计算方法实验报告.docx
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计算方法实验报告
计算方法实验报告
姓名：
耿乐
学号：
913000710013
指导老师：
李建良
实验日期：
2014.11
实验一数值积分的数值实验
一、摘要：
本文对函数
，x
[-1,1]，取n+1个基点，
=0,1,2，…，n,
步长
求n次插值多项式
计算最大相对误差，并将
和
画在坐标系中。
二、算法：
根据节点的特征，本文采用了Newton插值法来生成插值函数。
程序算法如下：
最后，将原函数和插值多项式图像画在同一坐标系中进行比较，并计算相应n值时的最大相对误差。
三、源程序
#include
#include
#definen4
intmain（）
{
inti,j,t,k;
doubleco[n+1]={0},x[n+1],f[n+1],c[n+1][n+1]={0};
doubletable[n+1][n+1]={0},temp[n+1]={0};
doubleh=2.0/n,max,a,te;
doublefun（doublex）;
doublecha（double*co,doublex）;
for（i=0;i<=n;i++）
{
x[i]=-1.0+i*h;
table[i][0]=fun（x[i]）;
}
for（j=1;j<=n;j++）
{
for（i=0;i<=n-j;i++）
{
table[i][j]=（table[i+1][j-1]-table[i][j-1]）/（x[i+j]-x[i]）;
}
f[j]=table[0][j];
}//生成差商表
printf（"差商表为:
\n"）;
for（i=0;i<=n;i++）
{
printf（"%8.4f\t",x[i]）;
for（j=0;j<=n;j++）
printf（"%8.4f",table[i][j]）;
printf（"\n"）;
}
printf（"\n"）;
c[0][0]=1.0;
for（k=1;k<=n;k++）
{
c[k][0]=0;
for（i=0;i<=k;i++）
{
c[k][i+1]=c[k-1][i];
}
for（j=0;j{
c[k][j]=c[k][j]-c[k-1][j]*x[k-1];
}
}//求（x-x0）（x-x1）···（x-xi）展开系数
/*for（i=0;i<=n;i++）
{
for（j=0;j<=n;j++）
{
printf（"%8.4f",c[i][j]）;
}
printf（"\n"）;
}*/
for（i=0;i<=n;i++）
{
f[i]=table[0][i];
}//取出差商表第一行
printf（"\n"）;
for（i=0;i<=n;i++）
{
for（j=0;j<=n;j++）
{
co[i]+=f[j]*c[j][i];
}
}//求各次项系数
printf（"插值函数为：
\nPn（x）="）;
for（i=n;i>=0;i--）
{
if（co[i]>=-0.00000001&&co[i]<=0.00000001）
continue;
printf（"+（%8.5fx^%d）",co[i],i）;
}
printf（"\n"）;
printf（"最大相对误差为：
\n"）;
max=0;
for（a=-1.0;a<=1.0;a+=0.01）
{
te=1.0-cha（co,a）/fun（a）;
If（te<0）
te=-te;
if（te>max）
max=te;
}//求最大相对误差
printf（"%f\n",max）;
return0;
}
doublefun（doublex）//原函数
{
return（1.0/（1.0+25.0*x*x））;
}
doublecha（double*co,doublex）//插值函数
{
doublet=0;
inti;
for（i=n;i>=0;i--）
{
t+=co[i]*pow（x,i）;
}
returnt;
}
4、实验结果及分析
1、n=2
最大相对误差为6.0072
2、n=4
最大相对误差为7.4483
3、n=6
最大相对误差为12.9112
4、n=8
最大相对误差为21.4013
5、n=10
最大相对误差为32.5478
5、实验结论
可以看出，插值次数较低时，插值函数与原函数差异明显，相对误差较大；而插值次数增大时，仅在零点附近较小的区域，插值函数与原函数较为接近，而其他部分，尤其是靠近区域两侧边缘的区间上，误差极大。
这一现象称为龙格现象。
因此，可采用分段Hermite插值法进行改进。
实验二线性方程组求解的数值实验
一、摘要
本文对从2到9的每一个n值，解n阶方程组
在这里A和b如下定义：
其中
，最后解释其中现象。
二、算法
由于本案例的特殊性——系数矩阵为对称矩阵，可以采用平方根法来求解。
同时由于系数矩阵中元素的特殊分布，在采用高斯消去法时即是在采用列主元消去法。
两种算法如下：
1）高斯消去法
