新教材高中数学第3章函数的概念与性质31函数的概念及其表示312函数的表示法第1课时函数的表示法教学案新.docx

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新教材高中数学第3章函数的概念与性质31函数的概念及其表示312函数的表示法第1课时函数的表示法教学案新

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法教学案新人教A版必修第一册

（教师独具内容）

课程标准：

1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.通过实例了解分段函数的概念.3.掌握求函数解析式的常见方法．

教学重点：

1.函数的三种表示方法.2.根据条件求函数的解析式．

教学难点：

用解析法和图象法表示分段函数.

【知识导学】

知识点一　　　函数的表示法

（1）解析法：

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

（2）列表法：

列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

（3）图象法：

用图象表示两个变量之间的对应关系．

知识点二　　　描点法作函数图象的三个步骤

（1）列表：

先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f（x），并用表格的形式表示出来．

（2）描点：

把第

（1）步表格中的点（x，f（x））一一在平面直角坐标系中描出来．

（3）连线：

用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大（或由大到小）的顺序连接起来．

知识点三　　　分段函数的概念

如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为

分段函数．

【新知拓展】

1．函数三种表示法的几点说明

（1）解析法：

变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域．

（2）列表法：

就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去．

（3）图象法：

函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象．

2．分段函数的特点

（1）分段函数是一个函数，并非几个函数．

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集．

（3）分段函数的值域是各段值域的并集．

（4）分段函数的图象要分段来画．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）任何一个函数都可以用列表法表示．（　　）

（2）任何一个函数都可以用解析法表示．（　　）

（3）分段函数是几个函数，而不是一个函数．（　　）

（4）函数的图象可以是一条水平直线．（　　）

（5）函数y＝1－|x|的图象如图．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

2．做一做

（1）已知函数f（x）由下表给出，则f（3）等于（　　）

A．1B．2C．3D．不存在

（2）函数y＝f（x）的图象如图，则f（x）的定义域是（　　）

A．R

B．（－∞，1）∪（1，＋∞）

C．（－∞，0）∪（0，＋∞）

D．（－1,0）

（3）已知反比例函数f（x）满足f（3）＝－6，f（x）的解析式为________．

（4）已知函数f（x）＝

则f（3）＝________.

（5）已知f（x）＝

若f（x0）＝4，则x0＝________.

答案　

（1）C　

（2）C　（3）f（x）＝－

　（4）1　（5）－2或1

题型一函数的表示法

例1　某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y（单位：

元）之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．

[解]　

（1）列表法：

（2）图象法：

如图所示．

（3）解析法：

y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．

金版点睛

理解函数的表示法的三个关注点

（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．

（2）判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．

（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．

　已知函数f（x），g（x）分别由下表给出．

则f[g

（1）]的值为________；

当g[f（x）]＝2时，x＝________.

答案　1　1

解析　由于函数关系是用表格形式给出的，知g

（1）＝3，

∴f[g

（1）]＝f（3）＝1；

由于g

（2）＝2，∴f（x）＝2，∴x＝1.

题型二函数图象的作法及应用

例2　作出下列函数的图象并求出其值域．

（1）y＝

，x∈[2，＋∞）；

（2）y＝x2＋2x，x∈[－2,2]；

（3）y＝

（4）y＝|x＋1|＋|x－3|.

[解]　

（1）列表：

画图象，当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝

的一部分（图①），观察图象可知其值域为（0,1]．

（2）列表：

画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分（图②）．由图可得函数的值域是[－1,8]．

（3）函数y＝

的图象如图③所示，观察图象，得函数的值域为（1，＋∞）．

（4）将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数为y＝

的图象如图④所示．观察图象，得函数的值域为[4，＋∞）．

金版点睛

作函数图象的方法

（1）若函数是一次函数、二次函数、反比例函数等，则可根据函数图象特征描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．

（2）若函数是复合函数，则要按：

①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出函数的图象.

（3）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.

