胡运权运筹学第七章习题解word精品Word格式文档下载.docx
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39
=39
4+4
1+2*5+4+2
3*5+4+16+
4*5+4+11+
5*5+4+4+
34
0=35
1=36
1=34
1*4+4+20
2*5+4+16+
3*5+4+11+
4*5+4+4+
30
+2=230
2=32
2=30
3+
1*5+4+16
2*5+4+11+
3*5+4+4+3
23
+3=28
3=28
=23
=3
4+
5+4+11+4
2*5+4+4+4
=22
=2
5+1
1*5+4+4+
1=
5=16
6+
10
4=
K=1时
F（x）
5*5+4+38=67
6*5+4+34=68
67
解得：
第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0份。
7.4某公司有资金4万元，可向A,B,C三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。
表7-20
项目
投资额
A
41
48
60
66
B
42
50
C
64
68
78
76
解:
设阶段变量k，k•可2,3,4?
每一个项目表示一个阶段
状态变量Sk,表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额；
决策变量Uk，表示在第k阶段状态为Sk下决定投资的投资额;
决策允许集合：
OWU汽Sk
Sk+1=Sk-Uk；
阶段指标函数：
Vk（SkUk）;
最优指标函数：
fk（Sk）=max{Vk（SkUk）+fk+1（Sk+1）}
终端条件：
f4（X4）=0；
K=4,f4（X4）=0
k=3,0<
U3WS3
S3U3
f3（S3）=max{V3（S3U3）+f4（S4）}
f3（S3）
*
U3
k=2,0<
U2三S2
S2U2
f2（S2）=max{V2（S2U2）+f3（Sb）}
f2（S2）
U2
0+0
0+64
42+0
0+68
42+64
50+0
106
0+78
42+68
50+64
60+0
114
42+78
50+68
60+64
66+0
124
k=1,0<
USi
S1U1
f1（S1）=max{V1（S1U1）+f?
©
）}
f1（S1）
U1
41+0
0+106
41+64
48+0
0+114
41+106
48+64
0+124
41+114
48+106
55+0
155
所以根据以上计算，可以得到获得总效益最大的资金分配方案为（
1,2,1）
7.5为了保证某设备正常运行，须对串联工作的三种不同零件Ai,A2,A3,分别确定备件数量。
若增加备用零件数量，可提高设备正常运转的可靠性，但费用要增加，而总投资额为8千元。
已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视，求Ai,A2,A3,的备用零件数个为多少时可使设备运转的可靠性最高。
设备数
可靠性
备用零件费用（千元）
A1
A2
A3
0.3
0.2
0.1
0.4
0.5
0.9
0.7
设第k阶段的状态为Sk；
第k阶段决定投入的备件为Xk；
Ck（Xk）为第k阶段选择k个零件的费用；
Rk（Xk）为第k个阶段选择k个零件的可靠性。
状态转移方程为：
Sk+i=Sk-Ck（Xk）
递退方程：
fk（s<
pmax{R<
（Xk）fk=i（S<
1）}I
f4（S4）=1
CK（Xk尸Sk-'
Ci
（1）
l匸k+1
所以有上可知当A1；
A2；
A3；
分别为k=1;
k=2;
k=3时S1=8;
S2=5,6,7;
S3=1,2,3,4;
当k=3时
S3
X3
F3（X3）
X3*
I。
无
0.1
当k=2时
S2
X2
F2（X2）
X2*
0.2*0.1=0.02
0.5*0=0
0.2*0.2=0.04
0.5*0=0
0.9*0=0
7
p
0.2*0.7=0.14
0.5*0.1=0.05
当k=1时
S1
X1
F1（X1）
X1*
8
0.3*0.14=0.042
0.4*0.04=0.016
0.5*0.02=0.01
由上表可知，最优解的可靠性为0.042;
此时Xi=1；
X2=1；
X3=3
7.7某工厂接受一项特殊产品订货，要在三个月后提供某种产品1000kg，一次交货。
由于该产品用途特殊，该厂原无存货，交货后也不留库存。
已知生产费用与月产量关系为：
C=1000+3d+0.005d2，其中d为月产量（kg），C为该月费用
（元）。
每月库存成本为2元/kg，库存量按月初与月末存储量的平均数计算，问如何决定3个月的产量是总费用最小。
用动态规划法求解
阶段k:
每一个月为一个阶段k=1,2,3
状态变量Sk:
第k个月初的库存量
决策变量dk:
第k个月的生产量
Sk1=sk+dk
fk（Sk）:
第k个月状态为Sk时到第3个月末的总费用最小
则第k个月的库存费用为：
Ek=（Sk+Sk-i）/22=Sk
+Ski=2Sk+dks1=0，d1+d2+d3=1000
当k=3时
f3（s3）=min{E3+C3}
=min{2s3+d3+1000+3d3+0.005d23}
=min{3000+2d3+0.005d32}
=3000+2（1000-s3）+0.005（1000-s3）2
当k=2时f2（s2）=min{E2+C2+f3（s3）}
