新人教A版高中数学推理与证明名师精编单元测试.docx
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新人教A版高中数学推理与证明名师精编单元测试
2018届新人教A版推理与证明单元测试
学校：
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
分卷I
一、选择题（60分）
1.在数列：
11，111，1111，…中（）
A.有完全平方数 B.没有完全平方数
C.有偶数 D.没有3的倍数
2.已知a＞b＞c,n∈N*,且+≥恒成立，则n的最大值为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.在数列11,111,1111,…中（）
A.有完全平方数B.没有完全平方数
C.有偶数D.没有3的倍数
4.已知函数f（x）=（）x,a、b∈R+,A=f（）,B=f（）,C=f（）,则A、B、C的大小关系为（）
A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A
5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a、b、c应满足什么条件（ ）
A.a2＜b2+c2
B.a2=b2+c2
C.a2＞b2+c2
D.a2≤b2+c2
6.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足什么条件…（ ）
A.a2＜b2+c2 B.a2=b2+c2
C.a2＞b2+c2 D.a2≤b2+c2
7.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：
“是乙或丙获奖.”乙说：
“甲、丙都未获奖.”丙说：
“我获奖了.”丁说：
“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.如果两个实数之和为正数，则这两个数（）
A.一个是正数，一个是负数 B.两个都是正数
C.至少有一个是正数 D.两个都是负数
9.在数列:
11,111,1111,…中（ ）
A.有完全平方数B.没有完全平方数
C.有偶数 D.没有3的倍数
10.自然数按下表的规律排列
则上起第2004行,左起第2005列的数为（）
A.20042 B.20052
C.2003×2004 D.2004×2005
11.使不等式
成立的正整数a的最大值是 （ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
12.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:
“是乙或丙获奖.”乙说:
“甲、丙都未获奖.”丙说:
“我获奖了.”丁说:
“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
分卷II
二、20分（填空题）
13.已知n次每项式Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an.
如果在一种算法中，计算（k=2,3,4,…，n）的值需要k-1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值共需要_______________次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：
P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0,1,2,…，n-1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要________________次运算.
14.设xk，yk（k＝1,2,3）均为非负实数，则的最小值为________．
15.设P是一个数集，且至少含有两个数，若任意a，b∈P，都有a+b、ab、（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集
也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；②若有理数QM，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是__________．（把你认为正确的命题的序号都填上）
16._______________是间接证明的一种基本方法.
三、70分（解答题）
17.若0＜a、b、c＜2，则a（2-b）、b（2-c）、c（2-a）不可能都大于1.
18.已知a、b、c是不全相等的正数,且0＜x＜1.
求证:
logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc.
19.用三段论证明：
在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，则∠B=∠C.
20.用三段论证明:
直角三角形两锐角之和为90°.
21.设a、b、c为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证3S≤I2＜4S.
22.已知下列三个方程:
x2+4ax-4a+3=0,x2+（a-1）x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.
答案解析部分（共有22道题的解析及答案）
一、选择题
1、解析：
易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.
假设有完全平方数，它必为奇数的平方.
设为
=（2K+1）2（K为正整数）,
则
=4K（K+1），两边除以2得
=2K（K+1），此式左边为奇数，而右边为偶数，自相矛盾.
答案：
B
2、思路解析:
∴nmax=4
答案:
C
3、解析：
易见没偶数,且有3的倍数,如111,知C、D假.
假设有完全平方数,它必为奇数的平方.
设为
=（2K+1）2（K为正整数）,
则
=4K（K+1）,两边除以2得
=2K（K+1）,此式左边为奇数,而右边为偶数,自相矛盾.
答案：
B
4、思路解析:
≥
≥
又函数f（x）=（
）x,在（-∞,+∞）上是单调减函数.
∴f（
）≤f（
）≤
.
答案:
A
5、解析:
由cosA=
＜0知b2+c2-a2＜0,
∴a2＞b2+c2.
答案:
C
6、解析：
由cosA=
＜0知b2+c2-a2＜0,
∴a2＞b2+c2.
答案：
C
7、解析：
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理,可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.
答案：
C
8、解析：
由反证法的意义知C真.
答案：
C
9、解析：
易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.
假设有完全平方数，它必为奇数的平方.
设为
=（2K+1）2（K为正整数），
则
0=4K（K+1），两边除以2得
=2K（K+1），此式左边为奇数，而右边为偶数，自相矛盾.
答案：
B
10、解析:
经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2;
②第一行第n个数为（n-1）2+1;
③第n行从第1个数至第n个数依次递减1;
④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.
故上起第2004行，左起第2005列的数，应是第2005列的第2004个数，即为［（2005-1）2+1］+2003=20042+2004=2004×2005.
答案：
D
11、
12、解析:
若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都是错的,同理,可推知乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.
答案:
C
二、填空题
13、解析：
Pn（x0）=
+…+an-1x0+a0共需n次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n,n-1,…,1,0.故总运算次数为n+n+（n-1）+…+1=n+
=
n（n+3）,故P10（x0）=
×10×（10+3）=65.
