人教版八年级上学期 数学 第十一章 三角形 辅导讲义解析版文档资料.docx

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2019年秋八年级上学期第十一章三角形辅导讲义

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

一．解答题（共20小题）

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：

“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：

“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

1．正多边形的一个内角是120度，多边形是几边形？

内角和是多少？

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

2．如图

（1）中是一个五角星，你会求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值吗？

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

（2）图中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？

如图

（2）说明你的结论的正确性．

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

（3）把图

（2）中的点C向上移动到BD上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？

如图（3）说明你的结论的正确性．

3．

（1）如图所示，在△ABC中，AD丄BC于D，AE平分∠BAC，且∠C大于∠B，求证：

∠EAD=

（∠C﹣∠B）．

（2）若把问题

（1）中的“AD丄BC”改为“点F为EA上一点且FD丄BC于D”，画出新的图形，并试说明∠EFD=

（∠C﹣∠B）．

（3）若把问题

（2）中的“F为EA上一点”改为“F为AE延长线上的一点”，则问题

（2）中的结论成立吗？

请说明你的理由．

4．如图，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．

①求证：

∠BPC=90°﹣

∠BAC．

②根据第①问的结论猜想：

三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

5．如图所示，AD，BE是BC，AC边上的高，O是AD，BE的交点，若∠AOB=∠C+20度．求∠OBD，∠C．

6．一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，求它的边数和每个内角的度数．

7．小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，你认为这个结论成立吗？

如果成立，你能证明它？

8．已知：

△ABC的周长为18cm，AB边比AC边短2cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．

9．如图．AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD．

（1）若∠B=32゜，∠D=38゜，求∠M的度数；

（2）求证：

∠M=

（∠B+∠D）．

10．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，求∠BPC的度数．

11．一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：

n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．

12．如图1、图2、图3中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能互相重合，BD延长线交AE于点F．

（1）求图1中，∠AFB的度数；

（2）图2中，∠AFB的度数为　　，图3中，∠AFB的度数为　　．

13．如图所示．∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．求∠F的度数．

14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P在BC上移动时，猜想α，β与∠B的关系，并说明理由．

15．请你来推算：

（1）一只蚂蚁绕一个矩形的水池边缘爬行，爬完一圈后，它的身体转过的角度之和是多少？

（2）如果它绕一个不规则的四边形的边缘爬行呢？

（如图2），为什么？

（3）如果它绕五边形的水池边缘爬行呢？

你是怎么推算出来的？

如果绕n边形呢？

16．在△ABC中，如果∠A=

∠B=

∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度．

17．如图所示，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A=70°，∠B=80°，求∠P的度数．

18．已知四边形ABCD中，∠A：

∠B=7：

5，∠A﹣∠C=∠B，∠C=∠D﹣40°，求各内角的度数．

19．AD是△ABC的一条高，也是△ABC的角平分线，若∠B=40°，求∠BAC的度数．

20．一个零件的形状如图所示，零件要求∠A必须等于90°，∠B和∠C分别为45°和35°，检验工人量得∠BDC=159°，就断定这个零件不合格，你知道为什么吗？

2019年秋八年级上学期第十一章三角形辅导讲义

参考答案与试题解析

一．解答题（共20小题）

1．

【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和公式即可求出内角和．

【解答】解：

外角是180﹣120=60度，

360÷60=6，则这个多边形是六边形．

内角和为：

（6﹣2）×180°=720°．

【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．

2．

【分析】

（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得．

（2）（3）五个角转化为一个平角．

【解答】解：

（1）如图，连接CD．

在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．

∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，

∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°；

（2）无变化．

根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．

∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；

（3）无变化．

∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，

∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．

【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，利用了转化思想求解，

（1）是把五个角转化在一个三角形中求解，

（2）（3）是把五个角转化为一个平角求解．

3．

【分析】

（1）在Rt△ADE中，可得∠AED+∠DAE=90°，又由∠AED=∠AEC=180°﹣∠C﹣∠CAE，且AE平分∠BAC，即可证得：

∠EAD=

（∠C﹣∠B）．

（2）在△EFD中，由三角形的外角性质知：

∠FED=∠AEC=∠B+

∠BAC，所以∠B+

∠BAC+∠EFD=90°；联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EFD，∠B，∠C的关系．

（3）在△EFD中，由三角形的外角性质知：

∠FED=∠AEC=∠B+

∠BAC，所以∠B+

∠BAC+∠EFD=90°；联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EFD，∠B，∠C的关系．