=min{2s2+d2+1000+3d2+0.005d22+3000+2（1000-s3）+0.005（1000-s3）2}
=min{2s2+1000+4d2+0.005d22+3000+2（1000-s2-d2）+0.005（1000-s2-d2）2}
=min{6000+2d2+0.005d22+0.005（1000-s2-d2）2}
只有当d*2=1000-s2时f2（s2）取最小值6000+2（1000s2）+0.005（1000-s2）2
f1（s1）=min{E1+C1+f2（s2）}
=min{2s1+d1+1000+3d1+0.005d12+6000+2（1000-s2）+0.005（1000-s2）2}
=min{9000+4d1+0.005d12+0.005（1000-d1）2}=min{14000-6d1+0.01d12}
只有当d；
=300时fi（sj取最小值13100元
此时s2=d1+s1=300
那么d2=1000-s2=700,f2（S2）=9850元
d；
=1000-di-d2=0,f3（S3）=3000元
即：
三个月的产量分别为300、700、0时，总费用最小
7-11.某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如表。
现将此三种产品运往市场出售，运
输总重量不超过6t,应运输每件产品各多少件使总利润最大？
产品
重量（t/母件）
利润（千兀/每件）
80
130
180
设：
Xk:
第K种产品的数目；
Vk:
第K种产品的利润；
Sk:
第K种产品之初的总重量；
Sk4=Sk-XkWk;
fk（Sk）:
第K~3种产品的总价值；
fk（Sk）=max｛XkVk+'
fki（Sk1）｝
且f4（S4）=0
K=3:
f3（S3）=max。
公上｛V3X3f4（S4）｝=max。
.咯」｛80X3｝
Sk
0~3
4~6
数目
K=2:
fzG）=maxo寻営｛V2X2f3（S3）｝二maxo^乡｛130X2f3（S^-3X2）｝
130X2+f3（&
-3X2）
130+0=130
0+180=180
260
260+0=260
K=1:
f1（S1）=max0；
x13{V1X1■f2（S2）}=max0x13{80X1■f2（S|-2XJ}
80X^f2（S-2XJ
g）
0+260=260
0/1
80+180=260
160+0=160
240+0=240
答做最大利润为260，产品数目为“0,2,0”或“1,0,1”。
7.12某公司需要对某产品决定未来4个月内每个月的最佳存储量，以使总费用最小。
已知
各月对该产品的需求量和单位订货费用、存储费用如表7-23所示。
假定每月初订货于月末
到货并入库，下月开始销售。
表7-23
月份k
需求量dk
45
40
单位订货费用Ck
850
775
825
单位存储费用Pk
35
阶段k：
月份k=1，2，3，4，5状态变量Xk：
第k个月初的存量决策变量r:
第k个月的订货量状态转移方程：
Xk+1=Xk+rk-dk决策允许集合：
rk（Xk）={rkIrk>
0dk+1<
Xk+1}
={rkIdk+KXk+rk-dk}
Ckrk+PkXk
f5（X5）=0X5=0
fk（Xk）=min{Vk（Xk,rk）+fk+i（Xk+i）}
=min{Ck「k+PkXk+fk+1（Xk+rk-dk）}
对于k=4X5=0「4=0X4=d4
f4（X4）=min{V4（X4,r4）+f5（X5）}
=min{30X4}
=900
对于k=3
F3（X3）=min{V3（X3,r3）+f4（X4）}
=min{C3「3+P3X3+f4（X4）}
=min{40r3+40X3+900}
=min{775r3+40x3+900}
d4=X4贝Ud4=X3+r3-d3r3+d3+d4-X3=70-X3
f3（X3）=min{775（70-x3）+40x3+900}
=min{63250-735x3}
f2（x2）=min{C2「2+P2X2+f3（X3）}
=min{850r2+20x2+63250-735（x2+r2-d2）}
=min{850r2+20x2+63250-735x2-735r2+33075}
=min{96325-715x2+115^}
R2（X2）={r2「2^0d3兰X2+r3-d2}
={r2「2X0d3+d2-X2兰「3}
={r2r2^085-X2Wr3}
f2（X2）=min{96325-715x2+115X2+9775}
=min{106100-830x2}
f1（X1）=min{850m+30x计106100-830（x1+n-50）}
=min{147600-800x1+20门}
r1（X1）={r1Ir1>
0d2+d1-x1<
r1}
={nIn>
095-xkr1}
f1（x1）=min{147600-800X1+20（95-X1））
=min{149500-820x1}
根据题意X1=0r1*=95-x1
f1（x1）=149500r1*=95
r1*=95x2=x1+r1-d1=45
f2（X2）=68750
r2*=85-45=40
X3=x2+r2-d2=45+40-45=40
f3（X3）=33850
x4=d4=30f4（x4）=900
7.13某罐头制造公司在近5周内需要一次性地购买一批原料，估计未来5周内价格有波动,
其浮动价格及概率如表7-24所示，试求各周的采购策略，使采购这批原料价格的数学期望
值最小。
表7-24
批单价
概率
9
设阶段变量k，k•印2,345?
