数学人教版八年级下册平均数.docx
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数学人教版八年级下册平均数
20.1.1 平均数
1.进一步掌握算术平均数、加权平均数的概念.
2.会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
经历应用加权平均数对数据处理的过程,体验对统计基本思想的理解过程.能运用数据信息的分析解决一些简单的实际问题.
通过加权平均数的学习,初步认识数学与人类生活的密切联系,感受数学结论的确定性,激发学生学好数学的热情.
【重点】
1.算术平均数、加权平均数的概念及计算.
2.掌握加权平均数的实际应用.
【难点】
1.体会平均数在不同情境中的应用.
2.应用加权平均数对数据做出合理判断.
第
课时
1.使学生理解数据的权和加权平均数的概念.
2.使学生掌握加权平均数的计算方法.
1.通过加权平均数的学习,经历运用数据描述信息,作出推断的过程,形成和发展统计观念.
2.通过加权平均数的学习,进一步认识数据的作用,体会统计的思想方法.
渗透数学公式的简单美和结构的严谨美,展示了寓深奥于浅显、寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美.
【重点】 会求加权平均数.
【难点】 对“权”的正确理解.
【教师准备】 教学中出示的课件和例题.
【学生准备】 预习课本内容.
导入一:
刘木头开了一家小工厂,生产儿童玩具.工厂的管理人员由刘木头、他的弟弟及其他6个亲戚组成.工作人员由5个领工和10个工人组成.现在需要一个新工人,刘木头正在与一个叫小王的青年人谈招聘问题.刘木头说:
“我们这里报酬不错,平均每个人的薪金是每周300元,但在学徒期间每周是75元,不过很快就可以加工资.”
小王上了几天班以后,要求和厂长谈谈.小王说:
“你骗我,我已经和其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元.每人平均工资怎么可能是一周300元呢?
”
刘木头皮笑肉不笑地回答:
“小王,不要激动嘛!
每人平均工资确实是300元,不信你自己算一算.”刘木头拿出一张表,说道:
“这是我每周付出的薪金.我得2400元,我弟弟得1000元,我的6个亲戚每人得250元,5个领工每人得200元,10个工人每人得100元.总共是每周6900元,付给23个人,平均每人得300元,对吗?
”
“对,对,你是对的,每人的平均工资是每周300元.可你还是骗了我.”小王生气地说.
刘木头拍着小王的肩膀说:
“这我可不同意,你自己算的结果也表明我没骗你呀!
小兄弟,你根本不懂得平均数的含义,怪不得别人哟!
”
同学们,你能当个小法官来判一下谁说的对吗?
[设计意图] 让学生明确数学问题来源于生活实践,同时数学又指导生活实践,从而达到激发学生思考问题、探究新知的强烈欲望及引入新课的目的.
导入二:
农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子,对甲、乙两个品种各用10块试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量（见下表）,根据这些数据,应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议呢?
品种
各试验田每公顷产量（单位:
吨）
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
提问:
如何考察一种玉米的产量和产量的稳定性?
学生随意说出自己的一些想法后,教师说明本章学习的知识内容:
（1）平均数、中位数、众数和方差等概念;
（2）用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差;
（3）课题学习,解决实际问题.
[设计意图] 问题的提出,学生难以用已学到的平均数的公式解决这个问题,需要研究新的方法,学习新的知识,让学生了解本章研究的基本知识内容,培养学生用样本估计总体的基本思想.
[过渡语] 前面我们学过算术平均数的计算,我们一起来探究加权平均数.
1.加权平均数
思路一
问题:
某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表:
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
15
0.15
B
7
0.21
C
10
0.18
这个市郊县的人均耕地面积是多少?
（精确到0.01公顷）
问题1
小明求得这个市郊县的人均耕地面积为:
==0.18（公顷）.
你认为小明的做法有道理吗?
为什么?
组织学生讨论,教师参与,并适时指导:
（1）对“平均数”和“人均耕地面积”的准确理解;
（2）三个郊县人数的多少对人均耕地面积有无影响,分析小明同学的计算错误.
问题2
这个市郊县的总耕地面积是多少?
总人口是多少?
你能算出这个市郊县的人均耕地面积是多少吗?
引导学生列出正确算式,即这个市郊县的人均耕地面积为:
≈0.17（公顷）.
问题3
三个郊县的人数（单位:
万）15,7,10在计算人均耕地面积时有何作用?
教师指出:
上面的平均数0.17称为三个数0.15,0.21,0.18的加权平均数.三个郊县的人数（单位:
万）15,7,10分别为三个数据的权.
追问:
你能正确理解数据的权和三个数的加权平均数吗?
