中考数学常考易错点44 多边形与平行四边形Word文档下载推荐.docx

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BD=MN.

【解析】　

（1）根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;

（2）根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.

【答案】　

（1）∵　ABCD是平行四边形,

∴　AD=BC,AD∥BC.

∵　M,N分别是AD,BC的中点,

∴　MD=NC,MD∥NC.

∴　四边形MNCD是平行四边形.

（2）如图,连接ND,

∵　四边形MNCD是平行四边形,

∴　MN=DC.

∵　N是BC的中点,

∴　BN=CN.

∵　BC=2CD,∠C=60°

∴　△NCD是等边三角形.

∴　ND=NC,∠DNC=60°

.

∵　∠DNC是△BND的外角,

∴　∠NBD+∠NDB=∠DNC.

∵　DN=NC=NB,

【误区纠错】　本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.

名师点拨

　1.掌握多边形内角和公式（n-2）·

180°

及外角和均为360°

这个特征.

2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.

提分策略

1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.

由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.

【例1】　如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:

（1）△ABE≌△CDF;

（2）四边形BFDE是平行四边形.

【解析】　

（1）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.

（2）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.

【答案】　

（1）∵　四边形ABCD是平行四边形,

∴　∠A=∠C,AB=CD.

∵　AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,

∴　△ABE≌△CDF（SAS）.

（2）∵　四边形ABCD是平行四边形,

∴　AD∥BC,AD=BC.

∵　AE=CF,

∴　AD-AE=BC-CF,

即　DE=BF.

∴　四边形BFDE是平行四边形.

利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.

甘肃白银）D,E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证:

四边形DGFE是平行四边形.

【解析】　根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;

【答案】　∵　D,E分别是AB,AC边的中点,

∴　DE∥GF且DE=GF.

∴　四边形DEFG是平行四边形.

3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.

（1）判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°

除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.

【例3】　在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是（　　）.

A.正三角形B.正六边形C.正方形D.正五边形

【解析】　A.正三角形的一个内角度数为180°

-360°

÷

3=60°

是360°

的因数,能镶嵌平面,不符合题意;

B.正六边形的一个内角度数为180°

6=120°

C.正方形的一个内角度数为180°

4=90°

D.正五边形的一个内角度数为180°

5=108°

不是360°

的因数,不能镶嵌平面,符合题意.

【答案】　D

（2）判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.

【例4】　现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（　　）.

A.正方形和正六边形B.正三角形和正方形

C.正三角形和正六边形D.正三角形、正方形和正六边形

【解析】　A选项,正方形和正六边形内角分别为90°

120°

由于90m+120n=360,得

显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;

B选项,正三角形和正方形内角分别为60°

90°

由于60°

×

3+90°

2=360°

故能铺满;

C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°

2+120°

D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°

+90°

+120°

=360°

故能铺满.

专项训练

一、选择题

1.（2014·

北京房山区二模）若正多边形的一个外角是36°

则该正多边形为（　　）.

A.正八边形B.正九边形C.正十边形D.正十一边形

2.（2014·

江苏常州模拟）已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是（　　　）.

A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形

C.当∠ABC=90°

时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形

3.（2014·

四川乐山模拟）如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于（　　）.

A.4B.6C.8D.不能确定

（第3题）（第4题）

4.（2014·

安徽安庆外国语学校模拟）如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°

则∠DAO+∠DCO的大小是（　　）.

A.70°

B.110°

C.140°

D.150°

5.（2013·

浙江海宁部分学校联考）如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°

则∠AED的度数是（　　）.

A.110°

B.108°

C.105°

D.100°

（第5题）（第7题）

6.（2013·

内蒙古赤峰模拟）一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°

则该多边形的边数是（　　）.

A.5B.6C.7D.8

7.（2013·

云南宣威模拟）如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为（　　）.

A.30°

B.60°

或120°

C.60°

D.120°

8.（2013·

陕西西安模拟）下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）.

A.1∶2∶3∶4B.2∶3∶2∶3C.2∶3∶4∶5D.1∶2∶2∶3

二、填空题

9.（2014·

江苏南京二模）如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'

B'

C'

D'

E'

的顶点D'

落在直线BC上,则至少要旋转　　　　°

. 

（第9题）

10.（2013·

湖北枣阳模拟）已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF=　　　　. 

三、解答题

11.（2014·

上海长宁区二模）如图,在△ABC中,∠ACB=90°

D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:

四边形ACEF是平行四边形.

（第11题）

12.（2014·

广东深圳模拟）已知:

如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,

△AED≌△CFB;

（2）若∠ABC=75°

∠ADB=30°

AE=3,求平行四边形ABCD的周长?

（第12题）

13.（2013·

浙江湖州中考模拟试卷）如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.

四边形EBFD是平行四边形;

（2）若AD=AE=2,∠A=60°

求四边形EBFD的周长.

（第13题）

参考答案与解析

1.C　[解析]多边形外角和均等于360°

2.D　[解析]当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.

3.C　[解析]∵　△PEF的面积是2,

∴　△PBC的面积是2×

4=8.

∵　△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,

∴　S1+S2=8.

4.D　[解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°

所以∠BOA+∠BOC=360°

-140°

=220°

所以∠AOC=140°

5.D　[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.

6.C　[解析]（n-2）×

=3×

360°

-180°

7.D　[解析]△ABE是等边三角形.

8.B　[解析]平行四边形对角相等.

9.72°

　[解析]正五边形每个内角相等,均等于

至少旋转180°

-108°

=72°

后新五边形A'

落在直线BC上.

11.∵　∠ACB=90°

E是BA的中点,

∴　CE=AE=BE.

∵　AF=AE,

∴　AF=CE.

在△BEC中,∵　BE=CE且D是BC的中点,

∴　ED是等腰三角形BEC底边上的中线.

∴　ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.

∴　∠1=∠2.

∴　∠AEC=180°

-∠1-∠2=180°

-2∠1.

∴　∠F=∠3.

∵　∠1=∠3,

∴　∠1=∠F=∠3.

∴　在△AEF中,∠FAE=180°

-∠3-∠F=180°

∴　∠AEC=∠FAE,

∴　CE∥AF.

又　CE=AF,

∴　四边形ACEF是平行四边形.

12.

（1）∵　平行四边形ABCD,

∴　∠ADE=∠CBF.

又　AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,

∴　∠AED=∠CFB=90°

∴　△AED≌△CFB（AAS）.

（2）在Rt△AED中,

∵　∠ADE=30°

AE=3,

∴　AD=2AE=2×

3=6.

∵　∠ABC=75°

∠ADB=∠CBD=30°

∴　∠ABE=45°

.

13.

（1）在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.

∵　E,F分别是AB,CD的中点,

∴　四边形EBFD是平行四边形.

（2）∵　AD=AE,∠A=60°

∴　△ADE是等边三角形.

∴　DE=AD=2.

又　BE=AE=2,由

（1）知四边形EBFD是平行四边形,

∴　四边形EBFD的周长=2（BE+DE）=8.