（4）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，可先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

　作出下列函数图象，并求其值域：

（1）y＝1－x（x∈Z，且|x|≤2）；

（2）y＝2x2－4x－3（0≤x<3）；

（3）y＝

（－2≤x≤1，且x≠0）．

解　

（1）因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1,0,1,2}．

所以该函数图象为一直线上的孤立点（如图①）．

由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．

（2）因为y＝2（x－1）2－5，

所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；

当x＝1时，y＝－5.

因为x∈[0,3），故图象是一段抛物线（如图②）．

由图象可知，y∈[－5,3）．

（3）用描点法可以作出函数的图象如图③.

由图可知y＝

（－2≤x≤1，且x≠0）的值域为（－∞，－1]∪[2，＋∞）.

题型三求函数的解析式

例3　

（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x＋4，求f（x）的解析式；

（2）已知函数f（x＋1）＝x2－2x，求f（x）的解析式；

（3）已知函数y＝f（x）满足f（x）＋2f

＝x，求函数y＝f（x）的解析式；

（4）设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意的实数x，y都有f（x－y）＝f（x）－y（2x－y＋1），求f（x）的解析式．

[解]　

（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），

则f[f（x）]＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.

∴

解得

或

∴f（x）＝3x＋1或f（x）＝－3x－2.

（2）解法一（换元法）：

令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，可得f（t）＝（t－1）2－2（t－1）＝t2－4t＋3，即f（x）＝x2－4x＋3.

解法二（配凑法）：

因为x2－2x＝（x2＋2x＋1）－（4x＋4）＋3＝（x＋1）2－4（x＋1）＋3，所以f（x＋1）＝（x＋1）2－4（x＋1）＋3，即f（x）＝x2－4x＋3.

（3）在已知等式中，将x换成

，得f

＋2f（x）＝

，与已知方程联立，得

解得f（x）＝－

＋

.

（4）解法一：

由已知条件得f（0）＝1，

又f（x－y）＝f（x）－y（2x－y＋1），

设y＝x，则f（x－y）＝f（0）＝f（x）－x（2x－x＋1），

所以f（x）＝x2＋x＋1.

解法二：

令x＝0，得f（0－y）＝f（0）－y（－y＋1），

即f（－y）＝1－y（－y＋1），

将－y用x代换得f（x）＝x2＋x＋1.

金版点睛

函数解析式的求法

求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程（组）法、赋值法等．

（1）配凑法：

将形如f[g（x）]的函数的表达式配凑为关于g（x）的表达式，并整体将g（x）用x代换，即可求出函数f（x）的解析式．如由f（x＋1）＝（x＋1）2可得f（x）＝x2.

（2）换元法：

将函数f[g（x）]中的g（x）用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f（x）的解析式．

（3）待定系数法：

将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式．

一次函数解析式为y＝ax＋b（a≠0）．二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

（4）解方程（组）法：

采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f（x）的表达式，这种方法也称为消去法．

（5）赋值法：

利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值．

（1）已知函数f（x）＝x2，g（x）为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g（x）]＝4x2－20x＋25，求g（x）的表达式；

（2）已知f（

＋1）＝x＋2

，求f（x）的解析式；

（3）已知f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，求f（x）；

（4）设f（x）是R上的函数，f（0）＝1，并且对于任意的实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋y（2x＋1），求f（x）．

解　

（1）由g（x）为一次函数，设g（x）＝ax＋b（a>0），

∵f[g（x）]＝4x2－20x＋25，

∴（ax＋b）2＝4x2－20x＋25，

即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25，

从而a2＝4,2ab＝－20，b2＝25，

解得a＝2，b＝－5，故g（x）＝2x－5（x∈R）．

（2）解法一（配凑法）：

∵f（

＋1）＝x＋2

＝（

＋1）2－1（

＋1≥1），

∴f（x）＝x2－1（x≥1）．

解法二（换元法）：

令

＋1＝t（t≥1），则x＝（t－1）2（t≥1），

∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）．

∴f（x）＝x2－1（x≥1）．

（3）将f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x中的x用－x替换，得f（－x）＋2f（x）＝x2－2x.于是得到关于f（x），f（－x）的方程组

解得f（x）＝

x2－2x.

（4）由已知条件得f（0）＝1，又f（x＋y）＝f（x）＋y（2x＋1），

设y＝－x，

则f（x－x）＝f（x）＋（－x）（2x＋1），

∴f（x）＝2x2＋x＋1.

