初三数学教案.docx

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初三数学教案

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导语：

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

以下是品才网小编整理的初三数学教案，欢迎阅读参考。

正多边形的有关计算　　教学设计示例1

　　教学目标：

（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题;

（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力;

　　（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新.

　　教学重点:

　　把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.

　　教学难点:

　　正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

　　教学活动设计:

（一）创设情境、观察、分析、归纳结论

　　1、情境一：

给出图形.

　　问题1：

正n边形内角的规律.

　　观察：

在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论.

　　教师组织学生自主观察，学生回答.（正n边形的每个内角都等于

　　.）

　　2、情境二：

给出图形.

　　问题2：

每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形?

它们有什么规律?

　　教师引导学生观察，学生回答.

　　观察：

三角形的形状，三角形的个数.

　　归纳：

正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

　　3、情境三：

给出图形.

　　问题3：

作每个正多边形的边心距，又有什么规律?

　　观察、归纳：

这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的.

（二）定理、理解、应用：

　　1、定理：

正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

　　2、理解：

定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

　　由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角

　　的一半，即

　　，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

　　3、应用：

　　例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6.

　　教师引导学生分析解题思路：

　　n=6

　　=30°，又半径为R

　　a6、r6.

　　P6、S6.

　　学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力.

　　解：

　　作半径OA、OB;作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB.∵∠GOB=

　　，

　　∴a6=2·Rsin30°=R，

　　∴P6=6·a6=6R，

　　∵r6=Rcos30°=

　　，∴

　　.归纳：

如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=

　　Pnrn.

　　4、研究：

（应用例1的方法进一步研究）

　　问题：

已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

　　学生以小组进行研究，并初步归纳：

　　上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

　　通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了.例如：

（1）圆的半径或边数;

（2）圆的半径和边心距;（3）边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素.

　　（三）小节

　　知识：

定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

　　思想：

转化思想.

　　能力：

解直角三角形的能力、计算能力;观察、分析、研究、归纳能力.

　　（四）作业

　　归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.

　　教学设计示例2

　　教学目标：

（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题;

（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法;

　　（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力;

　　（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点.

　　教学重点:

　　应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法.

　　教学难点:

　　例3的证明方法.

　　教学活动设计：

（一）知识回顾

（1）方法：

运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题.

（2）知识：

正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，正多边形的有关计算.

　　组织学生填写教材P165练习中第2题的表格.

（二）正多边形的应用

　　正

　　多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义.

　　例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5（精确到）.

　　解：

设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，∠AOF=

　　.∵AF=

　　（cm），∴R5=

　　（cm）.r5=

　　（cm）.

　　答：

这个正多边形的半径约为，边心距约为

　　建议：

①组织学生，使学生主动参与教学;②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识;③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养.

　　以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流.

　　例3、已知：

正十边形的半径为R，求证：

它的边长

　　.

　　教师引导学生：

（1）∠AOB=?

（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数?

　　（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些?

你发现图中三角形有什么关系?

　　（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗?

怎么计算?

　　解：

如图，设AB=a10.作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则

　　∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°.

　　∴OM=MB=AB=a10.

　　△OAB∽△BAM

　　OA:

AB=BA:

AM，即R:

a10=a10:

（R-a10），整理，得

　　（取正根）.由例3的结论可得

　　回顾：

黄金分割线段.AD2=DC·AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项.顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段.

　　反思：

解决方法.在推导a10与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的.解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识.

　　练习中练习1

　　（三）总结

（1）应用正多边形的有关计算解决实际问题;

（2）综合代数列方程的方法证明了

　　.

　　（四）作业

　　教材P173中8、9、10、11、12.

　　探究活动

　　已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角

　　的大小.

　　探究它们存在什么规律?

你能证明吗?

　　（提示：

　　.）　

画正多边形　　教学设计示例1

　　教学目标：

（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆;掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形;

（2）通过画图培养学生的画图能力;

　　（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情.

　　教学重点：

（1）量角器等分圆心角来等分圆;

（2）尺规作圆内接正方形和正六边形.

　　教学难点：

　　准确作图.

　　教学活动设计：

（一）提出问题：

　　由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.

　　问题

　　1：

已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.

　　教师组织学生进行，方法不限.

　　目的：

充分发展学生的发散思维.

（二）解决问题：

　　以下为解决问题的参考方案：

（上课时教师归纳学生的方法）

（1）度量法：

①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

　　②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

（2）尺规法：

（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可.

　　（3）计算与尺规结合法：

由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=

　　R=2

　　（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2

　　（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可.

　　（三）研究、归纳

　　1、用量角器等分圆：

　　依据：

等圆中相等的圆心角所对应的弧相等.

　　操

　　作：

两种情况：

其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦;其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大.

　　问题2：

把半径为2cm⊙O九等份.

　　（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）

　　归纳：

用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差.

　　2、

　　用尺规等分圆：

（1）问题3：

作正四边形、正八边形.

　　教师组织学生，分析、作图.

　　归纳：

只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

　　（2

　　）问题4：

作正六、三、十二边形.

　　教师组织学生，分析、作图.

　　归纳：

先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画.

　　（四）总结

（1）用量角器等分圆周作正n边形;

（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形.

　　（五）作业教材P173中13.

　　教学设计示例2

　　教学目标：

　　1、能应用画正多边形解决实际问题;会画正五边形的近似图;了解等分圆的美丽图形;

　　2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力;

　　3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育;

　　4、渗透数学建模思想.

　　教学重点：

　　应用正多边形的计算与画图解决实际问题.