在活动中教师应重点关注学生对数据的权及加权平均数的理解.
问题4
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则这n个数的加权平均数是多少?
教师引导学生从三个数据的加权平均数的计算方法中,归纳得出n个数的加权平均数的计算公式.
学生思考、总结归纳:
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则叫做这n个数的加权平均数.
[设计意图] 通过讨论、分析、思考认识到用已学过的平均数的计算方法来计算这个市郊县的人均耕地面积是根本行不通的,使学生意识到需要学习新知识、新方法,激发学生去探究.通过大胆猜想,培养学生的探究意识,通过教师的有效引导,让学生体会数学的归纳思想方法,理解n个数的加权平均数的计算公式及其结构特征,认识数据的权的作用.
思路二
问题1
一家公司打算招聘一名英文翻译,对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试,他们各项的成绩（百分制）如下:
应试者
听
说
读
写
甲
85
83
78
75
乙
73
80
85
82
提问:
如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译,计算两名应试者的平均成绩（百分制）,从他们的成绩看,应该录取谁?
录用依据是什么?
学生提出评判依据,若学生提出以总分作为依据,教师要引导学生思考:
已学过的哪个统计量可反映数据的集中趋势?
学生计算平均数,解决问题.
追问:
这家公司在招聘英文翻译的过程中,对甲、乙两名应试者进行了哪几个方面的英语水平测试?
成绩分别为多少?
学生同桌讨论,计算后提出自己的意见.
问题2
如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译,听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定,计算两名应试者的平均成绩,从他们的成绩看,应该录取谁?
引导学生讨论:
招聘口语能力或笔译能力较强的翻译时,听、说、读、写四项成绩的重要程度是否相同,公司侧重哪两个方面的成绩?
从给出的比值是否体现这两方面更加“重要”?
根据算术平均数的计算公式,让学生依据题目要求,分别计算出甲、乙两名应试者的成绩,教师引导写出解答过程.
问题3
在问题2中,各个数据的重要程度不同（权不同）,这种计算平均数的方法能否推广到一般?
追问:
若n个数据x1,x2,…,xn的权分别为w1,w2,…,wn,这n个数据的平均数该如何计算?
教师引导学生思考归纳得出n个数的加权平均数的计算公式:
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则叫做这n个数的加权平均数.
问题4
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译,应该侧重哪些分项成绩?
如果听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定两人的测试成绩,那么谁将被录取?
与问题2相比较,你能体会到权的作用吗?
学生独立完成计算过程,体会权的改变对加权平均数的影响.
追问:
你认为问题1中各数据的权有什么关系?
通过上述问题的解决,说说你对权的认识.
师生活动:
引导学生分析加权平均数公式,发现问题1中各数可看作是权相同的,教师指出两种平均数之间的联系.
[设计意图] 回顾学过的平均数的意义,为引入加权平均数作铺垫.通过讨论,让学生充分发表自己的见解,同时接纳和吸引别人的正确意见,相互交流、相互探讨,培养学生的合作意识.通过改变同一个问题背景中数据的权,得到不同的结果,从而进一步体会权的意义与作用.
[知识拓展]
（1）当所给的数据在一常数a上下波动时,一般选用='+a.一组数据x1,x2,…,xn的各个数据比较大的时候,我们可以把各个数据同时减去一个适当的常数a,得x'1=x1-a,x'2=x2-a,…,x'n=xn-a.于是x1=x'1+a,x2=x'2+a,…,xn=x'n+a.因此=（x1+x2+…+xn）=（x1'+x2'+…+xn'）+·na='+a;
（2）平均数的大小与每个数据都有关系,它反映一组数据的集中趋势,是一组数据的“重心”,也是度量一组数据波动大小的基准;（3）加权平均数是算术平均数的特例.加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数,当加权平均数的各项权相等时,就变成了算术平均数.
2.例题讲解
一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各个成绩均按百分制,再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例,计算选手的综合成绩（百分制）,进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示:
（单位:
分）
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
请确定两人的名次.
教师出示例题并指导学生阅读分析:
这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数,50%,40%,10%说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度,是三项成绩的权.
学生在阅读过程中明确下列问题:
（1）演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度用什么数据说明?
（2）要想决出两人的名次,必须求两人的总成绩,实质上是求这两名选手三项成绩的加权平均数.
学生根据加权平均数的计算公式先分别计算出两名选手的总成绩,教师进一步引导写出解答过程.
解:
选手A的最后得分是=90,
选手B的最后得分是=91.
由上可知选手B获得第一名,选手A获得第二名.
