14章勾股定理全章教案完备.docx

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14章勾股定理全章教案完备

第十四章勾股定理

14.1勾股定理

（1）

一、教学目标：

1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。

2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。

3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。

二、教学重点、难点：

重点：

探索和验证勾股定理过程；

难点：

通过面积计算探索勾股定理。

三、教学方法及教学手段：

采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。

四、教学过程：

1．创设情境，导入课题

多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。

2．自主探索，合作交流

活动一：

动脑想一想

小明用一边长为

的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？

①这个问题你是怎样想的？

请说出你的想法。

②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为

），你能知道斜边的长吗？

③观察图形，并填空：

⑴正方形P的面积为

，

正方形Q的面积为

，

正方形R的面积为

。

⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间

有什么关系？

从中你发现了什么？

活动二：

动手做一做

其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？

（你打算用什么方法来研究？

共同讨论方法后

再确立研究方向）（图中每一小方格表示

）

⑴正方形P的面积为

，正方形Q的面积为

，正方形R的面积为

。

⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？

⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？

你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

与你的同伴进行交流。

试一试：

①在方格图中，画出两条直角边分别为

、

的直角三角形，②再用刻度尺量出斜边长，③验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？

让学生自己总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容。

3．验证定理，拓展提高

请你利用手中的直角三角形纸片，通过拼图来验证刚才大家的发现

拼一拼：

给出4个全等的直角三角形纸片，拼一拼，摆一摆，看看能否得到一个以C为一边的正方形？

（介绍赵爽弦图和2002ICM标志）

4．运用新知，体验成功

例1．Rt△ABC中，

=90°，AB=C，AC=b，BC=a

⑴已知AC=6，BC=8，求AB.

⑵已知

=15，

=9，求

.（提醒学生注意边的位置）

例2：

看图填空（图中的三角形都是直角三角形，四边形都为正方形）

=

=正方形C的面积为

5．反馈练习，巩固新知

一、判断

①直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方（）

②Rt△ABC中，

则

（）

二、1．在Rt△ABC中，

，

，

，

①若

，

，则

.

②若

，

，则

.

③若

，

，则

，

.

2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，

其中最大的正方形边长是

，则正方形

A、B、C、D的面积和是

。

3．生活中的数学——你知道吗？

小红家新买了一台29英寸（74cm）的电视机，小红量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58cm长和46cm宽，他认为营业员搞错了，你同意他的想法吗？

你能作出合理的解释吗？

6．课堂小结：

师生一起回顾本节知识，主要是让学生回忆学到了哪些知识和方法，教师最后再作补充。

（1数学家大会所用标志。

2勾股定理是宇宙语言。

3同学们，学了今天的课后，如果你对勾股定理另有自己的想法和证法，请你告诉我）

7．作业布置）

8、反思及感

§14、1勾股定理

（二）

一、教学目标

1、会用勾股定理进行简单的计算。

2、树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点

1、重点：

勾股定理的简单计算。

2、难点：

勾股定理的灵活运用。

3、难点的突破方法：

⑴数形结合，让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。

⑵分类讨论，让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力

⑶作辅助线，勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

六、课堂练习

1、填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2、已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

七、课后练习

1、填空题：

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b=。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c=。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c=。

⑹如果b=8，a：

c=3：

5，则c=。

2、已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

八、反思及感想：

14、2勾股定理的逆定理

（一）

一、教学目标

1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点

1、重点：

掌握勾股定理的逆定理及证明。

2、难点：

勾股定理的逆定理的证明。

3、难点的突破方法：

先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

为学生搭好台阶，扫清障碍。

⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑶先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

四、课堂引入

创设情境：

⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？

和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

五、例习题分析

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：

⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

（解略。

）

例2（探究）证明：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

分析：

⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

（证明略。

）

例3（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

求证：

∠C=90°。

分析：

⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

六、课堂练习

1、判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形。

2、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A、如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B、如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C、如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D、如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形。

3、下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

A、a=8，b=15，c=17B、a=9，b=12，c=15

C、a=

，b=

，c=

D、a：

b：

c=2：

3：

4

4、已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=

，b=

，c=

；⑵a=5，b=7，c=9；

⑶a=2，b=

，c=

；⑷a=5，b=

，c=1。

七、课后练习，

1、叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2、填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；

若a2＜b2－c2，则∠B是。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形。

3、若三角形的三边是⑴1、

、2；⑵

；⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）

A、2个B、３个　　　　　Ｃ、４个　　　　　　Ｄ、５个

4、已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；

⑶a=2，b=

，c=4；⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。

八、反思及感想：

14、2勾股定理的逆定理

（二）

一、教学目标

1、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点

1、重点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2、难点：

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

3、难点的突破方法：

三、例题的意图分析

例1（例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

四、课堂引入

创设情境：

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

五、例习题分析

例1（例2）

分析：

⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；（解略。

）

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

六、课堂练习

1、小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：

甲巡逻艇的航向？

七、课后练习

1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，

则三边长分别为，此三角形的形状为。

2、已知AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，

为什么？

3、如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些

蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

八、反思及感想：

§14、2勾股定理的逆定理（三）

一、教学目标

1、应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。

2、灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点

1、重点：

利用勾股定理及逆定理解综合题。

2、难点：

利用勾股定理及逆定理解综合题。

3、难点的突破方法：

⑴研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

⑵构造勾股数，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，在利用勾股定理进行计算。

⑶注意给学生归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。

⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

三、例题的意图分析

例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。

本题辅助线作平行线间距离无法求解。

创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。

例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。

四、课堂引入

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。

五、例习题分析

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状。

分析：

⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2（补充）已知：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

例3（补充）已知：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC是直角三角形。

分析：

∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2

六、课堂练习

1、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）

A、等腰三角形；B、直角三角形；

C、等腰三角形或直角三角形；D、等腰直角三角形。

2、若△ABC的三边a、b、c，满足a：

b：

c=1：

1：

，试判断△ABC的形状。

3、已知：

如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

，CD=

，

AD=3，且AB⊥BC。

求：

四边形ABCD的面积。

4、已知：

在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

且CD2=AD·BD。

求证：

△ABC中是直角三角形。

七、课后练习，

1、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

求△ABC的面积。

2、在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。

求证：

△ABC是等腰三角形。

3、已知：

如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，

且BD=DC，AC2=AE2+CE2。

求证：

AB2=AE2+CE2。

4、已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=

，试判定△ABC的形

八、反思及感想：

§14、3勾股定理的应用

（一）

一、教学目标

1、会用勾股定理解决简单的实际问题。

2、树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1、重点：

勾股定理的应用。

2、难点：

实际问题向数学问题的转化。

3、难点的突破方法：

数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。

三、例题的意图分析

例1（探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

例2（探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：

保证一边不变，其它两边的变化。

四、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试。

五、例习题分析

例1（探究1）

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教探究2）

分析：

⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

六、课堂练习

1、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2、如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平距离是米。

2题图3题图4题图

3、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，

两个固定点之间的距离是。