB中，PBPE

∴PBPC

∴ABAC>PBPC

（延长AC到点F，使AF=AB，连接PF，也可证明结论）

3.证明：

如图，在BC上截取BE=BA，连接PE．

N

A

P

1

3

4

2

C

B

E

D

在△ABP和△EBP中

BABE

12BPBP

∴△ABP≌△EBP（SAS）

∴∠A=∠3

∵∠A+∠C=180°，∠3+∠4=180°

∴∠4=∠C

∵PD⊥BC

∴∠PDE=∠PDC=90°

在△PDE和△PDC中

4C

PDEPDC

PDPD

∴△PDE≌△PDC（AAS）

∴DE=DC

∴BD=BE+ED

=AB+CD

（过点P作PF⊥BA于F，也可进行证明）

4.证明：

如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG．

AD

1

243

5

F

GBEC

12

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠BAD=90°∴∠ABG=∠D=90°

在△ABG和△ADF中

ABAD

ABGADF

BGDF

∴△ABG≌△ADF（SAS）

∴∠1=∠2，∠5=∠G

∵AF平分∠DAE

∴∠1=∠3

∵∠1+∠5=90°

∴∠3+∠G=90°

∵∠1+∠3+∠4=90°

∴∠2+∠3+∠4=90°

∴∠2+∠4=∠G

∴AE=EG

∵EG=BE+BG

∴AE=BE+DF

三角形全等之截长补短（随堂测试）

6.已知：

如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：

BC=AB+AD．

A

D

BC

13

【参考答案】

1.证明略

提示：

在BC上截取BE=AB，证明△ABD≌△EBD，再证明

CE=AD．

三角形全等之截长补短（作业）

1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：

AC=AB+BD．

A

BDC

A

BDC

A

14

BDC

2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°．求证：

AE=AD+BE．

D

A

D

A

C

EB

C

EB

15

3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，

连接EC．

求证：

BC=AB+CE．

A

E

D

BC

A

E

D

BC

16

4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，

BD=CD，CE与BD交于F，连接AF．求证：

CF=AB+AF．

AD

E

F

BC

AD

E

F

BC

17

【参考答案】

1.证明略

提示：

方法一：

在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，

再证明CE=DE；

方法二：

延长AB到E，使BE=BD，证明△ADE≌△ADC．

2.证明略

提示：

在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CFA，再证明

BE=FE．

3.证明略

提示：

在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC．

4.截长法：

证明：

如图，在CF上截取CM=BA，连接DM．∵△BDC为等腰直角三角形，BD=CD

∴∠1=∠DCB=45°

A

D

∵CE⊥AB，∠BDC=90°

7

E

86

∴∠CEB=∠BDC=90°

2

3

F

∵∠2=∠3

4

M

∴∠4=∠5

5

1

C

在△ABD和△MCD中

B

AB

MC

4

5

BD

CD

∴△ABD≌△MCD（SAS）

∴DA=DM，∠6=∠7

∵AD∥BC

∴∠7=∠1=45°

∴∠6=45°

∴∠8=45°

∴∠7=∠8

在△ADF和△MDF中

DADM

78DFDF

∴△ADF≌△MDF（SAS）

∴AF=MF

∴CF=CM+MF

18

=AB+AF

补短法：

证明：

如图，延长BA交CD的延长线于点G．

∵△BDC为等腰直角三角形

∴∠GDB=∠BDC=90°，∠5=45°

∵CE⊥AB

∴∠CEB=∠BDC=90°

G

∵∠1=∠2

A

7

D

∴∠3=∠4

E

6

在△GBD和△FCD中

2

1

F

GDB

FDC

3

4

DBDC

5

C

3

B

4

∴△GBD≌△FCD（ASA）

∴BG=CF，DG=DF

∵AD∥BC

∴∠6=∠5=45°

∴∠7=45°

∴∠6=∠7

在△GDA和△FDA中

DGDF

76DADA

∴△GDA≌△FDA（SAS）

∴AG=AF

∵BG=AB+AG

∴CF=AB+AF

19