每一周表示一个阶段；
状态变量Sk，表示第k阶段的实际价格；
决策变量Uk，当Uk=1，表示第k周决定采购；
当Uk=0,表示第k周决定等待。
SkE表示第k周决定等待，而在以后采用最优决策时采购价格的期望值；
fk（Sk）表示第k周实际价格为Sk时，从第k周至第五周采用最优决策所得的最小期望值。
因而可写出逆序递推关系式为
fk（Sk）=min{Sk,SkE}S^{9,8,7}⑴
由SkE和fk（Sk）的定义可知
SkE=Efk+1（Sk+1）=0.4fk+1（9）+0.3fk+1（8）+0.3fk+1（7）,
（2）
k=5
因为如果在第五周原材料尚未购买，则不管实际价格如何，都必须采取采购策略。
f5（S5）=S5,即f5（7）=7,f5（8）=8,f5（9）=9
k=4
S4E=0.4f5（9）+0.3f5（8）+0.3f5（7）=8.1
8.1,s4=9
f4（SQ=min{S4,S4E}=min{S4,8.1}=8,s4=8
7,S4=7
所以在第四周如果价格为9，则等待下周购买，如果价格为8或7,则选择采购
k=3
S3E=0.4f4（9）+0.3f4（8）+0.3f4（7）=7.74
7.74,S3=9
f3（S3）=min{S3,S3E}=min{S3,7.74}=«
7.74,s3=8
2=7
7,则选择购买
所以在第三周如果价格为9或8,则等待下周购买，如果价格为
k=2
S2E=0.4f3（9）+0.3f3（8）+0.3f3（7）=7.518
7.518,S2=9
f2（S2）=min{S2,S2E}=min{S2,7.518}=7.518,s2=8
7忌=7
所以在第二周如果价格为9或8,则等待下周购买，如果价格为
k=1
S1E=0.4f2（9）+0.3f2（8）+0.3f2（7）=7.3626
7.3626,®
=9
f1（S1）=min{S1,S1E}=min{S1,7.518}=*7.3626,®
=8
、7,S1=7
所以在第一周如果价格为9或8,则等待下周购买，如果价格为7,则选择购买
7.14某企业有1000万元资金可在三年内每年初对项目A、B投资，若每年初投资项目A,
则年末以0.6的概率回收本利2000万元或以0.4的概率丧失全部资金；
若投资项目B,则年
末以0.1的概率回收本利2000万元或以0.9的概率回收1000万元。
假定每年只能投资一次每次1000万元（有多余资金也不使用），试给出三年末期望总资金最大的投资策略。
K表示第K年的投资方案过程，状态Sk表示每年可投资的资金，Xk表示第K年的投资决
策
Xk=」
0投资项目A
1投资项目B
阶段指标Vk=0.6*（1-Xk）（2000+fk-1000）+Xk（0.1*2000+0.9*1000+fk-10000）
基本方程
fk=MAXVK-fkJ/
fo=0,k=0,1,2,3
fk即每年年末期望最大总资金
k
Xk
Vk
fk
Pk
1000
1200
1100
1320
AA
1300
1392
1420
AAB
期望最大总资金的投资策略为A-A-B
7.15某汽车公司的一个型号汽车，每辆年均利润函数r（t）与年均维修费用函数u（t）如上表
中所示，购买同型号新汽车每辆20万元，如果汽车公司将汽车卖出，其价格如下表所示，该公司年初有一辆新汽车，试给出四年盈利最大的更新计划。
\役龄
r（t）
18
17.5
15
u（t）
2.5
役龄
价格
17
15.5
设备更新问题
回收额的总期数为4
t为某个阶段的设备役龄；
r（t）为从役龄为t的设备得到的年均利润;
u（t）为役龄为t的设备的年均维修费用；
s（t）是役龄为t的设备的处理价格；
新设备的购置价格p=20万元；
四年盈利最大的更新计划。
状态变量选为设备的役龄t
决策只有两种可能，即保留或更新，记为K（保留）或P（更新）状态转移方程
卩（t）-4（t）
「k（t,Uk）=*
、s（t）—p+y（o）—p（o）
阶段效应
k：
Y（t）-巴t）+f"
（t+i）
fk（t）
=max丿
〔P:
s（t）—P+Y（0）—已0）+f心⑴
rgk）「⑴一旳U」K
、s（t）—P十丫（0）—卩（0）=s（t）—2uk=P
t
r（t）-卩（t）
13.5
s（t）-2
14
13
f3（t）=max；
K，⑴一巴厂
L：
s（t）-2:
f4（t）=0
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