向心力1.docx

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向心力1

6向心力

向心力

1．定义

做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，是由于它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力．

2．公式：

Fn＝

和Fn＝mrω2.

3．方向

向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力．

4．效果力

向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．

如图561所示，细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球，使它在某个水平面内做圆周运动，组成一个圆锥摆．试分析其向心力来源．

图561

1．做匀速圆周运动的物体所受的向心力是恒力．（）

2．向心力和重力、弹力一样，是性质力．（）

3．向心力可以由重力或弹力等来充当，是效果力．（）

变速圆周运动和一般曲线运动

1．变速圆周运动

变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：

（1）合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述速度大小变化的快慢．

（2）合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向．

2．一般曲线运动的处理方法

一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．

如图562所示，荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时，

（1）此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？

（2）绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？

图562

1．圆周运动中指向圆心的合力等于向心力．（）

2．圆周运动中，合外力等于向心力．（）

3．向心力产生向心加速度．（）

　向心力的大小、方向和来源

分层设问，破解疑难

1．物体受到的力中的一个力可以作向心力吗？

比如重力可以作向心力吗？

2．根据公式F＝m

和F＝mω2r，请判断向心力究竟与运动半径r成正比还是成反比．

自我总结，素能培养

1．向心力的作用效果

由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．

2．大小

Fn＝man＝m

＝mω2r＝mωv.

对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动（如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动），其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值．

3．方向

无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．

4．向心力的来源

物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．

几种常见的实例如下：

实例

向心力

示意图

用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时

绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G

用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动

线的拉力提供向心力，F向＝FT

物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止

转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff

小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动

重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合

典例印证，思维深化

如图563所示，小物体m与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是（　　）

图563

A．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用

B．摩擦力的方向始终指向圆心O

C．重力和支持力是一对平衡力

D．摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力

【思路点拨】　

（1）向心力是效果力，受力分析时不考虑向心力．

（2）向心力的方向始终指向圆心．

【解析】　分析圆盘上小物体的受力情况

→

→

　↕

→

→

【答案】　BCD

向心力与合外力的判断方法

1．向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．

2．对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力，对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．

3．无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．

精选习题，落实强化

1．有一个惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图564所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动的半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上做匀速圆周运动，这时使车子和人整体做匀速圆周运动的向心力是（　　）

图564

A．圆筒壁对车的静摩擦力　　B．筒壁对车的弹力

C．摩托车本身的动力D．重力和摩擦力的合力

2．（多选）下列关于向心力的说法中正确的是（　　）

A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动

B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出

C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力

D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢

匀速圆周运动的特点及解题方法

分层设问，破解疑难

1．物体受到怎样的力，才能做匀速圆周运动？

2．匀速圆周运动的向心力是恒力吗？

自我总结，素能培养

1．质点做匀速圆周运动的条件

合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力．

2．匀速圆周运动的三个特点

（1）线速度大小不变、方向时刻改变．

（2）角速度、周期、频率都恒定不变．

（3）向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变．

3．匀速圆周运动的性质

（1）线速度大小不变而方向时刻改变，是变速运动，不是匀速运动．

（2）加速度大小不变而方向时刻改变，是变加速曲线运动．

4．分析匀速圆周运动的步骤

（1）明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．

（2）将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向．

（3）列方程：

沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m

＝

，沿切线方向F合2＝0.

（4）解方程求出结果．

1．在解决匀速圆周运动的过程中，要知道物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节．

2．列方程时要区分受到的力和物体做圆周运动所需的向心力，利用题目条件灵活运用向心力表达式．

典例印证，思维深化

　质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，质量为M和m的小球的悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图565所示，则（　　）

图565

A．cosα＝

　B．cosα＝2cosβ

C．tanα＝

D．tanα＝tanβ

【思路点拨】　

（1）小球所受重力和拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力．

（2）两球旋转时的角速度相同．

【解析】　对于球M，受重力和绳子拉力作用，由两个力的合力提供向心力，如图．设它们转动的角速度是ω，由Mgtanα＝M·2lsinα·ω2可得cosα＝

.同理可得cosβ＝

，则cosα＝

，所以选项A正确．

【答案】　A

匀速圆周运动解题策略

1．知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的关键．

2．分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力充当的．

3．根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解．

精选习题，落实强化

3．如图566所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（　　）

图566

A．A的速度比B的大

B．A与B的向心加速度大小相等

C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

4．如图567所示，小球在半径为R的光滑半球面内贴着内壁在水平面内做匀速圆周运动，小球与半球球心的连线与竖直方向的夹角为θ，求小球的周期T.（已知重力加速度为g）

