《勾股定理》集体备课教案.docx
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《勾股定理》集体备课教案
阳逻三中八年级数学下册集体备课教案
第十八章《勾股定理》教材分析及教案建议
本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。
在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
本章教案时间约需8课时，具体安排如下：
18．1 勾股定理 4课时
18．2 勾股定理的逆定理 3课时
数学活动
小 结1课时
一、教科书内容和课程学习目标
本章知识结构框图：
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。
它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。
在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。
勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
在教科书中，图18.1－3
（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1－3（3）中的图形。
由此就证明了勾股定理。
通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。
由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。
由勾股定理可得
或
，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。
也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。
教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。
在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。
从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。
教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。
这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。
实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。
从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。
几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。
学生已见过一些互逆命题（定理），例如：
“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。
勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。
因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。
为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。
本章学习目标如下：
1．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；
2．会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
3．通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
二、本章编写特点
（一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程
勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。
因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为
，那么
（教科书把这个猜想记作命题1，把下节“如果三角形的三边长
满足
，那么这个三角形是直角三角形”记作命题2，便于引出互逆命题）。
教科书让学生用勾股定理探究三个问题。
探究1是木板进门问题。
按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试。
由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定理解决。
探究2是梯子滑动问题：
梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。
这个问题可以转化为已知斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。
探究3是在数轴上画出表示
的点。
分以下四步引导学生：
（1）将在数轴上画出表示
的点的问题转化为画出长为
的线段的问题。
（2）由长为
的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为
的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边。
（3）通过尝试发现，长为
的线段是直角边为2,3的直角三角形的斜边。
（4）画出长为
的线段，从而在数轴上画出表示
的点。
（二）结合具体例子介绍抽象概念
在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容。
在勾股定理一节中，先让学生通过观察得出命题1，然后通过面积变形证明命题1。
由此说明，经过证明被确认正确的命题叫做定理。
在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形。
因而猜想如果三角形的三边长
满足
，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2。
把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。
接着探究证明命题2的思路。
用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念。
命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况。
为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。
（三）注重介绍数学文化
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要贡献。
本章介绍了我国古代的有关研究成果。
在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。
有很多方法可以证明勾股定理。
教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国古人赵爽的证法。
首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路。
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。
正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。
还在习题中安排我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果。
本章也介绍了国外的有关研究成果。
如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。
又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。
再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。
三、几个值得关注的问题
（一）让学生获得更多与勾股定理有关的背景知识
与勾股定理有关的背景知识丰富，除正文介绍的有关内容外，教科书在“阅读与思考勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与同学交流。
在教案中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。
特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。
（二）适当总结与定理、逆定理有关的内容
本章中给出了定理、逆定理的概念，可以在小结中回顾已学的一些结论。
例如，在第七章“三角形”中，“三角形的内角和等于180°”是由平行线的性质与平角的定义推出的，这个结论也称为三角形内角和定理。
又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等证明的，前一个结论也称为角的平分线的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理。
这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。
互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们困难不大，对于那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题困难较大，是教案中的一个难点。
解决这个难点的方法是，适当复习命题的有关内容，学会把一个命题变为“如果……那么……”的形式。
注意这些概念是第一次学习，不要要求过高。
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四、教案建议
本章内容的重点与难点是勾股定理及其应用，勾股定理的逆定理及其应用。
勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。
本章的难点是掌握勾股定理并能熟练的运用勾股定理。
要注意：
在直角三角形中，反映的是直角三角形的三边关系。
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边的平方和。
在其它三角形中不存在这样的关系。
这是一个非常重要的定理。
它是把形转化为数，它的应用非常广泛。
勾股定理的逆定理则是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形。
相关知识点回顾：
（1）直角三角形的两个锐角互余
（2）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）斜边大于任一条直角边
（4）全等三角形判定方法。
（5）面积公式
学生在本章学习中存在认知误区和思维障碍。
（1）忽视题目中的隐含条件。
如在Rt△ABC中，∠B＝90，a，b，c分别为三条边，a＝3，b＝4，求边c的长。
不少学生会认为c＝5，忽视了b是斜边这一隐含条件。
（2）忽视定理成立的条件是在直角三角形中，有的同学看到三角形的两边是3和4，就会认为第三边是5，
（3）考虑问题不全面造成漏解．如已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
（4）通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形．如（a）连结两点构造直角三角形（b）作高构造直角三角形（c）构造几何图形解决代数问题。
教案建议
本章教案教师可采用主体性学习的教案模式，提出问题让学生思考，设计问题让学生做，错误原因让学生找，方法与规律让学生归纳．教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、大胆想象、总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教案活动的主人。
本章的教案步骤可分五步：
探索结论——验证结论——初步应用结论——证明结论——应用结论解决实际问题。
1、在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与
例如，教材设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师鼓励学生尝试求出方格中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系，由此得到直角三角形三边的关系、通过对几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论。
2、在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现
例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到；而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数想到正方形的面积．
3、初步应用结论阶段的重点是让学生明确：
在直角三角形中，知道两边的长度，可以求得第三边的长度，教师应充分利用教材让学生体会勾股定理及其逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用，如埃及人利用结绳的方法作出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4、证明结论阶段主要是理清思路，而不只是介绍某一种证明方法教师在教案中应激发学生探索更多的证明方法，注意训练学生书写规范。
5、应用结论解决实际问题要注意强调两类问题：
探索性问题和应用性问题通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造能力
例有一个边长为50分M的正方形洞口，问用直径为多长的圆形铁片来堵住洞口？
表面看上去这是一个有关圆的问题。
其实圆形铁片的直径就应该是等腰三角形的斜边长边长是50分M，把它看成一个直角三角形，然后用勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
就是50x50+50x50=5000，答案是50√2=70.5
要求学生记住勾股定理，然后对待问题套公式，这样可以解决一系列的问题
6、注重介绍数学史，凸显数学的文化价值
7、关注学生学习过程的评价，对于本章的学习，除了考查勾股定理的解题应用外，还应该关注对学生学习过程的评价。
例如，让学生动手截、割、拼、补，使学生参与定理的发现、探索、验证过程，既能培养学生数学的直观能力，又能体现教案的针对性、活动性、开放性与合作性。
五常见典型错误简析
（1）如何求第三边?
