二元一次方程解法大全Word文档下载推荐.docx
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x-=±
∴原方程的解为x1=,x2=.
3．公式法：
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±
（b^2-4ac）^（1/2）]/（2a）,（b^2-4ac≥0）就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5
将方程化为一般形式：
2x2-8x+5=0
∴a=2,b=-8,c=5
b^2-4ac=（-8）2-4×
2×
5=64-40=24>
∴x=[（-b±
（b^2-4ac）^（1/2）]/（2a）
4．因式分解法：
把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
（1）（x+3）（x-6）=-8
（2）2x2+3x=0
（3）6x2+5x-50=0（选学）（4）x2-2（+）x+4=0（选学）
（x+3）（x-6）=-8化简整理得
x2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）
（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）
∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
2x2+3x=0
x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）
∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：
有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
（3）解：
6x2+5x-50=0
（2x-5）（3x+10）=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,x2=-是原方程的解。
（4）解：
x2-2（+）x+4=0（∵4可分解为2·
2，∴此题可用因式分解法）
（x-2）（x-2）=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。
（三种重要的数学方法：
换元法，配方法，待定系数法）。
二元一次方程练习题
一、判断
1、是方程组的解…………（）
2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）
3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）
4、方程组，可以转化为（）
5、若（a2-1）x2+（a-1）x+（2a-3）y=0是二元一次方程，则a的值为±
1（）
6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………（）
7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5…………（）
8、方程组有无数多个解…………（）
9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………（）
10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解………（）
11、若|a+5|=5，a+b=1则………（）
12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（）
二、选择：
13、任何一个二元一次方程都有（）
（A）一个解；
（B）两个解；
（C）三个解；
（D）无数多个解；
14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）
（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个
15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是（）
（A）a<
2；
（B）；
（C）；
（D）；
16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）
（A）2；
（B）-1；
（C）1；
（D）-2；
17、在下列方程中，只有一个解的是（）
（A）（B）
（C）（D）
18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）
（A）15x-3y=6（B）4x-y=7（C）10x+2y=4（D）20x-4y=3
19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）
（A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7
（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=14
21、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）
（A）（B）（C）1（D）-1
22、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）
（A）无解（B）有唯一一个解
（C）有无数多个解（D）不能确定
23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）
（A）14（B）-4（C）-12（D）12
24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）
（A），b=-4（B），b=4
（C），b=4（D），b=-4
三、填空：
25、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______
若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；
26、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；
27、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代数式表示的代数式是_____________；
28、若是方程组的解，则；
29、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________；
30、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；
31、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；
32、若方程x-2y+3z=0，且当x=1时，y=2，则z=______；
33、若4x+3y+5=0，则3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于_________；
34、若x+y=a，x-y=1同时成立，且x、y都是正整数，则a的值为________；
35、从方程组中可以知道，x:
z=_______；
y:
z=________；
36、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；
四、解方程组
37、；
38、；
39、；
40、；
41、；
42、；
43、；
44、；
45、；
46、；
五、解答题：
47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的x的系数，解得；
乙看错了方程②中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；
48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，满足（2x+y-1）2+|3y-x|=0，又|a|+a=0，求a的值；
49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是28，试求出这个代数式；
50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。
2x+3y=6-6a，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+9
51、当a、b满足什么条件时，方程（2b2-18）x=3与方程组都无解；
52、a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程（x-1）（x-2）（x-3）恒等？
53、m取什么整数值时，方程组的解：
（1）是正数；
（2）是正整数？
并求它的所有正整数解。
54、试求方程组的解。
六、列方程（组）解应用题
55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；
若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？
56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？
57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；
如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。
59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。
60、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。
【参考答案】
一、1、√；
2、√；
3、×
；
4、×
5、×
6、×
7、√；
8、√；
9、×
10、×
11、×
12、×
二、13、D；
14、B；
15、C；
16、A；
17、C；
18、A；
19、C；
20、A；
21、A；
22、B；
23、B；
24、A；
三、25、，8，；
26、2；
27、；
28、a=3，b=1；
29、30、；
31、3，-432、1；
33、20；
34、a为大于或等于3的奇数；
35、4:
3，7:
936、0；
四、37、；
39、；
43、；
五、47、，；
48、a=-149、11x2-30x+19；
50、；
51、，b=±
352、a=6,b=11,c=-6；
53、