[设计意图] 让学生掌握自学的方法,提高学生独立分析问题、解决问题的能力.通过问题的解决,让学生进一步体会数据的权的作用,体验参与数学活动的乐趣.
（1）加权平均数的意义:
在一组数据中,由于每个数据的权不同,所以计算平均数时,用加权平均数,才符合实际.
（2）数据的权的意义:
数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
（3）加权平均数公式:
=.
1.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分,其中平时体育活动评估成绩占20%,期中成绩占30%,期末成绩占50%.则平时体育活动评估成绩、期中成绩、期末成绩的权分别为 、 和 .
解析:
根据权的概念解决即可.
答案:
20% 30% 50%
2.学校把学生学科的期中、期末两次成绩分别按40%,60%的比例计入学期学科总成绩.小明期中数学成绩是85分,期末数学成绩是90分,那么他的学期数学总成绩是 （ ）
A.85分 B.87.5分
C.88分 D.90分
解析:
根据学期数学成绩=期中数学成绩×所占的百分比+期末数学成绩×所占的百分比即可求得学期总成绩.故选C.
3.一家公司打算招聘一名部门经理,现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分,笔试占总成绩的20%,面试占30%,实习成绩占50%,各项成绩如下表所示:
（单位:
分）
应聘者
笔试
面试
实习
甲
85
83
90
乙
80
85
92
试判断谁会被公司录用,为什么?
解:
甲的平均成绩为=86.9,
乙的平均成绩为=87.5.因此,乙会被公司录用.
4.某单位欲招聘一名技术部门负责人,对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,且各项测试成绩满分均为100分,根据结果择优录取,三位候选人的各项测试成绩如下表所示:
（单位:
分）
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
沟通能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
（1）如果根据三项测试的平均成绩,谁将被录用?
说明理由.
（2）根据实际需要,该单位将沟通能力、科研能力和组织能力三项测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩,谁将被录用?
说明理由.
解:
（1）甲的平均成绩为（85+70+64）÷3=73,乙的平均成绩为（73+71+72）÷3=72,丙的平均成绩为（73+65+84）÷3=74,因此,丙的平均成绩最高,丙将被录用.
（2）甲的成绩为=76.3,乙的成绩为=72.2,丙的成绩为=72.8.因此,甲的成绩最高,甲将被录用.
第1课时
1.加权平均数
2.例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第113页练习第1,2题;教材第121页习题20.1第1题.
【选做题】
教材第122页习题20.1第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在中国好声音选秀节目中,四位参赛选手的各项得分如下表,如果将专业、形象、人气这三项得分按3∶2∶1的比例确定最终得分,最终得分最高的进入下一轮比赛,则进入下一轮比赛的是（ ）（每项按10分制）
测试内容
测试成绩
小赵
小王
小李
小黄
专业素质
6
7
8
8
形象表现
8
7
6
9
人气指数
8
10
9
6
A.小赵 B.小王 C.小李 D.小黄
2.学校广播站要招聘1名记者,小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试,成绩如下:
采访写作
计算机
创意设计
小明
70分
60分
86分
小亮
90分
75分
51分
小丽
60分
84分
72分
现在要计算3人的加权平均分,如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由3∶5∶2变成5∶3∶2,成绩变化情况是 （ ）
A.小明增加最多 B.小亮增加最多
C.小丽增加最多 D.三人的成绩都增加
3.希望中学一个学期的数学总平均分是按下图进行计算的.该校李飞同学这个学期的数学成绩如下:
（单位:
分）
李飞
平时作业
期中考试
期末考试
90
85
88
则李飞这个学期数学总平均分为 .
4.某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价,由单价为15元/千克的甲种糖果10千克,单价为12元/千克的乙种糖果20千克,单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为 .
【能力提升】
5.学生的学科期末成绩由期考分数、作业分数、课堂参与分数三部分组成,按各占30%,30%,40%的比例确定.已知晓明的数学期考80分,作业90分,课堂参与85分,则他的数学期末成绩为 分.
6.小丽家上个月吃饭费用为500元,教育费用为200元,其他费用为500元.本月小丽家这三项费用分别增长了10%,30%和5%.小丽家本月的总费用比上个月增长的百分数是多少?
7.小李同学七年级第二学期的数学成绩如下表所示:
测验类别
平时
期中
考试
期末
考试
测验1
测验2
测验3
测验4
成绩（分）
88
92
94
90
92
89
如果学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算,那么小李同学该学期的总评成绩为多少分?
（四舍五入精确到1分）
8.老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:
作业占10%,测验占20%,期中考试占35%,期末考试占35%,小关和小兵的成绩如下表:
学生
作业
测验
期中考试
期末考试
小关
80
75
71
88
小兵
76
80
68
90
分别算出小关和小兵的总平均分.