图567

　变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法

分层设问，破解疑难

1．向心力公式F＝m

或F＝mω2r对变速圆周运动成立吗？

2．什么情况下质点做速度越来越大的圆周运动，什么情况下质点做速度越来越小的圆周运动？

自我总结，素能培养

1．变速圆周运动

（1）定义：

速率大小发生变化的圆周运动．

（2）受力特点：

变速圆周运动中的合外力并不指向圆心，合力F可以分解为互相垂直的两个力：

径向方向分力和切线方向分力．

（3）向心加速度、向心力公式：

变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力仍可用an＝

＝ω2r，Fn＝m

＝mω2r公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度．

2．一般曲线运动的处理方法：

一段曲线运动轨迹可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧，这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法．

典例印证，思维深化

　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图568甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：

通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图568乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（　　）

甲

乙

图568

A.

　　　　　　　　　B.

C.

D．

【思路点拨】　

（1）斜上抛运动通常可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动．

（2）物体在最高点只受重力，速度沿水平方向．

【解析】　物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度vP＝v0cosα，最高点重力提供向心力mg＝m

，由两式得ρ＝

＝

.故C正确．

【答案】　C

精选习题，落实强化

5．（多选）如图569所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是（　　）

图569

A．绳的拉力

B．重力和绳拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力

D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

6．如图5610所示，某物体沿

光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则（　　）

图5610

A．物体的合力为零

B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O

C．物体的合力就是向心力

D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直（最低点除外）

圆周运动的临界问题处理

圆周运动中的临界问题的分析一般都是先假设某物理量达到最大或最小的临界状态，进而建立方程求解．

图5611

　原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为5L/4.现将弹簧长度拉长到6L/5后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴OO′以一定角速度匀速转动，如图5611所示．已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少？

【思路点拨】　

（1）利用条件求出最大静摩擦力fmax.

（2）角速度最大时摩擦力fmax和弹簧的拉力kx的合力提供向心力．

【解析】　以小铁块为研究对象，圆盘静止时：

设铁块受到的最大静摩擦力为fmax，由平衡条件得fmax＝kL/4.

圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力fmax与弹簧的拉力kx的合力提供向心力，由牛顿第二定律得kx＋fmax＝m（6L/5）ω

又因为x＝L/5

解以上三式得角速度的最大值ωmax＝

.

【答案】　

[先看名师指津]

确定临界条件

本题的临界条件是：

当ω足够大时，小铁块与圆盘间的静摩擦力增大到最大静摩擦力，由于静摩擦力是被动力，当外界条件发生改变时，静摩擦力的大小和方向随之改变．本题中，先根据条件确定最大静摩擦力，再根据临界状态确定弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供向心力．

[再演练应用]　如图5612所示，细绳一端系着质量为M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴转动，问角速度在什么范围内m会处于静止状态？

（g取10m/s2）

图5612

小结

课时作业（六）　向心力

1．（多选）如图5613所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是（　　）

图5613

A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向

B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为b方向

C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向

D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向

2．秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千（　　）

A．在下摆过程中B．在上摆过程中

C．摆到最高点时D．摆到最低点时

3．（多选）如图5614所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，OC距离为

，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（　　）

图5614

A．线速度突然增大为原来的2倍

B．角速度突然增大为原来的2倍

C．向心加速度突然增大为原来的2倍

D．悬线拉力突然增大为原来的2倍

4．（多选）一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图5615所示，A的运动半径较大，则（　　）

图5615

A．A球的角速度必小于B球的角速度

B．A球的线速度必小于B球的线速度

C．A球的运动周期必大于B球的运动周期

D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力

5．如图5616所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（　　）

图5616

A．Q受到桌面的支持力变大

B．Q受到桌面的静摩擦力变大

C．小球P运动的角速度变大

D．小球P运动的周期变大

6．质量为m的木块从半球形的碗口下滑到碗底的过程中，如果由于摩擦力的作用，使得木块的速率不变，那么（　　）

A．下滑过程中木块的加速度为零

B．下滑过程中木块所受合力大小不变

C．下滑过程中木块所受合力为零

D．下滑过程中木块所受的合力越来越大

7．质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图5617所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为（　　）

图5617

A．mω2R　　　　B．m

C．m

D．不能确定

8．如图5618所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8m的细绳悬于以速度v＝4m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，试求此时悬线的拉力之比．

（g取10m/s2）

9．如图5619所示，玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动（若忽略摩擦），这时球受到的力是（　　）

A．重力和向心力

B．重力和支持力

C．重力、支持力和向心力

D．重力

10．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图5620所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．

图5620

11．如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是（　　）

12．如图5621所示，水平转盘上放有质量为m的物体（可视为质点），连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

图5621

（1）绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；

（2）当角速度为

时，绳子对物体拉力的大小．