　　教学难点：

　　数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题.

　　教学活动设计：

（一）知识回顾：

　　分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形.

　　要求①尺规作图;②说明画法;③指出作图依据;④学生独立完成.

　　教师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导.

（二）画图应用：

　　例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，

（1）用1∶200的比例尺画出地基平面图;

（2）求地基的边长a8（精确到）和面积S8（精确到）

　　教师引导学生分析：

①比例尺=

　　;②正八边形的半径R=2cm;③如何解正八边形和近似计算.（

　　1）画法：

1.以任意一点O为圆心，以4m的

　　，即2cm为半径画⊙O（如图）.

　　2.作⊙O的直径AC、BD，使AC⊥BD.

　　3.作平分

　　、

　　的直径EG、FH.

　　4.顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

　　八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形.

（2）解（学生分析解题方法）：

　　（m）

　　（m）

　　（m2）

　　答：

（略）

　　我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：

“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：

如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=，在AF上取FM=，则AM=，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.连结AB、BC、DE、EA即可.

　　例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形.

　　分析：

要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例.由已知知道要画正五边形的边CD=20mm.请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形ABCDE.

　　（画法：

略.参看教材P170）

　　说明：

虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的.有能力的学生课下可以探究和计算.

　　通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点.

　　（三）优美图案欣赏和画法：

　　请学生欣赏下列图案，分析图案结构，画出图案.

　　组织学生进行，可以让学生独立完成，也可以让学生协作完成，对画的较好的同学给予表彰.

　　（四）总结

　　1、运用正多边形的知识解决实际问题;

　　2、学习了民间画正五边形的近似画法;

　　3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案.

　　（五）作业

　　教材P171中练习1;P173中12;P173中14.

　　探究活动

　　图案设计

　　某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。

为了美观，种植要求如下：

（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃。

（注意：

面积相等必须由数学知识作保证）

（2）花卉总面积等于广场面积

　　（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。

　　请你设计种植方案：

（设计的方案越多越好;不同的方案类型不同.）

　　答案提示：

切线长定理　　1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

　　重点：

切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点.

　　难点：

与切线长定理有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.

　　2、教法建议

　　本节内容需要一个课时.

（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;

（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.

　　教学目标

　　1.理解切线长的概念，掌握切线长定理;

　　2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.

　　3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度.

　　教学重点:

　　切线长定理是教学重点

　　教学难点:

　　切线长定理的灵活运用是教学难点

　　教学过程设计:

（一）观察、猜想、证明，形成定理

　　1、

　　切线长的概念.

　　如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长.

　　引导学生理解：

切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

　　2、观察

　　利用电脑变动点P的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.

　　3、

　　猜想

　　引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB.PA=PB.

　　4、证明猜想，形成定理.

　　猜想是否正确。

需要证明.

　　组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA=PB.

　　想一想：

根据图形，你还可以得到什么结论?

　　∠OPA=∠OPB（如图）等.

　　切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

　　5、归纳：

　　把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

　　6、切线长定理的基本图形研究

　　如图，

　　PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C

（1）写出图中所有的垂直关系;

（2）写出图中所有的全等三角形;

　　（3）写出图中所有的相似三角形;

　　（4）写出图中所有的等腰三角形.

　　说明：

对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.

（二）应用、归纳、反思

　　例1、已知：

　　如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，

　　A和B是切点，BC是直径.

　　求证：

AC∥OP.

　　分析：

从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA=PB，∠APO=∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB=OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.

　　从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法.

　　证法一.如图.连结AB.

　　PA，PB分别切⊙O于A，B

　　∴PA=PB∠APO=∠BPO

　　∴OP⊥AB

　　又∵BC为⊙O直径

　　∴AC⊥AB

　　∴AC∥OP（学生板书）

　　证法二.

　　连结AB，交OP于D

　　PA，PB分别切⊙O于A、B

　　∴PA=PB∠APO=∠BPO

　　∴AD=BD

　　又∵BO=DO

　　∴OD是△ABC的中位线

　　∴AC∥OP

　　证法三.连结AB，设OP与AB弧交于点E

　　PA，PB分别切⊙O于A、B

　　∴PA=PB

　　∴OP⊥AB

　　∴

　　=

　　∴∠C=∠POB

　　∴AC∥OP

　　反思：

　　教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.

　　例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.

　　（分析和解题略）

　　反思：

（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论.

（2）圆内接四边形的性质：

对角互补.

　　P120练习：

　　练习1　填空

　　如图,

　　已知⊙O的半径为3厘米，PO=6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA=_______，∠APB=________

　　练习2　已知：

在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长.

　　分析：

设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x,y，z的方程组，解方程组便可求出结果.

　　（解略）

　　反思：

解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.

　　（三）小结

　　1、

　　提出问题学生归纳

（1）这节课学习的具体内容;

（2）学习用的数学思想方法;

　　（3）应注意哪些概念之间的区别?

　　2、归纳基本图形的结论

　　3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.

　　（四）作业

　　教材P131习题组1.

（1），2，3，组1题.

　　探究活动

　　图中找错

　　你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗?

　　在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.

　　提示：

在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上.

　　在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，则有

　　a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+c　　①

　　c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+b　　②

　　a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+b　　③

　　将②代人①式得

　　a=P1P3+（P2P3+b）=P1P3+P2P3+b，

　　∴a-b=P1P3+P2P3

　　由③得a-b=P1P2得

　　∴P1P2=P2P3+P1P3

　　∴P1、P2、P3应重合，故图2是错误的.