【拓展探究】
9.某单位欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如下表所示:
测试成绩（单位:
分）
测试项目
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率（没有弃权票,每位职工只能推荐1人）如图所示,每得一票记作1分.
（1）请算出三人的民主评议得分;
（2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用?
（精确到0.01）
（3）根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?
【答案与解析】
1.D（解析:
将四个人的测试成绩按比例求出最终成绩,找出成绩最高的即可.）
2.B（解析:
根据加权平均数的概念分别计算出3人的各自成绩.先求出采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比是3∶5∶2各自的成绩,再求出这三项的权重比是5∶3∶2各自的成绩,进行比较.）
3.87.5（解析:
先从统计图得到相应数据的权重,再利用加权平均数的计算方法求解.）
4.11.5元/千克（解析:
将三种糖果的总价算出,再除以60即可.）
5.85（解析:
根据加权平均数的计算公式计算即可.）
6.解:
500×10%+200×30%+500×5%=135（元）,135÷（500+200+500）×100%=11.25%.
7.解:
平时平均成绩为=91（分）,总评成绩为=90.1≈90（分）.
8.解:
小关的学期总平均分为=80×10%+75×20%+71×35%+88×35%=78.65（分）,小兵的学期总平均分为'=76×10%+80×20%+68×35%+90×35%=78.9（分）.
9.解:
（1）甲、乙、丙三人的民主评议得分分别为:
200×25%=50（分）,200×40%=80（分）,200×35%=70（分）.
（2）甲的平均成绩为≈72.67（分）,乙的平均成绩为≈76.67（分）,丙的平均成绩为=76.00（分）.由于76.67>76>72.67,所以候选人乙将被录用. （3）甲的个人成绩为=72.9（分）;乙的个人成绩为=77（分）;丙的个人成绩为=77.4（分）.由于丙的个人成绩最高,所以候选人丙将被录用.
本节课把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.平均数是统计中的一个重要概念,新教材注重了学生在经历统计活动的过程中体会平均数的本质内涵,理解平均数的意义,发展学生的统计观念.基于以上认识,我在设计中突出了让学生在具体情境中体会为什么要学习平均数,注重引导学生在统计的背景中理解平均数的含义,在比较、观察中把握平均数的特征,进而运用平均数解决实际问题,了解它的价值,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
在教学过程中,高估了学生理解加权平均数的能力,主要困难在于一些学生不能对权的含义理解透彻.
适当增加学生熟知的一些实例,通过计算平均数,深刻理解权的含义及对平均数的影响.
练习（教材第113页）
1.解:
（1）甲:
=88（分）,乙:
=87.5（分）,故甲将被录取.
（2）甲:
=87.6（分）,乙:
=88.4（分）,故乙将被录取.
2.解:
=88.5（分）.故小桐这学期的体育成绩是88.5分.
学生在第二学段已学过平均数,初步了解了平均数的实际意义,这个课时将在此基础上,在研究数据集中趋势的大背景下,学习加权平均数,体会权的意义、作用,并进一步体会平均数是刻画一组数据集中趋势的重要的统计量,是一组数据的“重心”.
教材设计了以招聘英文翻译为背景的实际问题,根据不同的招聘要求,各项成绩的“重要程度”不同,从而平均成绩不同,由此引入加权平均数的概念.权的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”.为了更好地说明这一点,教科书设计了“思考”栏目和例1,从不同方面体现权的作用,使学生更好地理解加权平均数,体会权的意义和作用.
加权平均数不同于简单的算术平均数,简单的算术平均数只与数据的大小有关,而加权平均数则还与该组数据的权相关,学生对权的意义和作用的理解会有困难,往往造成数据与权混淆不清,只会利用公式,而不知加权平均数的统计意义.
本节课的教学重点是对权及加权平均数统计意义的理解;教学难点是对权的意义的理解,用加权平均数分析一组数据的集中趋势.
（2014·张家界中考）已知一组数据4,13,24的权数分别是,,则这组数据的加权平均数是 .
〔解析〕 由加权平均数计算公式得=4×+13×+24×=17.故填17.
（2014·乐山中考）下表是10支不同型号签字笔的相关信息,则1支签字笔的平均价格是 （ ）
型号
A
B
C
价格（元/支）
1
1.5
2
数量（支）
3
2
5
A.1.4元 B.1.5元 C.1.6元 D.1.7元
〔解析〕 将表格中的数据代入加权平均数的公式即可.由题意得==1.6（元）.故选C.
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