第二种算法中P0（x0）=a0，不需要运算.
P1（x0）=x0P0（x0）+a1，需2次运算.
P2（x0）=x0P1（x0）+a2,需2+2次运算.
依次往下，Pn（x0）需2n次运算.
∴P10（x0）=2×10=20
答案：
65；20
14、解析：
在直角坐标系中，作点O（0,0），A（0,2008），P1（x1+x2+x3，y1），P2（x2+x3，y1+y2），P3（x3，y1+y2+y3），则
，
如果取A＝P1＝P2＝P3，即x1＝x2＝x3＝0，
y1＝2008，y2＝y3＝0，那么y取到最小值2008．
答案：
2008
15、解析：
①∵1∈Z,2∈Z，
∴
必须在整数集内，而
，故①错误；
②设M中除了有理数外还有另一个元素
，
则Q
M，
∵2∈Q，∴
也必须在M内，而
M，
故②错误；
③设数域P，a∈P，b∈P（假设a≠0），
则a+b∈P.
则a+（a+b）＝2a+b∈P，同理，na+b∈P，n∈N，
故数域必为无限集；
④形如M＝{a+bx|a，b∈Q，x为无理数}这样的数集都是数域，故存在无穷多个数域．
答案：
③④
16、反证法
三、解答题
17、证明:
假设a（2-b）,b（2-c）,c（2-a）都大于1.
∵0＜a,b,c＜2,∴2-b＞0,2-c＞0,2-a＞0.
∵a（2-b）＞1,b（2-c）＞1,c（2-a）＞1,
三式相乘，得:
a（2-b）b（2-c）c（2-a）＞1. ①
另一方面0＜a（2-a）≤（）2=1,
0＜b（2-b）≤（）2=1,
0＜c（2-c）≤（）2=1,
∴a（2-a）b（2-b）c（2-c）≤1.
即a（2-b）b（2-c）c（2-a）≤1.②
②与①矛盾.∴假设不成立.
故a（2-b）、b（2-c）、c（2-a）不可能都大于1.
18、证明：
要证明
logx
+logx
+logx
＜logxa+logxb+logxc,
只需要证明
logx［
］＜logx（abc）.
由已知0＜x＜1,只需证明
＞abc.
由公式知
≥
＞0,
≥
＞0,
≥
＞0.
∵a、b、c不全相等，上面三式相乘，
＞
=abc,即
＞abc成立,
∴logx
+logx
+logx
＜logxa+logxb+logxc成立.
19、解：
如上图所示延长BA、CD交于点M，
由平行线分线段成比例，（大前提）
△MBC中，AD∥BC（小前提）
；（结论）
等量代换，（大前提）
AB=CD，（小前提）
MB=MC；（结论）
三角形中，等边对等角，（大前提）
△MBC中，MB=MC，（小前提）
∠B=∠C.（结论）.
20、证明：
因为任意三角形三内角之和是180° （大前提）
而直角三角形是三角形 （小前提）
所以直角三角形三内角之和为180°（结论）
设直角三角形两个内角分别为A、B，则有：
∠A+∠B+90°=180°
因为等量减等量差相等（大前提）
（∠A+∠B+90°）-90°=180°-90°（小前提）
所以∠A+∠B=90° （结论）。
21、证明：
I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=a2+b2+c2+2S.
故要证3S≤I2＜4S,只需证3S≤a2+b2+c2+2S＜4S,即S≤a2+b2+c2＜2S（这对于保证结论成立是充分必要的）.
欲证上左部分,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0.即只需证（a2+b2-2ab）+（b2+c2-2bc）+（c2+a2-2ca）≥0（这对于保证前一定结论成立
也是充要的）.要证上成立,可证三括号中子都不为负（这一条件对保证上结论成立是充分的,但它并不必要）,注意到:
a2+b2-2ab=（a-b）2≥0,b2+c2-2bc=（b-c）2≥0,c2+a2-2ca=（c-a）2≥0,故结论真.
欲证上右部分,只需证:
a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0,即要证:
（a2-ab-ac）+（b2-bc-ba）+（c2-ca-cb）＜0.
欲证上,则至少要证以上三个括号中子之一小于零（这一条件对保证上结论成立只是必要的,但它并不充分）,即要证a2＜ab+ac,b2＜bc+ba,c2＜ca+cb之一真,也就是要证a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b之一真,它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边和.故原成立.
温馨提示
在本例中,我们既看到按结论成立的充分条件推演的步子,也看到按结论成立必要条件而推演的步子,同时也看到按结论成立的充要条件而推演的步子.
22、思路解析:
此题若采用正面讨论将复杂得多,应采用补集与反证法的思想来求.
解:
若方程没有一个有实根,则
解之,得＜a＜-1.
故三方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是｛a|a≥-1或a≤｝.
深化升华
（1）用反证法证题的一般步骤:
假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
（2）适合用反证法证明的命题:
否定性命题;唯一性命题;至多、至少型命题;明显成立的命题;直接证明有困难的命题.
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