（1）m是大于-4的整数，
（2）m=-3，-2，0，，，；
54、或；
六、55、A、B距离为450千米，原计划行驶9.5小时；
56、设女生x人，男生y人，
57、设甲速x米/秒，乙速y米/秒
58、甲的容量为63升，乙水桶的容量为84升；
59、A、B两地之间的距离为52875米；
60、所求的两位数为52和62。
二元一次方程组练习题100道（卷二）
一、选择题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（）
A．3x－2y=4zB．6xy+9=0C．+4y=6D．4x=
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A．
3．二元一次方程5a－11b=21（）
A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）
5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）
A．－1B．－2C．－3D．
6．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（）
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）
①xy+2x－y=7；
②4x+1=x－y；
③+y=5；
④x=y；
⑤x2－y2=2
⑥6x－2y⑦x+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1B．2C．3D．4
8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（）
二、填空题
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：
y=_______；
用含y的代数式表示x为：
x=________．
10．在二元一次方程－x+3y=2中，当x=4时，y=_______；
当y=－1时，x=______．
11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
12．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．
14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
15．以为解的一个二元一次方程是_________．
16．已知的解，则m=_______，n=______．
三、解答题
17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．
18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
19．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．
20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？
21．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．
22．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；
若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
23．方程组的解是否满足2x－y=8？
满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组的解？
24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？
你能求出相应的x的解吗？
答案：
一、选择题
1．D解析：
掌握判断二元一次方程的三个必需条件：
①含有两个未知数；
②含有未知数的项的次数是1；
③等式两边都是整式．
2．A解析：
二元一次方程组的三个必需条件：
①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；
③每个方程都是整式方程．
3．B解析：
不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．
4．C解析：
用排除法，逐个代入验证．
5．C解析：
利用非负数的性质．
6．B
7．C解析：
根据二元一次方程的定义来判定，含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．
8．B
9．10．－10
11．，2解析：
令3m－3=1，n－1=1，∴m=，n=2．
12．－1解析：
把代入方程x－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－1．
13．4解析：
由已知得x－1=0，2y+1=0，
∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=1．
14．解：
解析：
∵x+y=5，∴y=5－x，又∵x，y均为正整数，
∴x为小于5的正整数．当x=1时，y=4；
当x=2时，y=3；
当x=3，y=2；
当x=4时，y=1．
∴x+y=5的正整数解为
15．x+y=12解析：
以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17，2x－y=3等，
此题答案不唯一．
16．14解析：
将中进行求解．
17．解：
∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×
（－3）=－3，∴x=4，
∵方程3x+5y=－3和3x－2ax=a+2有相同的解，
∴3×
（－3）－2a×
4=a+2，∴a=－．
18．解：
∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，
∴a－2≠0，b+1≠0，∴a≠2，b≠－1
此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．
（若系数为0，则该项就是0）
19．解：
由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化为4x+3x=7，
∴x=1，y=1．将x=1，y=1代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，
∴k=2解析：
由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．
20．解：
由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±
1，y=－．
当x=1，y=－时，x－y=1+=；
当x=－1，y=－时，x－y=－1+=－．
任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，
则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到│x│－1=0，2y+1=0．
21．解：
经验算是方程x+3y=5的解，再写一个方程，如x－y=3．
22．
（1）解：
设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得．
设有x只鸡，y个笼，根据题意得．
23．解：
满足，不一定．
∵的解既是方程x+y=25的解，也满足2x－y=8，
∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x－y=8的解有无数组，
如x=10，y=12，不满足方程组．
24．解：
存在，四组．∵原方程可变形为－mx=7，
∴当m=1时，x=－7；
m=－1时，x=7；
m=7时，x=－1；
m=－7时x=1．
二元一次方程应用题
题型一：
配套问题
1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
题型二：
年龄问题
2．甲对乙说：
“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”．乙对甲说：
“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”．请你算一算，甲、乙现在各多少岁？
题型三：
百分比问题
3．有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少？
题型四：
数字问题
4．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.
题型五：
古算术问题
5．巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。
364只碗，看看用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧。
诗句的意思是：
寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？
题型六：
行程问题
6．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时20分后相遇。
相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？
题型七：
工程问题
7．某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修0.4千米，结果如期完成。
问甲乙两队原计划每天各修多少千米？
题型八：
方案决策问题
8．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。
9．某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；
如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种加工方案：
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工．方案二：
尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售．方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
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