【解答】

（1）证明：

在Rt△ADE中，

∵∠AED+∠DAE=90°，

∴∠DAE=90°﹣∠AED，

∵∠AED=∠AEC=180°﹣∠C﹣∠CAE，且AE平分∠BAC，

∴∠CAE=

∠BAC=

（180°﹣∠C﹣∠B），

∴∠DAE=90°﹣[180°﹣∠C﹣

（180°﹣∠C﹣∠B）]=

（∠C﹣∠B）．

（2）由三角形的外角性质知：

∠FED=∠AEC=∠B+

∠BAC，

故∠B+

∠BAC+∠EFD=90°；①

在△ABC中，由三角形内角和定理得：

∠B+∠BAC+∠C=180°，

即：

∠C+

∠B+

∠BAC═90°，②

②﹣①，得：

∠EFD=

（∠C﹣∠B）．

（3）由三角形的外角性质知：

∠FED=∠AEC=∠B+

∠BAC，

故∠B+

∠BAC+∠EFD=90°；①

在△ABC中，由三角形内角和定理得：

∠B+∠BAC+∠C=180°，

即：

∠C+

∠B+

∠BAC═90°，②

②﹣①，得：

∠EFD=

（∠C﹣∠B）．

【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

4．

【分析】①根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质即可证明；

②根据①的结论，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．

【解答】①证明：

∵PB和PC是△ABC的两条外角平分线，

∴∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）

=180°﹣

（∠CBD+∠BCE）

=180°﹣

（∠A+∠ACB+∠BCE）

=180°﹣

（∠A+180°）

=90°﹣

∠A；

②根据①的结论，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，

三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故该三角形是锐角三角形．

【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质．

注意：

三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

5．

【分析】从图形中寻找∠OBD与∠C关系，运用外角和定理，直角三角形的性质寻找∠OBD与∠C关系构建方程求解．

【解答】解：

∵∠AOB=90°+∠OBD=∠C+20°，∠OBD+∠C=90°，

∴∠C=90°﹣∠OBD，

∴90°+∠OBD=90°﹣∠OBD+20°，

∴∠OBD=10°，∠C=80°．

【点评】此题的关键是寻找∠OBD与∠C关系，运用外角和定理寻找∠OBD与∠C关系构建方程求解．

6．

【分析】根据邻补角的定义，内角和的公式与外角和的特征，即可求出多边形的边数和每个内角的度数．

【解答】解：

设每个内角的度数为n°，则每个外角的度数为（n°﹣140°），

由n+（n﹣140）=180，

得n=160．

即每个内角为160°，从而每个外角为20°．

由于360÷20=18，

所以这个多边形为十八边形．

【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．同时考查了互为邻补角的两个角的和为180°．

7．

【分析】先假设AB=AC，根据“等边对等角”定理得出与已知条件相矛盾的结论，从而证明在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．

【解答】证明：

假设AB=AC，

那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，

但已知条件是∠B≠∠C．

“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，

因此AB≠AC．

【点评】本题考查了反证法．先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

8．

【分析】设AC的边长为xcm，分别表示出AB、BC边的长为（x﹣2）cm，

xcm，根据三角形的周长为18cm，列出方程即可求出三边的长．

【解答】解：

设AC边长为xcm，则AB边长为（x﹣2）cm，BC边长为

x，

根据题意，得x+（x﹣2）+

x=18，

解得x=8，

∴x﹣2=6，

x=4，

即AB=6cm，BC=4cm，AC=8cm．

【点评】本题是三角形周长与一元一次方程相结合的题，根据周长列一元一次方程是解题的关键．

9．

【分析】

（1）根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM=∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；

（2）根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM=∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系．

【解答】

（1）解：

根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，

∴∠BAM﹣∠BCM=∠M﹣∠B，

同理，∠MAD﹣∠MCD=∠D﹣∠M，

∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，

∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，

∴∠M﹣∠B=∠D﹣∠M，

∴∠M=

（∠B+∠D）=

（32°+38°）=35゜；

（2）证明：

根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，

∴∠BAM﹣∠BCM=∠M﹣∠B，

同理，∠MAD﹣∠MCD=∠D﹣∠M，

∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，

∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，

∴∠M﹣∠B=∠D﹣∠M，

∴∠M=

（∠B+∠D）．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．

10．

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ACB的度数，再由∠1=∠2得出∠2+∠3的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．

【解答】解：

∵∠ABC=∠ACB，∠A=40°，

∴∠ACB=

（180°﹣40°）=70°，即∠1+∠3=70°．

∵∠1=∠2，

∴∠2+∠3=70°，

在△BPC中，∠BPC=180°﹣（∠2+∠3）=180°﹣70°=110°．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

11．

【分析】设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度得到m：

n=180（a﹣2）：

360，从而用m、n表示出a的值．

【解答】解：

设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度，

m：

n=180（a﹣2）：

360

a=

，

因为m，n是互质的正整数，a为整数，

所以n=2，

故答案为：

，2．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和．

12．

【分析】

（1）由全等三角形的性质可得出∠D=∠E，由对顶角相等结合三角形内角和定理即可得出∠BFE=∠BCD，再根据邻补角互补即可得出∠AFB=∠ACB，结合等边三角形内角的度数即可得出结论；