2）平方根法
三、源程序
1）高斯消去法
#include
#defineN9
intmain（）
{
doublea[N+1][N+1],b[N+1],t,x[N+1];
inti,j,k;
doublep（intx）;
for（i=1;i<=N;i++）
{
for（j=1;j<=N;j++）
{
a[i][j]=1.0/（i+j-1）;
}
b[i]=p（N+i-1）-p（i-1）;
}//生成增广矩阵
printf（"增广矩阵\n"）;
for（i=1;i<=N;i++）
{
for（j=1;j<=N;j++）
{
printf（"%-7.4f",a[i][j]）;
}
printf（"\t%-7.4f\n",b[i]）;
}
printf（"\n"）;
for（k=1;k<=N;k++）
{
t=a[k][k];
for（j=k;j<=N;j++）
{
a[k][j]=a[k][j]/t;
}
b[k]=b[k]/t;//每次化三角前把首个元素化为1
for（i=k+1;i<=N;i++）
{
t=a[i][k]/a[k][k];
for（j=k;j<=N;j++）
{
a[i][j]=a[i][j]-t*a[k][j];
}
b[i]=b[i]-t*b[k];
}//化下三角
}
printf（"化简后的增广矩阵\n"）;
for（i=1;i<=N;i++）
{
for（j=1;j<=N;j++）
{
printf（"%-6.2f",a[i][j]）;
}
printf（"\t%-8.4f\n",b[i]）;
}
printf（"\n"）;
for（i=N;i>=1;i--）
{
t=0;
for（j=i+1;j<=N;j++）
{
t+=a[i][j]*x[j];
}
x[i]=（b[i]-t）/a[i][i];
}//倒序求解
printf（"方程组解\n"）;
for（i=1;i<=N;i++）
{
printf（"x%d=%25f\n",i,x[i]）;
}
return0;
}
doublep（intx）
{
doublet;
t=14.0+N*（12+3*N）;
t=-7+N*N*t;
t=x*x*t+2.0;
t=（x*x*t）/24.0;
returnt;
}
2）平方根法
#include
#defineN9
intmain（）
{
inti,j,s;
doubletemp;
doublep（intx）;
doublea[N+1][N+1],b[N+1],x[N+1],y[N+1];
doublelow[N+1][N+1]={0},d[N+1];
printf（"增广矩阵\n"）;
for（i=1;i<=N;i++）
{
for（j=1;j<=N;j++）
{
a[i][j]=1.0/（i+j-1）;
}
b[i]=p（N+i-1）-p（i-1）;
}//生成增广矩阵
for（i=1;i<=N;i++）
{
for（j=1;j<=N;j++）
{
printf（"%-6.3f",a[i][j]）;
}
printf（"\t"）;
printf（"%-6.3f\n",b[i]）;
}
for（j=1;j<=N;j++）
{
low[j][j]=1;
temp=0;
for（s=1;s{
temp+=low[j][s]*low[j][s]*d[s];
}
d[j]=a[j][j]-temp;
for（i=j+1;i<=N;i++）
{
temp=0;
for（s=1;s{
temp+=low[i][s]*low[j][s]*d[s];
}
low[i][j]=（a[i][j]-temp）/d[j];
}
}
y[1]=b[1];
for（i=2;i<=N;i++）
{
temp=0;
for（s=0;s{temp+=low[i][s]*y[s];}
y[i]=b[i]-temp;
}
x[N]=y[N]/d[N];
for（i=N-1;i>=1;i--）
{
temp=0;
for（s=i+1;s<=N;s++）
{temp+=low[s][i]*x[s];}
x[i]=y[i]/d[i]-temp;
}
printf（"\n方程组解为\n"）;
for（i=1;i<=N;i++）
{printf（"x%d=%25f\n",i,x[i]）;}
return0;
}
doublep（intx）
{
doublet;
t=14.0+N*（12+3*N）;
t=-7+N*N*t;
t=x*x*t+2.0;
t=（x*x*t）/24.0;
returnt;
}
四、计算结果
以下给出两种方法下n为2，5，9的计算结果：
1）n=2
2）n=5
3）n=9
6、实验结论
由计算可以看出，随着n的增大，两种计算结果差别变得非常大，用其他软件计算解时会发现以上解的误差会比较大，这是因为随着n增大，系数矩阵的条件数变大，微小的扰动就容易造成很大的误差，可以认为该方程组是病态的最后得不到精确解。
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