中考数学专题复习添加辅助线.docx

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中考数学专题复习添加辅助线

2021年中考数学专题复习：

添加辅助线

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几何题目的难点在于它的千变万化，而它的魅力恰好在于万变不离其宗，抓住题目中核心的条件，选取恰当的条件对应的辅助线，加上自己的思考和尝试，往往会有柳暗花明又一村的感觉，这一讲，我们将一起来看一下条件辅助线的综合应用！

模块一角平分线

例1

如图，AD是△ABC的角平分线，点F、E分别在边AC、AB上，且BD＝FD．

（1）证明∠B＋∠AFD＝180°；

（2）若∠B＋2∠DEA＝180°，试探究线段AE、AF和FD之间的数量关系，并证明你的结论．

练习

如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，

．

（1）∠COA的值为；

（2）求∠CAB的度数；

（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON＝∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．

模块二截长补短

在几何题目中，经常有一类问题是探究线段和差之间的关系，这类问题经常需要用到截长补短的思路，截长补短一方面可以借助其他的条件辅助线（例如角平分线等）或者模型辅助线（后边会学到）去思考，另一方面多多去尝试，只有这样，才能体会到截长补短的精髓．

例2

已知等边△ABC，D在CB的延长线上．

（1）若DE∥AC交AB的延长线于E，直接写出AE和CD的关系：

；

（2）若∠ADM＝60°，且CM为△ABC的外角平分线，求证：

CD＝CA＋CM．

练习

如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边三角形△ABE，直线CE与直线AD交于点F．

（1）若AF＝10，DF＝3，试求EF的长；

（2）若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），并直接写出EF、AF和DF三者的数量关系．

例3

如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．

（1）如图1，连CF，求证：

∠ABE＝∠ACF；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：

AF＋EF＝FB；

（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：

BD＝2EF．

模块三中点的构造

中点，是一个非常美妙的几何条件，它和很多知识都有联系，现阶段我们接触到的是其最本质的思路之一即中线倍长，中线倍长我们可以得到一组八字全等，进而去证明出我们想要得到的结论，反过来要想证明中点的结论，我们则可以通过构造平行线来证明，接下来我们将看几个经典的例题．

例4

如图，△ABC中，分别以AB、AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，AM是BC边上的中线．

求证：

①ED＝2AM且AM⊥ED．②

．

例5

如图，△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD、CE，若F是BD的中点，求证：

且AF⊥CE．

例6

如图，△ABE和△ACD为等腰直角三角形，AM⊥BC于M，MA交ED于N．

求证：

EN＝DN．

练习

在△ABC中，∠ABC＝90°．

（1）如图1，若AB＝BC，将△ABC绕A点旋转一定的角度至△ADE的位置，BD与CE交于点O，求证：

OE＝OC．

（2）如图2，AB≠BC，其他条件不变，

（1）中的结论依然成立吗？

若不成立，说明理由；若成立，证明结论．

模块四三垂直模型与坐标系综合

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三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：

已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标

情况一如下图：

直角顶点在坐标轴上

情况二如下图：

直角顶点不在坐标轴上

例4

（1）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（0，3），C（1，0），求B点坐标．

（2）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（－1，0），C（1，3），求B点坐标．

（3）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A点坐标．

练习

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．

真题演练

如图，已知A（－2，0），

（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．

（2）如图，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，PA为腰做等Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP－DE的值是否发生变化？

若不变，求其值；若变化，请说明理由．

（3）如图，已知F点坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H点在x轴上，∠GFH＝90°.设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，m＋n的值是否变化？

若不变，求其值；若变化，请说明理由．

例5

在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（1，﹣4），C（5，﹣2），求∠ABC的度数．

练习

如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足

（1）求点A的坐标；

（2）若点F（1，0），C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO＋∠FCO的值是否发生变化.若不变，说明理由.若变化，请求出变化范围．

A基础巩固

1．如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．

（1）求证：

AE平分∠DAB．

（2）若BC＝12，AD＝13，求

．

2．如图，在△ABC内一点D，点C是AE上一点，AD交BE于点P，射线DC交BE的延长线于点F，且∠ABD＝∠ACD，∠PDB＝∠PDC．

（1）求证：

AB＝AC．

（2）若

，

，求

的值．

（3）若

，

，则

．

3．已知等腰△ABC，AB＝AC．

（1）如图1，BM是△ABC的中线，点N在BM上，且∠ANM＝∠MBC，求证：

BC＝AN；

（2）如图2，点G为△ABC外一点，∠BGC＝∠BAC，AH⊥BG于点H，若BH＝7，HG＝1，求线段CG的长．