例1在Rt△ABC中，∠B＝90，a，b，c分别为三条边，a＝3，b＝4，求边c的长。
不少学生会认为c＝5，忽视了b是斜边这一隐含条件。
例2判断：
在△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB的长
不少学生会认为AB=5,忽视了△ABC是直角三角形这个条件。
例3已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
不少学生会认为第三边为13，忽视了12可能是直角边也可能是斜边。
例4如图，∠A＝45，∠B=∠D=90，BC=1，AD＝2，求CD的长。
不少学生会在四边形ABCD里面加辅助线，破坏了已知的条件。
增加了解题的难度。
应该把AB,CD边延长，构造出新的直角三角形，利用勾股定理解题。
（2）蚂蚁怎么走最近?
例5如图，有一个圆柱，它的高等于12厘M，底面半径等于3厘M．在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是多少?
（π的值取3）．
C
B
B
本题常见错误有两个：
一是不能正确地将圆柱的侧面展开，从而无法进行求解；二是误将圆柱侧面展开图（矩形）的对角线作为所求的AC．
B
C
D
A
A
（3）木板能否经过门框?
例6一个门框的长为2m,宽为1m,如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木
板能否从门框内通过?
为什么?
不少学生一看此题，就会给出答案：
不能．而不知应先利用勾股定理求出AC的长再进行判断。
（4）梯子底端下滑几M?
例7一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2．5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0．5m，那么梯子底端B也外移0．5吗？
本题学生容易错误地理解为梯子的顶端A沿墙下滑0．5m时，
梯子底端C向外移动的距离是CD，因为梯子的长度没有改变，
认为CD=AE，得出错误解答。
（5）湖水如何知深浅?
例8“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅?
”请用学过的数学知识解答这个问题．
六中考热点
勾股定理在中考数学中单独命题考查的选择题和填空题相对较少，而主要是与方程、函数、四边形、圆以及相似形等知识综合在一起考查，灵活性强，涉及面广、能力要求高。
1（2009年达州）图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A．13B．26C．47D．94【答案】C
2（2009年滨州）如图3，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高
AD＝8，则边BC的长为（）
A．21B．15C．6D．以上答案都不对【答案】A
3（2009年安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
【答案】76
4（2009年湖南长沙）如图，等腰
中，
，
是底边上的高，若
，则
cm．【答案】4
5（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点
离点
的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
爬到点
，需要爬行的最短距离是（ ）A．
B．25C．
D．
【答案】B
6（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中
M，
，
，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长
度应为．【答案】（2+2
）M．
7（2009年四川省内江市）已知Rt△ABC的周长是
，
斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________【答案】8
8（2009年宜宾）已知：
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．
若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．【答案】
．
9（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,
BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．
（1）证明：
ΔBAD≌ΔDCE；
（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．答案
．
10（09白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°
，
第十八章勾股定理
18．1勾股定理
（一）
一、教案目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点
1．重点：
勾股定理的内容及证明。
2．难点：
勾股定理的证明。
三、例题的意图分析
例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：
“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
五、例习题分析
例1（补充）已知：
在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：
a2＋b2=c2。
分析：
⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：
4S△+S小正=S大正
4×
ab＋（b－a）2=c2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：
在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：
a2＋b2=c2。
分析：
左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×
ab＋c2
右边S=（a+b）2
左边和右边面积相等，即
4×
ab＋c2=（a+b）2
化简可证。
六、课堂练习
1．勾股定理的具体内容是：
。
2．如图，直角△ABC的主要性质是：
∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线；
⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；
⑷三边之间的关系：
。
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习
1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c=。
（已知a、b，求c）
⑵a=。
（已知b、c，求a）
⑶b=。
（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19，b、c
192+b2=c2
3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=
cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。
4．已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。
求证：
⑴AD2－AB2=BD·CD
⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。
课后反思：
八、参考答案
课堂练习
1．略；
2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=
AB；⑶AC=
AB；⑷AC2+BC2=AB2。
3．∠B，钝角，锐角；
4．提示：
因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA，又因为S梯形ACDG=
（a+b）2，
S△BCE=S△EDA=
ab，S△ABE=
c2,
（a+b）2=2×
ab＋
c2。
课后练习
1．⑴c=
；⑵a=
；⑶b=
2．
；则b=
，c=
；当a=19时，b=180，c=181。
3．5秒或10秒。
4．提示：
过A作AE⊥BC于E。
18．1勾股定理
（二）
一、教案目标
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点
1．重点：
勾股定理的简单计算。
2．难点：
勾股定理的灵活运用。
三、例题的意图分析
例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
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