（2）结合

（1）即可得出：

∠AFB=∠BCM，结合多边形内角和定理以及正多边形的性质即可得出结论．

【解答】解：

（1）∵△ABE与△BCD能互相重合，

∴∠D=∠E，

∵∠DBC=∠EBF，

∴∠BFE=180°﹣∠E﹣∠EBF=180°﹣∠D﹣∠B=∠BCD．

∵∠BCD+∠ACB=180°，∠ACB=60°，∠AFB+∠BFE=180°，

∴∠AFB=∠ACB=60°．

（2）同理可得出：

∠AFB=∠BCM，

∵四边形ABCD为正方形，五边形ABCMN为正五边形，

∴图2中∠BCM=90°，图3中∠BCM=108°．

故答案为：

90°；108°．

【点评】本题考查了全等三角形的性质、正多边形的性质、三角形内角和定理、邻补角以及多边形内角与外角，解题的关键是：

（1）通过全等三角形的性质结合角的计算找出∠AFB=∠ACB；

（2）根据多边形内角和定理以及正多边形的性质找出每个内角的度数．

13．

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得∠ACB=80°，结合已知条件和三角形的外角的性质，求得∠ADC=70°，依此类推即可求解．

【解答】解：

在△ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°，

∴∠ACB=80°，

∵∠DCE=∠ACB=80°，

在△ACD中，∠DCE是它的一个外角，

∴∠DCE=∠A+∠ADC，

∴∠ADC=70°，∠EDF=∠ADC=70°．

在△ADE中，∠EDF是它的一个外角，

∴∠EDF=∠A+∠AED，

∴∠AED=60°，∠FEG=∠AED=60°．

在△AEF中，∠FEG是它的一个外角，

∴∠FEG=∠A+∠F，

∴∠F=∠FEG﹣∠A=60°﹣10°=50°．

【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理及其推论．

14．

【分析】在△CDP中，先由三角形内角和为180°，得出α+β=180°﹣∠C；再由AB∥CD，根据平行线的性质，得出∠B=180°﹣∠C；从而得出α+β=∠B．

【解答】解：

在△CDP中，∵∠CDP+∠CPD+∠C=180°，∠CDP=α，∠CPD=β，

∴α+β=∠CDP+∠CPD=180°﹣∠C；

∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

∴∠B=180°﹣∠C；

∴α+β=∠B．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质．

15．

【分析】蚂蚁身体转过的角度之和就是多边形的外角和，因而是360度．多边形的外角和与多边形的边数无关，因而水池是矩形，不规则的四边形、五边形，n边形都有相同的结论．

【解答】解：

（1）∵各角是矩形的外角，

∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．

故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；

（2）∵各角是不规则的四边形的外角，

∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．

故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；

（3）∵各角是五边形的外角，

∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°；

∵各角是n边形的外角，

∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．

故蚂蚁的身体转过的角度之和都是360°．

【点评】本题考查了多边形的外角和定理．多边形的外角和是360度，多边形的外角和与多边形的边数无关．

16．

【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A+2∠A+2∠A=180°，求出∠A=36°，即可得出∠B=∠C=72°．

【解答】解：

∵∠A=

∠B=

∠C，

∴∠B=∠C=2∠A，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+2∠A=180°，

解得：

∠A=36°，

∴∠B=∠C=72°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

17．

【分析】已知∠A=70°，∠B=80°，根据四边形的内角和是360度，就可以求出∠ACD+∠CDB=210度．根据角平分线的概念就可以求出△CPD的两个角的和，进而根据三角形的内角和定理求出∠P的度数．

【解答】解：

∠P=180°﹣

∠ACD﹣

∠CDB

=180°﹣

（∠ACD+∠CDB）

=180°﹣

（360°﹣∠A﹣∠B）

=180°﹣

（360°﹣150°）

=75°．

【点评】解题技巧：

∠A+∠B+∠ACD+∠CDB=360°，整体代入法求∠ACD+∠CDB度数．

18．

【分析】根据四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，联立∠A：

∠B=7：

5，∠A﹣∠C=∠B，∠C=∠D﹣40°作出方程组可求∠A，∠B，∠C，∠D的度数．

【解答】解：

由四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

联立∠A：

∠B=7：

5，∠A﹣∠C=∠B，∠C=∠D﹣40°，可得

，

解得

．

故∠A的度数是140°，∠B的度数是100°，∠C的度数是40°，∠D的度数是80°．

【点评】考查了多边形内角与外角，需要结合多边形的内角和公式，构建方程组即可求解．

19．

【分析】先根据题意得出△ABC是等腰三角形，再由三角形内角和定理即可得出结论．

【解答】解：

∵AD是△ABC的一条高，也是△ABC的角平分线，

∴AB=AC．

∵∠B=40°，

∴∠C=40°，

∴∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

20．

【分析】延长CD交AB于E，可由∠C，∠B，∠A求∠BDC，若∠BDC≠170°，则零件就不合格．

【解答】解：

延长CD交AB于E．

则∴∠CDB=∠B+∠DEB，∠DEB=∠C+∠CAB，

∵∠C=35°，∠B=45°，∠CAB=90°，

∴∠CDB=∠B+∠DEB=∠B+∠C+∠CAB=170°，

而量得∠CDB=159°，故零件不合格．

【点评】本题是“三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和”在生产中的应用．