题型四根据图象求分段函数的解析式

例4　根据如图所示的函数f（x）的图象，写出函数的解析式．

[解]　当－3≤x<－1时，设f（x）＝ax＋b（a≠0），将点（－3,1），（－1，－2）代入，可得f（x）＝－

x－

；

当－1≤x<1时，同理，可设f（x）＝cx＋d（c≠0），将点（－1，－2），（1,1）代入，可得f（x）＝

x－

；

当1≤x<2时，f（x）＝1.

所以f（x）＝

金版点睛

由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解.对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围.

　已知函数y＝f（x）的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的，求此函数的解析式．

解　设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b（x≤1）．

∵点（1,1），（0,2）在射线上，

∴

解得

∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2（x≤1）．

同理，当x≥3时，函数的解析式为y＝x－2（x≥3）．

设抛物线的一部分对应的二次函数的解析式为y＝a（x－2）2＋2（1

∵点（1,1）在抛物线上，∴a＋2＝1，即a＝－1.

∴当1

综上，函数的解析式为y＝

题型五分段函数求值

例5　

（1）设f（x）＝

则f（5）的值是（　　）

A．24B．21C．18D．16

（2）设函数f（x）＝

则f[f（3）]＝（　　）

A.

B．3C.

D.

（3）已知函数f（x）＝

若f（x）＝－3，则x＝________.

[解析]　

（1）f（5）＝f[f（10）]，f（10）＝f[f（15）]＝f（18）＝21，f（5）＝f（21）＝24.

（2）∵f（3）＝

<1，

∴f[f（3）]＝

2＋1＝

.

（3）若x≤1，由x＋1＝－3，得x＝－4.

若x>1，由1－x2＝－3，得x2＝4，

解得x＝2或x＝－2（舍去）．

综上可得，所求x的值为－4或2.

[答案]　

（1）A　

（2）D　（3）－4或2

金版点睛

1．求分段函数函数值的方法

（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间．

（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．

2．已知函数值求字母取值的步骤

（1）先对字母的取值范围分类讨论．

（2）然后代入到不同的解析式中．

（3）通过解方程求出字母的值．

（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内．

3．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．

（1）已知函数f（x）＝

若f[f（0）]＝a，则实数a＝________；

（2）已知f（x）＝

求f{f[f（－3）]}．

答案　

（1）

（2）见解析

解析　

（1）依题意知f（0）＝3×0＋2＝2，则f[f（0）]＝f

（2）＝22－2a＝a，求得a＝

.

（2）∵－3<0，∴f（－3）＝0，

∴f[f（－3）]＝f（0）＝π.

又π>0，∴f{f[f（－3）]}＝f（π）＝π＋1，

即f{f[f（－3）]}＝π＋1.

1．已知函数y＝f（x）的对应关系如下表，函数y＝g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1,3），B（2,1），C（3,2），则f[g

（2）]的值为（　　）

A．3B．2C．1D．0

答案　B

解析　由函数g（x）的图象知，g

（2）＝1，则f[g

（2）]＝f

（1）＝2.

2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是（　　）

答案　D

解析　∵f（x）＝

分别画出y＝x2（取x≥0部分）及y＝－x2（取x<0部分）即可．

3．对a，b∈R，记max{a，b}＝

函数f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}（x∈R）的最小值是（　　）

A．0B.

C.

D．3

答案　C

解析　分别作出y＝|x＋1|和y＝|x－2|的图象，则实线部分为f（x）的图象，由图象可得，其最小值为

.故选C.

4．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0,4），（2,0），（4,2），则f{f[f

（2）]}＝________，f（x）的值域是________．

答案　2　[0,4]

解析　∵f

（2）＝0，∴f[f

（2）]＝f（0）＝4，

∴f{f[f

（2）]}＝f（4）＝2.

由图象可知，f（x）的值域是[0,4]．

5．已知f（x）＝x＋b，f（ax＋1）＝3x＋2，求a，b的值．

解　由f（x）＝x＋b，得f（ax＋1）＝ax＋1＋b.

∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.